Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות: שלב ההוכחה המלא, הוכחה בטענה ונימוק, פרמטר, שגיאה בהוכחה, מכפלה, וצעד של 2. הסכומים, הסדרות וההוכחות השגויות מעורבבים.

כתבו את המטרה לפני החישוב: הטענה עבור n=k+1n=k+1. בכל פירוק ובכל צמצום, בדקו שאתם מתקרבים אליה.

Exercices

Exercice 1

הטענה: 1+4+7+⋯+(3n−2)=n(3n−1)21+4+7+\dots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}. השלימו את שלב ההוכחה.

k(3k−1)2+(3k+1)=3k2+ak+22\frac{k(3k-1)}{2}+(3k+1)=\frac{3k^2+ak+2}{2} עם a=a= ____ ; 3k2+ak+2=(k+1)(3k+b)3k^2+ak+2=(k+1)(3k+b) עם b=b= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k(3k−1)2+(3k+1)=3k2+ak+22\frac{k(3k-1)}{2}+(3k+1)=\frac{3k^2+ak+2}{2} עם a=a= 5 ; 3k2+ak+2=(k+1)(3k+b)3k^2+ak+2=(k+1)(3k+b) עם b=b= 2

Corrigé :

k(3k−1)+2(3k+1)2=3k2+5k+22\frac{k(3k-1)+2(3k+1)}{2}=\frac{3k^2+5k+2}{2}

מכנה משותף

3k2+5k+2=(k+1)(3k+2)3k^2+5k+2=(k+1)(3k+2)

המטרה עבור n=k+1n=k+1: 3n−1=3k+23n-1=3k+2

המטרה (k+1)(3k+2)2\frac{(k+1)(3k+2)}{2} אומרת מראש איך לפרק. המלכודת: לשכוח לכפול את 3k+13k+1 ב-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הוכיחו באינדוקציה: לכל nn טבעי, 1+4+7+⋯+(3n−2)=n(3n−1)21+4+7+\dots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}.

  • nn מספר טבעי

1+4+⋯+(3n−2)=n(3n−1)21+4+\dots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}

Voir la réponse et le corrigé
  1. 1=1⋅221=\frac{1 \cdot 2}{2} — בדיקה עבור n=1n=1
  2. 1+4+⋯+(3k−2)=k(3k−1)21+4+\dots+(3k-2)=\frac{k(3k-1)}{2} — הנחת האינדוקציה
  3. 1+4+⋯+(3k+1)=k(3k−1)2+(3k+1)1+4+\dots+(3k+1)=\frac{k(3k-1)}{2}+(3k+1) — מוסיפים את המחובר ה-(k+1)(k+1) ומציבים את ההנחה
  4. k(3k−1)2+(3k+1)=(k+1)(3k+2)2\frac{k(3k-1)}{2}+(3k+1)=\frac{(k+1)(3k+2)}{2} — מכנה משותף ופירוק הטרינום 3k2+5k+23k^2+5k+2
  5. 1+4+⋯+(3k+1)=(k+1)(3k+2)21+4+\dots+(3k+1)=\frac{(k+1)(3k+2)}{2} — כלל המעבר: זו הטענה עבור n=k+1n=k+1

Corrigé :

1=11=1

בסיס

3k2+5k+22=(k+1)(3k+2)2\frac{3k^2+5k+2}{2}=\frac{(k+1)(3k+2)}{2}

צעד

המחובר ה-(k+1)(k+1) הוא 3(k+1)−2=3k+13(k+1)-2=3k+1. המלכודת: להוסיף 3k−13k-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון: a1=1a_1=1, an+1=3an+2a_{n+1}=3a_n+2. שלב ההוכחה ש-an=2⋅3n−1−1a_n=2 \cdot 3^{n-1}-1. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

ak+1=3ak+2a_{k+1}=3a_k+2
=3(2⋅3k−1−1)+2=3\left(2 \cdot 3^{k-1}-1\right)+2
=6⋅3k−3+2=6 \cdot 3^{k}-3+2
=2⋅3k−1=2 \cdot 3^{k}-1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =6⋅3k−3+2=6 \cdot 3^{k}-3+2 → =2⋅3k−3+2=2 \cdot 3^{k}-3+2

Corrigé :

3⋅2⋅3k−1=2⋅3k3 \cdot 2 \cdot 3^{k-1}=2 \cdot 3^{k}

ה-33 מעלה את החזקה, לא כופל את ה-22

3⋅3k−1=3k3 \cdot 3^{k-1}=3^k, וה-22 נשאר. 6⋅3k6 \cdot 3^k גדול פי 33. השורה האחרונה נכונה, אבל לא נובעת מהשורה השגויה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ידוע ש-2+6+18+⋯+2⋅3n−1=3n+c2+6+18+\dots+2 \cdot 3^{n-1}=3^n+c לכל nn טבעי. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

n=1: 2=3+c ⇒ c=−1\begin{aligned}n &= 1: \ 2 \\ &= 3+c \ \Rightarrow \ c \\ &= -1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

n=2: 8=9−1\begin{aligned}n &= 2: \ 8 \\ &= 9-1\end{aligned}

בדיקה

מציבים n=1n=1 ומוצאים את הפרמטר. בדיקה עם n=2n=2 מראה שלא טעיתם. המלכודת: להציב 3n−13^{n-1} במקום 3n3^n באגף ימין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון: a1=4a_1=4, an+1=an+2n+2a_{n+1}=a_n+2n+2. סדרו את ההוכחה ש-an=n2+n+2a_n=n^2+n+2.

  • בודקים: (k+1)2+(k+1)+2=k2+3k+4(k+1)^2+(k+1)+2=k^2+3k+4
  • בודקים: a1=4=1+1+2a_1=4=1+1+2
  • כלל הנסיגה עבור n=kn=k: ak+1=ak+2k+2a_{k+1}=a_k+2k+2
  • מניחים: ak=k2+k+2a_k=k^2+k+2
  • מציבים: ak+1=k2+3k+4a_{k+1}=k^2+3k+4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בודקים: a1=4=1+1+2a_1=4=1+1+2 · מניחים: ak=k2+k+2a_k=k^2+k+2 · כלל הנסיגה עבור n=kn=k: ak+1=ak+2k+2a_{k+1}=a_k+2k+2 · מציבים: ak+1=k2+3k+4a_{k+1}=k^2+3k+4 · בודקים: (k+1)2+(k+1)+2=k2+3k+4(k+1)^2+(k+1)+2=k^2+3k+4

Corrigé :

k2+k+2+2k+2=k2+3k+4k^2+k+2+2k+2=k^2+3k+4

הצבה

(k+1)2+(k+1)+2=k2+3k+4(k+1)^2+(k+1)+2=k^2+3k+4

המטרה

בסוף משווים את מה שקיבלנו לנוסחה עבור n=k+1n=k+1. המלכודת: להציב 2(k+1)+22(k+1)+2 בכלל במקום 2k+22k+2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הטענה: לכל nn זוגי, 1−3+5−7+⋯−(2n−1)=−n1-3+5-7+\dots-(2n-1)=-n. מה נכון לגבי ההוכחה?

  1. בסיס n=1n=1; במעבר מ-kk ל-k+1k+1 מוסיפים −(2k+1)-(2k+1)
  2. בסיס n=2n=2; במעבר מ-kk ל-k+2k+2 מוסיפים (2k+1)−(2k+3)=−2(2k+1)-(2k+3)=-2
  3. בסיס n=2n=2; במעבר מ-kk ל-k+2k+2 מוסיפים −(2k+3)-(2k+3)
  4. בסיס n=2n=2; במעבר מ-kk ל-k+1k+1 מוסיפים 2k+12k+1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B בסיס n=2n=2; במעבר מ-kk ל-k+2k+2 מוסיפים (2k+1)−(2k+3)=−2(2k+1)-(2k+3)=-2

Corrigé :

n=2: 1−3=−2\begin{aligned}n &= 2: \ 1-3 \\ &= -2\end{aligned}

בסיס

−k+(2k+1)−(2k+3)=−k−2=−(k+2)\begin{aligned}-k+(2k+1)-(2k+3) &= -k-2 \\ &= -(k+2)\end{aligned}

צעד של 2

הנכונה: בסיס 22 וצעד של 22, עם שני מחוברים. מי שמוסיף רק −(2k+3)-(2k+3) שכח את המחובר החיובי 2k+12k+1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לפי 11⋅4+14⋅7+⋯+1(3n−2)(3n+1)=n3n+1\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\dots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{n}{3n+1}, חשבו את 11⋅4+14⋅7+⋯+128⋅31\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\dots+\frac{1}{28 \cdot 31}. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.32

Corrigé :

3n+1=31 ⇒ n=10\begin{aligned}3n+1 &= 31 \ \Rightarrow \ n \\ &= 10\end{aligned}

המחובר האחרון

1031≈0.32\frac{10}{31} \approx 0.32

הנוסחה

מוצאים את nn מהמכנה של המחובר האחרון. המלכודת: n=28n=28.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: הסדרה a1=1a_1=1, an+1=an+2na_{n+1}=a_n+2^n מקיימת an=2n−1a_n=2^n-1 לכל nn טבעי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

a1=1=21−1\begin{aligned}a_1 &= 1 \\ &= 2^1-1\end{aligned}

בסיס

ak+1=2k−1+2k=2k+1−1\begin{aligned}a_{k+1} &= 2^k-1+2^k \\ &= 2^{k+1}-1\end{aligned}

צעד

הטענה נכונה. בכלל עבור n=kn=k מוסיפים 2k2^k, לא 2k+12^{k+1}. זו אותה סדרה של הסכום 1+2+⋯+2n−11+2+\dots+2^{n-1}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הטענה: לכל n≥2n \geq 2, (1−122)(1−132)⋯(1−1n2)=n+12n\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}. השלימו. את המכפלה כתבו כמספר עשרוני.

הבסיס: n=n= ____ ; (1−14)(1−19)⋯(1−1100)=\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{100}\right)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הבסיס: n=n= 2 ; (1−14)(1−19)⋯(1−1100)=\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{100}\right)= 0.55

Corrigé :

n=2: 1−14=34=32⋅2\begin{aligned}n &= 2: \ 1-\frac{1}{4} \\ &= \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{2 \cdot 2}\end{aligned}

הבסיס הוא n=2n=2

n=10: 1120=0.55\begin{aligned}n &= 10: \ \frac{11}{20} \\ &= 0.55\end{aligned}

1100=1102\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}

המכפלה מתחילה ב-22, ולכן הבסיס n=2n=2. ו-1100\frac{1}{100} הוא 1102\frac{1}{10^2}, כלומר n=10n=10 ולא n=100n=100.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Sn=3n−1S_n=3^n-1 הוא סכום nn האיברים הראשונים של סדרה. מהו ana_n?

  1. an=2⋅3na_n=2 \cdot 3^n
  2. an=3n−1a_n=3^n-1
  3. an=3n−1a_n=3^{n-1}
  4. an=2⋅3n−1a_n=2 \cdot 3^{n-1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D an=2⋅3n−1a_n=2 \cdot 3^{n-1}

Corrigé :

a1=S1=2\begin{aligned}a_1 &= S_1 \\ &= 2\end{aligned}

האיבר הראשון

an=(3n−1)−(3n−1−1)=3n−1(3−1)\begin{aligned}a_n &= \left(3^n-1\right)-\left(3^{n-1}-1\right) \\ &= 3^{n-1}(3-1)\end{aligned}

עבור n≥2n \geq 2

הנכונה: 2⋅3n−12 \cdot 3^{n-1}, והיא מתאימה גם ל-a1=2a_1=2. 3n−13^n-1 הוא הסכום, לא האיבר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe