Asymptotes et fonctions rationnelles

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים. שני דברים קובעים את צורתה, ושניהם באים מהמכנה: מה אסור (איפה המכנה מתאפס), ומה קורה רחוק (לאן הגרף הולך כש-xx גדל בלי גבול).

אסימפטוטה אנכית — שם המכנה מתאפס

אם המכנה מתאפס ב-x=ax = a והמונה אינו מתאפס שם, אז x=ax = a היא אסימפטוטה אנכית. הגרף בורח שם למעלה או למטה, ונקרע לשני ענפים נפרדים.

f(x)=2x+3x−1 ⟹ x=1\begin{aligned}f(x) &= \frac{2x+3}{x-1} \ \Longrightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

המכנה מתאפס ב-x=1x=1, המונה נותן שם 5≠05 \ne 0 — אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית — מה קורה באינסוף

כאשר xx גדל מאוד, המחוברים בעלי החזקה הגבוהה ביותר משתלטים. ב-2x+3x−1\frac{2x+3}{x-1} המנה מתקרבת ל-2xx=2\frac{2x}{x} = 2, ולכן y=2y = 2 היא אסימפטוטה אופקית.

כלל מהיר להשוואת דרגות: אם דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה — האסימפטוטה היא y=0y=0. אם הן שוות — היחס בין המקדמים המובילים. אם דרגת המונה גדולה ב-1 — אין אסימפטוטה אופקית אלא משופעת.

מהן האסימפטוטות של f(x)=x+4x−2f(x) = \frac{x+4}{x-2}?

Voir la réponse et le corrigé

אנכית x=2x = 2 (שם המכנה מתאפס, והמונה נותן 6≠06 \ne 0), ואופקית y=1y = 1 (הדרגות שוות, יחס המקדמים 11\frac{1}{1}).

ולמה אסור לחבר בקו אחד את שני ענפי הגרף?

Voir la réponse et le corrigé

מפני שב-x=2x=2 הפונקציה אינה מוגדרת — אין שם נקודה. קו שעובר דרך האסימפטוטה טוען שהפונקציה מקבלת שם ערך, וזו טעות שנחשבת חמורה בבדיקה.

שתי טעויות של הפרק הזה.

x=3 אסימפטוטה של x2−9x−3x = 3 \text{ אסימפטוטה של } \frac{x^2-9}{x-3}
נקודת אי-רציפות\text{נקודת אי-רציפות}

כאן גם המונה מתאפס: (x−3)(x+3)x−3=x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. אין אסימפטוטה — יש חור בגרף.

f(x) חותכת את y=2f(x) \text{ חותכת את } y=2
f(x)→2f(x) \to 2

אסימפטוטה אופקית יכולה להיחתך באמצע הגרף; מה שאסור הוא להגיע אליה באינסוף.

Exercices

Exercice 1

מהי האסימפטוטה האנכית של f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1}? (כתבו את ערך ה-xx)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x−1=0x - 1 = 0

משווים את המכנה לאפס

x=1x = 1
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1}? (כתבו את ערך ה-yy)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

2xx=2\frac{2x}{x} = 2

הדרגות שוות — יחס המקדמים המובילים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי האסימפטוטה האנכית של f(x)=x+4x−2f(x) = \frac{x+4}{x-2}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x−2=0x - 2 = 0
x=2x = 2

האסימפטוטה האנכית יושבת במקום שבו המכנה מתאפס — שם הפונקציה אינה מוגדרת, והגרף בורח לאינסוף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=3x−6x+3f(x) = \frac{3x-6}{x+3}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

3xx=3\frac{3x}{x} = 3

באינסוף מכריעות רק החזקות הגבוהות: היחס בין המקדמים שלהן קובע את הגובה שאליו הגרף מתיישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=5xx2−9f(x) = \frac{5x}{x^2-9}?

  1. y=5y = 5
  2. y=0y = 0
  3. y=59y = \frac{5}{9}
  4. אין אסימפטוטה אופקית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=0y = 0

Corrigé :

5xx2=5x→0\frac{5x}{x^2} = \frac{5}{x} \to 0

כש-xx גדל

דרגת המונה (1) קטנה מדרגת המכנה (2), ולכן המנה שואפת לאפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

כמה אסימפטוטות אנכיות יש ל-f(x)=5xx2−9f(x) = \frac{5x}{x^2-9}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2−9=0x^2 - 9 = 0
x=3 או x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

המכנה מתאפס בשתי נקודות, והמונה אינו מתאפס באף אחת מהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהי נקודת החיתוך של f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1} עם ציר ה-yy? (כתבו את ערך ה-yy)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f(0)=3−1=−3\begin{aligned}f(0) &= \frac{3}{-1} \\ &= -3\end{aligned}

מציבים x=0x=0

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהי נקודת החיתוך של f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1} עם ציר ה-xx? (כתבו את ערך ה-xx)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1.5

Corrigé :

2x+3=02x + 3 = 0

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

x=−1.5x = -1.5

שבר שווה לאפס רק כשהמונה מתאפס — והמכנה שם חייב להיות שונה מאפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לפונקציה f(x)=x2−9x−3f(x) = \frac{x^2-9}{x-3} יש אסימפטוטה אנכית ב-x=3x=3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(x−3)(x+3)x−3=x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3

מצמצמים

גם המונה מתאפס ב-x=3x=3. אחרי צמצום נשאר ישר — בגרף יש חור ב-x=3x=3, לא אסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גרף של פונקציה לעולם אינו חוצה את האסימפטוטה האופקית שלו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2+1}

חוצה את y=0y=0 בראשית

האסימפטוטה מתארת מה קורה באינסוף. באמצע הדרך הגרף רשאי לחצות אותה — ורבים עושים זאת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

התאימו כל פונקציה לאסימפטוטה האופקית שלה

  • 3x+1x−2\frac{3x+1}{x-2}
  • x+52x−1\frac{x+5}{2x-1}
  • 7x−4\frac{7}{x-4}
  • 4x−1x+6\frac{4x-1}{x+6}
  • y=0.5y = 0.5
  • y=0y = 0
  • y=3y = 3
  • y=4y = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3x+1x−2\frac{3x+1}{x-2} — y=3y = 3 · x+52x−1\frac{x+5}{2x-1} — y=0.5y = 0.5 · 7x−4\frac{7}{x-4} — y=0y = 0 · 4x−1x+6\frac{4x-1}{x+6} — y=4y = 4

Corrigé :

בכל המקרים משווים את הדרגות ואז את המקדמים המובילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

סדרו את שלבי החקירה של פונקציה רציונלית

  • אסימפטוטות אנכיות ואופקיות
  • נגזרת, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה
  • נקודות חיתוך עם הצירים
  • סקיצה של הגרף
  • תחום הגדרה — מאפסים את המכנה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום הגדרה — מאפסים את המכנה · אסימפטוטות אנכיות ואופקיות · נקודות חיתוך עם הצירים · נגזרת, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה · סקיצה של הגרף

Corrigé :

הסקיצה תמיד אחרונה — היא מסכמת את כל מה שנמצא.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe