Points d’inflexion et dérivée seconde

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הנגזרת הראשונה אומרת אם הגרף עולה או יורד. הנגזרת השנייה אומרת משהו אחר לגמרי: אם הוא קמור או קעור — כלומר לאיזה צד הוא מתעקל.

f′′(x)>0f''(x) > 0

הגרף קמור — מתעקל כלפי מעלה, כמו קערה.

f′′(x)<0f''(x) < 0

הגרף קעור — מתעקל כלפי מטה, כמו כיפה.

f′′(x)=0f''(x) = 0

ייתכן שכאן מתחלף הכיוון — נקודת פיתול. חייבים לבדוק שהסימן באמת התחלף.

הנגזרת השנייה נותנת גם דרך מהירה לסווג נקודות קיצון: אם f′(a)=0f'(a) = 0 ו-f′′(a)>0f''(a) > 0 — זה מינימום; ואם f′′(a)<0f''(a) < 0 — מקסימום. אין צורך בטבלת סימנים.

הדגמה מלאה

מצאו את נקודת הפיתול של f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2.

f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x

נגזרת ראשונה

f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6

נגזרת שנייה

6x−6=0 ⇒ x=1\begin{aligned}6x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מועמדת לפיתול

f′′(0)=−6<0 f′′(2)=6>0\begin{aligned}f''(0) &= -6 < 0 \\ \ f''(2) &= 6 > 0\end{aligned}

הסימן התחלף ⇐ זו באמת נקודת פיתול

f(1)=1−3=−2\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה: (1, −2)(1,\,-2)

שימו לב להבדל: בנקודת קיצון הגרף מפסיק לעלות ומתחיל לרדת. בנקודת פיתול הוא ממשיך באותו כיוון — רק מתעקל הפוך. ב-f(x)=x3f(x)=x^3 יש פיתול ב-x=0x=0 בלי שום קיצון.

מהי נקודת הפיתול של f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x?

Voir la réponse et le corrigé

f′′(x)=6x−12=0⇒x=2f''(x) = 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2, ו-f(2)=8−24+18=2f(2) = 8 - 24 + 18 = 2. הנקודה היא (2, 2)(2,\,2).

ל-f(x)=x4f(x) = x^4 מתקיים f′′(0)=0f''(0) = 0. האם יש שם נקודת פיתול?

Voir la réponse et le corrigé

לא. f′′(x)=12x2f''(x) = 12x^2 חיובי משני צדי האפס — הסימן לא התחלף, והגרף נשאר קמור. זו הסיבה שחייבים לבדוק את הסימן ולא להסתפק בהשוואה לאפס.

הטעות המרכזית של הפרק.

f′′(a)=0⇒פיתולf''(a) = 0 \Rightarrow \text{פיתול}
בדיקת סימן משני הצדדים\text{בדיקת סימן משני הצדדים}

בדיוק כמו ש-f′=0f'=0 אינו מבטיח קיצון, f′′=0f''=0 אינו מבטיח פיתול. x4x^4 הוא הדוגמה הנגדית.

Exercices

Exercice 1

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול של f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′′(x)=6x−6=0\begin{aligned}f''(x) &= 6x - 6 \\ &= 0\end{aligned}
x=1x = 1

נקודת פיתול היא המקום שבו הנגזרת השנייה מתאפסת ומחליפה סימן — שם הקימור מתהפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ומהו שיעור ה-yy של אותה נקודת פיתול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f(1)=1−3=−2\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 \\ &= -2\end{aligned}

את שיעור ה-yy מקבלים מהפונקציה המקורית, לא מהנגזרת. זו הטעות הנפוצה כאן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול של f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′′(x)=6x−12=0\begin{aligned}f''(x) &= 6x - 12 \\ &= 0\end{aligned}
x=2x = 2

אותו מסלול: גוזרים פעמיים, משווים לאפס, ופותרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמה נקודות פיתול יש ל-f(x)=x4−6x2f(x) = x^4 - 6x^2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′′(x)=12x2−12=0\begin{aligned}f''(x) &= 12x^2 - 12 \\ &= 0\end{aligned}
x=1 או x=−1\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

ובשתיהן הסימן מתחלף

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון f(x)=x3f(x) = x^3. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

f′(x)=3x2=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}
f′(x)≥0 תמידf'(x) \ge 0 \ \text{תמיד}

הפונקציה רק עולה

ב-x=0x=0 יש פיתול — הנגזרת מתאפסת אך אינה מחליפה סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון f′(2)=0f'(2) = 0 ו-f′′(2)=5f''(2) = 5. מה יש בנקודה x=2x=2?

  1. מקסימום
  2. נקודת פיתול
  3. שום דבר מיוחד
  4. מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מינימום

Corrigé :

f′′(2)>0f''(2) > 0

קמור ⇐ מינימום

f′′>0f''>0 פירושו שהגרף קמור — הקיצון הוא תחתית הקערה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון f′(−1)=0f'(-1) = 0 ו-f′′(−1)=−3f''(-1) = -3. מה יש בנקודה x=−1x=-1?

  1. מינימום
  2. אסימפטוטה
  3. מקסימום
  4. נקודת פיתול
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מקסימום

Corrigé :

f′′(−1)<0f''(-1) < 0

קעור ⇐ מקסימום

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

אם f′′(a)=0f''(a) = 0 אז ב-x=ax=a יש בהכרח נקודת פיתול.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x4f(x) = x^4
f′′(x)=12x2≥0f''(x) = 12x^2 \ge 0

הסימן אינו מתחלף

צריך שהסימן יתחלף משני צדי הנקודה. ב-x4x^4 הוא נשאר חיובי, ואין פיתול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בנקודת פיתול הגרף יכול להמשיך לעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(x)=x3f(x) = x^3
f′(x)=3x2>0f'(x) = 3x^2 > 0

עולה משני הצדדים

פיתול נוגע לעיקול, לא לעלייה. x3x^3 עולה לפני ואחרי הפיתול שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=2x3−12x2+5f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 5. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′′(x)=12x−24=0\begin{aligned}f''(x) &= 12x - 24 \\ &= 0\end{aligned}
x=2x = 2

הנגזרת השנייה של פולינום ממעלה שלישית היא תמיד קווית — ולכן יש בדיוק נקודת פיתול אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מיינו כל טענה לפי מה שהיא מספרת

  • על עלייה וירידה
  • על קמירות
  • f′′(x)<0f''(x) < 0
  • f′′(x)>0f''(x) > 0
  • f′(x)<0f'(x) < 0
  • f′(x)=0f'(x) = 0
  • f′(x)>0f'(x) > 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(x)>0f'(x) > 0 — על עלייה וירידה · f′′(x)>0f''(x) > 0 — על קמירות · f′(x)=0f'(x) = 0 — על עלייה וירידה · f′′(x)<0f''(x) < 0 — על קמירות · f′(x)<0f'(x) < 0 — על עלייה וירידה

Corrigé :

הנגזרת הראשונה — כיוון. הנגזרת השנייה — עיקול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

השלימו עבור f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2

הנגזרת השנייה מתאפסת ב-x=x = ____ , ושם f(x)=f(x) = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הנגזרת השנייה מתאפסת ב-x=x = 1 , ושם f(x)=f(x) = -2

Corrigé :

f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x-6
f(1)=−2f(1) = -2

שתי שורות בלבד: הנגזרת השנייה נותנת את ה-xx, והפונקציה המקורית את ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe