Dérivée des fonctions trigonométriques

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כל הפרק נשען על שתי נוסחאות. את השאר מקבלים מכללי הגזירה שכבר מוכרים לכם — מכפלה, מנה ושרשרת.

(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x\begin{aligned}(\sin x)' &= \cos x \qquad (\cos x)' \\ &= -\sin x\end{aligned}

שימו לב למינוס בנגזרת של הקוסינוס. הוא מקור רוב הטעויות בפרק.

עם כלל השרשרת

(sin⁡(kx))′=kcos⁡(kx)(cos⁡(kx))′=−ksin⁡(kx)\begin{aligned}(\sin(kx))' &= k\cos(kx) \qquad (\cos(kx))' \\ &= -k\sin(kx)\end{aligned}

הפנימי יוצא החוצה כמקדם — בדיוק כמו בכל שרשרת.

שלוש דוגמאות

שימו לב איזה כלל מפעילים בכל שורה.

(sin⁡3x)′=3cos⁡3x(\sin 3x)' = 3\cos 3x

שרשרת

(xsin⁡x)′=sin⁡x+xcos⁡x(x \sin x)' = \sin x + x\cos x

מכפלה

(sin⁡2x)′=2sin⁡xcos⁡x(\sin^2 x)' = 2\sin x \cos x

שרשרת על החזקה

בחקירה של פונקציה טריגונומטרית התחום נתון תמיד — למשל 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. בלעדיו היו אינסוף נקודות קיצון, כי הפונקציה מחזורית. תמיד לבדוק אילו פתרונות נופלים בתחום.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi.

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=cos⁡x−sin⁡x=0⇒tan⁡x=1⇒x=π4f'(x) = \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} או x=5π4x = \frac{5\pi}{4}. הראשונה נותנת מקסימום 2\sqrt{2}, השנייה מינימום −2-\sqrt{2}.

ומה הערך של f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x בנקודה x=π3x = \frac{\pi}{3}?

Voir la réponse et le corrigé

cos⁡π3=0.5\cos\frac{\pi}{3} = 0.5. זהו שיפוע המשיק לגרף sin⁡x\sin x שם.

שתי טעויות שחוזרות בכל מבחן.

(cos⁡x)′=sin⁡x(\cos x)' = \sin x
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x

המינוס אינו קישוט. בלעדיו כל החקירה מתהפכת.

(sin⁡2x)′=cos⁡2x(\sin 2x)' = \cos 2x
(sin⁡2x)′=2cos⁡2x(\sin 2x)' = 2\cos 2x

כלל השרשרת: הנגזרת הפנימית (22) חייבת לצאת החוצה.

Exercices

Exercice 1

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x?

  1. cos⁡x\cos x
  2. sin⁡x\sin x
  3. −cos⁡x-\cos x
  4. −sin⁡x-\sin x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A cos⁡x\cos x

Corrigé :

נגזרת הסינוס היא הקוסינוס — בלי מינוס. המינוס שייך לנגזרת הקוסינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי הנגזרת של f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x?

  1. −sin⁡x-\sin x
  2. sin⁡x\sin x
  3. −cos⁡x-\cos x
  4. cos⁡x\cos x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −sin⁡x-\sin x

Corrigé :

המינוס הוא ההבדל היחיד — וגם החשוב ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡3xf(x) = \sin 3x?

  1. 3sin⁡3x3\sin 3x
  2. 3cos⁡3x3\cos 3x
  3. cos⁡3x\cos 3x
  4. −3cos⁡3x-3\cos 3x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 3cos⁡3x3\cos 3x

Corrigé :

כלל השרשרת: הנגזרת הפנימית היא 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי הנגזרת של f(x)=xsin⁡xf(x) = x\sin x?

  1. cos⁡x\cos x
  2. xcos⁡xx\cos x
  3. sin⁡x−xcos⁡x\sin x - x\cos x
  4. sin⁡x+xcos⁡x\sin x + x\cos x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D sin⁡x+xcos⁡x\sin x + x\cos x

Corrigé :

כלל המכפלה: u′v+uv′u'v + uv'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. חשבו את f′(π3)f'\left(\frac{\pi}{3}\right).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x
cos⁡π3=0.5\cos\frac{\pi}{3} = 0.5

גוזרים קודם, מציבים אחר כך. הסדר ההפוך נותן את ערך הפונקציה, לא את השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x. חשבו את f′(π6)f'\left(\frac{\pi}{6}\right).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.5

Corrigé :

f′(x)=−sin⁡xf'(x) = -\sin x
−sin⁡π6=−0.5-\sin\frac{\pi}{6} = -0.5

נגזרת הקוסינוס היא מינוס סינוס — המינוס נשמר עד התשובה הסופית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו הערך המקסימלי של f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi? (עגלו ל-3 ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.414

Corrigé :

f′(x)=cos⁡x−sin⁡x=0\begin{aligned}f'(x) &= \cos x - \sin x \\ &= 0\end{aligned}
x=π4x = \frac{\pi}{4}
f=2≈1.414f = \sqrt{2} \approx 1.414

משווים את הנגזרת לאפס כדי למצוא את נקודת הקיצון, ורק אז מציבים בפונקציה המקורית לקבל את הערך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

כמה נקודות קיצון יש ל-f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=cos⁡x=0\begin{aligned}f'(x) &= \cos x \\ &= 0\end{aligned}
x=π2 x=3π2\begin{aligned}x &= \frac{\pi}{2} \\ \ x &= \frac{3\pi}{2}\end{aligned}

התחום הוא שקובע: בלעדיו היו אינסוף פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו הערך המקסימלי של f(x)=2sin⁡xf(x) = 2\sin x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

−1≤sin⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1
−2≤2sin⁡x≤2-2 \le 2\sin x \le 2

הסינוס כלוא בין 1- ל-1 תמיד. הכפל ב-2 מותח את התחום, ולכן המקסימום הוא 2 — בלי לגזור בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הנגזרת של cos⁡2x\cos 2x היא −2sin⁡2x-2\sin 2x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(cos⁡2x)′=−2sin⁡2x(\cos 2x)' = -2\sin 2x

שרשרת, עם המינוס של הקוסינוס

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הנגזרת של sin⁡x\sin x מתאפסת בדיוק בנקודות הקיצון של sin⁡x\sin x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=cos⁡x=0\begin{aligned}f'(x) &= \cos x \\ &= 0\end{aligned}
x=π2+πkx = \frac{\pi}{2} + \pi k

שם ל-sin⁡\sin יש שיא או שפל

זו אותה טענה כללית: קיצון של ff נמצא שם ש-f′f' מתאפסת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

התאימו כל פונקציה לנגזרת שלה

  • sin⁡x\sin x
  • cos⁡x\cos x
  • sin⁡2x\sin 2x
  • cos⁡3x\cos 3x
  • −sin⁡x-\sin x
  • −3sin⁡3x-3\sin 3x
  • cos⁡x\cos x
  • 2cos⁡2x2\cos 2x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡x\sin x — cos⁡x\cos x · cos⁡x\cos x — −sin⁡x-\sin x · sin⁡2x\sin 2x — 2cos⁡2x2\cos 2x · cos⁡3x\cos 3x — −3sin⁡3x-3\sin 3x

Corrigé :

שתי נוסחאות ושרשרת — זה כל הפרק.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe