Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: אסימפטוטות של פונקציה רציונלית, הנגזרת השנייה ונקודות פיתול, ונגזרות של פונקציות טריגונומטריות. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=4x−12x+5f(x) = \frac{4x-1}{2x+5}? (כתבו את ערך ה-yy)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

4x2x=2\frac{4x}{2x} = 2

הדרגות שוות — יחס המקדמים המובילים

האסימפטוטה האופקית היא y=2y = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי הנגזרת של f(x)=cos⁡4xf(x) = \cos 4x?

  1. −4cos⁡4x-4\cos 4x
  2. −4sin⁡4x-4\sin 4x
  3. −sin⁡4x-\sin 4x
  4. 4sin⁡4x4\sin 4x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −4sin⁡4x-4\sin 4x

Corrigé :

(cos⁡u)′=−sin⁡u⋅u′(\cos u)' = -\sin u \cdot u'

כלל השרשרת

(cos⁡4x)′=−4sin⁡4x(\cos 4x)' = -4\sin 4x

שלוש הטעויות: לשכוח את המינוס, לשכוח את המקדם 44 של הפנימי, או להשאיר קוסינוס במקום סינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול של f(x)=x3+6x2−2f(x) = x^3 + 6x^2 - 2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f′(x)=3x2+12xf'(x) = 3x^2 + 12x
f′′(x)=6x+12=0⇒x=−2\begin{aligned}f''(x) &= 6x + 12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}
f′′(−3)=−6<0  f′′(0)=12>0\begin{aligned}f''(-3) &= -6 < 0 \ \\ \ f''(0) &= 12 > 0\end{aligned}

הסימן מתחלף

נקודת הפיתול ב-x=−2x = -2.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

כמה אסימפטוטות אנכיות יש ל-f(x)=x−2x2−4f(x) = \frac{x-2}{x^2-4}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x2−4=0⇒x=±2\begin{aligned}x^2 - 4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

המכנה מתאפס בשתי נקודות

x−2(x−2)(x+2)=1x+2\frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2}

אחרי הצמצום הפונקציה סופית ב-x=2x = 2 — חור, לא אסימפטוטה

x=−2: x−2=−4≠0\begin{aligned}x &= -2: \ x - 2 \\ &= -4 \ne 0\end{aligned}

אסימפטוטה

אסימפטוטה אנכית אחת בלבד: x=−2x = -2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x. חשבו את f′(π6)f'\left(\frac{\pi}{6}\right).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=2cos⁡2xf'(x) = 2\cos 2x
f′(π6)=2cos⁡π3=2⋅0.5\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 2\cos\frac{\pi}{3} \\ &= 2 \cdot 0.5\end{aligned}
=1= 1

מציבים בזווית הפנימית 2x2x, לא ב-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. בעזרת הנגזרת השנייה, מצאו את נקודת המינימום המקומי. מהו שיעור ה-yy שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -16

Corrigé :

f′(x)=3x2−12=0⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}
f′′(x)=6x  f′′(2)=12>0\begin{aligned}f''(x) &= 6x \ \\ \ f''(2) &= 12 > 0\end{aligned}

מינימום

f(2)=8−24=−16\begin{aligned}f(2) &= 8 - 24 \\ &= -16\end{aligned}

ב-x=−2x = -2 מתקיים f′′(−2)=−12<0f''(-2) = -12 < 0 — שם המקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לפונקציה f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3 יש נקודת פיתול ב-x=0x = 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′′(x)=12x2−24x=12x(x−2)\begin{aligned}f''(x) &= 12x^2 - 24x \\ &= 12x(x-2)\end{aligned}
f′′(−1)=36>0  f′′(1)=−12<0\begin{aligned}f''(-1) &= 36 > 0 \ \\ \ f''(1) &= -12 < 0\end{aligned}

הסימן מתחלף ב-x=0x = 0

לא די ש-f′′(0)=0f''(0) = 0 — כאן הסימן באמת מתחלף, ולכן יש פיתול. יש נקודת פיתול נוספת ב-x=2x = 2.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

נתונה f(x)=x+2cos⁡xf(x) = x + 2\cos x בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בתחום? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.256

Corrigé :

f′(x)=1−2sin⁡x=0⇒sin⁡x=12\begin{aligned}f'(x) &= 1 - 2\sin x \\ &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
x=π6  x=5π6\begin{aligned}x &= \frac{\pi}{6} \ \\ \ x &= \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום

f′′(x)=−2cos⁡x  f′′(π6)=−3<0\begin{aligned}f''(x) &= -2\cos x \ \\ \ f''\left(\frac{\pi}{6}\right) &= -\sqrt{3} < 0\end{aligned}

מקסימום

f(π6)=π6+3≈2.256f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \approx 2.256

ב-5π6\frac{5\pi}{6} יש מינימום, f≈0.886f \approx 0.886.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לפונקציה f(x)=ax+3x−2f(x) = \frac{ax+3}{x-2} יש אסימפטוטה אופקית y=4y = 4. מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.75

Corrigé :

axx=a=4\begin{aligned}\frac{ax}{x} &= a \\ &= 4\end{aligned}

יחס המקדמים המובילים

f(x)=4x+3x−2f(x) = \frac{4x+3}{x-2}
4x+3=0⇒x=−0.75\begin{aligned}4x + 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -0.75\end{aligned}

המונה מתאפס

בנקודה x=−0.75x = -0.75 המכנה אינו מתאפס, ולכן זו נקודת חיתוך אמיתית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גובה פני המים בנמל אשדוד (במטרים) נתון על ידי h(t)=2+sin⁡πt6h(t) = 2 + \sin\frac{\pi t}{6}, כאשר tt הוא הזמן בשעות, 0≤t≤120 \le t \le 12. באיזו שעה tt פני המים יורדים בקצב המהיר ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

h′(t)=π6cos⁡πt6h'(t) = \frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi t}{6}

קצב השינוי

h′′(t)=−π236sin⁡πt6=0⇒t=0612\begin{aligned}h''(t) &= -\frac{\pi^2}{36}\sin\frac{\pi t}{6} \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 0 \\ 6 \\ 12\end{aligned}

קיצון של הקצב — בנקודת פיתול של hh או בקצה התחום

h′(6)=π6cos⁡π=−π6\begin{aligned}h'(6) &= \frac{\pi}{6}\cos\pi \\ &= -\frac{\pi}{6}\end{aligned}

הערך הנמוך ביותר של h′h'

ב-t=0t = 0 וב-t=12t = 12 הקצב הוא +π6+\frac{\pi}{6} — שם המים עולים הכי מהר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe