Série 3 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח סעיף האינדוקציה בבגרות, מפורקות לסעיפים: סכום עם חזקות (א–ג), פרמטר ויישום (א–ג), סדרה לפי כלל נסיגה (א–ב), ונוסחה שצריך להפריך (א–ב). כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו פתיח.

כתבו כמו בבחינה: בדיקה, הנחה, הוכחה, עם המטרה כתובה לפני החישוב. וכשיש פרמטר או נוסחה חשודה, מציבים ערכים קטנים של nn לפני הכול.

Exercices

Exercice 1

נתונה הטענה: 1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n=(n−1)⋅2n+1+21 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\dots+n \cdot 2^n=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2 לכל nn טבעי. א. חשבו את אגף שמאל עבור n=3n=3, ובדקו שהוא שווה לאגף ימין.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 34

Corrigé :

1⋅2+2⋅4+3⋅8=2+8+24=34\begin{aligned}1 \cdot 2+2 \cdot 4+3 \cdot 8 &= 2+8+24 \\ &= 34\end{aligned}

אגף שמאל

2⋅24+2=342 \cdot 2^4+2=34

אגף ימין

המחובר ה-ii הוא i⋅2ii \cdot 2^i: גם המקדם וגם החזקה גדלים. המלכודת: לכתוב 3⋅223 \cdot 2^2 במחובר השלישי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הטענה: 1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n=(n−1)⋅2n+1+21 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\dots+n \cdot 2^n=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2 לכל nn טבעי. ב. השלימו את שלב ההוכחה.

(k−1)⋅2k+1+2+(k+1)⋅2k+1=(k-1) \cdot 2^{k+1}+2+(k+1) \cdot 2^{k+1}= ____ k⋅2k+1+2=k⋅2k+k \cdot 2^{k+1}+2=k \cdot 2^{k+} ____ +2+2

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (k−1)⋅2k+1+2+(k+1)⋅2k+1=(k-1) \cdot 2^{k+1}+2+(k+1) \cdot 2^{k+1}= 2 k⋅2k+1+2=k⋅2k+k \cdot 2^{k+1}+2=k \cdot 2^{k+} 2 +2+2

Corrigé :

(k−1)+(k+1)=2k(k-1)+(k+1)=2k

גורם משותף 2k+12^{k+1}

2k⋅2k+1=k⋅2k+22k \cdot 2^{k+1}=k \cdot 2^{k+2}

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1: (n−1)(n-1) הופך ל-kk

המחובר ה-(k+1)(k+1) הוא (k+1)⋅2k+1(k+1) \cdot 2^{k+1}. אחרי הוצאת 2k+12^{k+1} משני המחוברים, 2⋅2k+1=2k+22 \cdot 2^{k+1}=2^{k+2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הטענה: 1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n=(n−1)⋅2n+1+21 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\dots+n \cdot 2^n=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2 לכל nn טבעי. ג. עבור איזה nn הסכום 1⋅2+2⋅22+⋯+n⋅2n1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+\dots+n \cdot 2^n שווה ל-15381538?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

(n−1)⋅2n+1+2=1538 ⇒ (n−1)⋅2n+1=1536\begin{aligned}(n-1) \cdot 2^{n+1}+2 &= 1538 \ \Rightarrow \ (n-1) \cdot 2^{n+1} \\ &= 1536\end{aligned}

לפי הטענה

n=7: 6⋅256=1536\begin{aligned}n &= 7: \ 6 \cdot 256 \\ &= 1536\end{aligned}

מנסים ערכים: הביטוי עולה עם nn

הביטוי עולה, ולכן יש פתרון אחד. 1536=6⋅281536=6 \cdot 2^8. המלכודת: לפתור 2n+1=15362^{n+1}=1536 ולשכוח את הגורם (n−1)(n-1).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון: 3+32+33+⋯+3n=3n+1+a23+3^2+3^3+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}+a}{2} לכל nn טבעי. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

n=1: 3=9+a2\begin{aligned}n &= 1: \ 3 \\ &= \frac{9+a}{2}\end{aligned}

On remplace (מציבים)

a=−3a=-3

On résout

n=2: 12=27−32\begin{aligned}n &= 2: \ 12 \\ &= \frac{27-3}{2}\end{aligned}

בדיקה

3n+13^{n+1} עבור n=1n=1 הוא 99, לא 33. המלכודת: להציב 3n3^n ולקבל a=3a=3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון: 3+32+33+⋯+3n=3n+1+a23+3^2+3^3+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}+a}{2} לכל nn טבעי. ב. בשלב ההוכחה מתקבל 3k+1−32+3k+1\frac{3^{k+1}-3}{2}+3^{k+1}. למה הוא שווה?

  1. 3k+2−32\frac{3^{k+2}-3}{2}
  2. 32k+2−32\frac{3^{2k+2}-3}{2}
  3. 3k+2−34\frac{3^{k+2}-3}{4}
  4. 2⋅3k+1−32\frac{2 \cdot 3^{k+1}-3}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 3k+2−32\frac{3^{k+2}-3}{2}

Corrigé :

3k+1−3+2⋅3k+12=3⋅3k+1−32\frac{3^{k+1}-3+2 \cdot 3^{k+1}}{2}=\frac{3 \cdot 3^{k+1}-3}{2}

מכנה משותף

3⋅3k+1=3k+23 \cdot 3^{k+1}=3^{k+2}

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1

הנכונה: 3k+2−32\frac{3^{k+2}-3}{2}. מי שבחר 2⋅3k+12 \cdot 3^{k+1} שכח לכפול את המחובר החדש ב-22. 32k+23^{2k+2} כופל חזקות במקום לחבר אותן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון: 3+32+33+⋯+3n=3n+1+a23+3^2+3^3+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}+a}{2} לכל nn טבעי. ג. חשבו את 3+32+⋯+363+3^2+\dots+3^6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1092

Corrigé :

n=6: 37−32=2187−32\begin{aligned}n &= 6: \ \frac{3^7-3}{2} \\ &= \frac{2187-3}{2}\end{aligned}

לפי הטענה

=1092=1092

חישוב

באגף ימין מופיעה 3n+1=373^{n+1}=3^7. המלכודת: 36−32=363\frac{3^6-3}{2}=363.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

סדרה מוגדרת על ידי a1=1a_1=1, an+1=an2an+1a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}. א. חשבו את a2a_2 ואת a3a_3, ורשמו את המכנים.

a2=1ba_2=\frac{1}{b} עם b=b= ____ ; a3=1ca_3=\frac{1}{c} עם c=c= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a2=1ba_2=\frac{1}{b} עם b=b= 3 ; a3=1ca_3=\frac{1}{c} עם c=c= 5

Corrigé :

a2=12+1=13\begin{aligned}a_2 &= \frac{1}{2+1} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

מציבים a1=1a_1=1

a3=1/32/3+1=1/35/3=15\begin{aligned}a_3 &= \frac{1/3}{2/3+1} \\ &= \frac{1/3}{5/3} \\ &= \frac{1}{5}\end{aligned}

מציבים a2a_2

המכנים 1,3,51, 3, 5: מספרים אי-זוגיים. זה רומז לנוסחה an=12n−1a_n=\frac{1}{2n-1}. המלכודת: לחלק את 13\frac{1}{3} ב-22 ולשכוח את ה-+1+1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

סדרה מוגדרת על ידי a1=1a_1=1, an+1=an2an+1a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}. ב. הוכיחו באינדוקציה ש-an=12n−1a_n=\frac{1}{2n-1}, ומצאו איזה איבר שווה ל-199\frac{1}{99}.

ak+1=1/(2k−1)2/(2k−1)+1=12k+a_{k+1}=\frac{1/(2k-1)}{2/(2k-1)+1}=\frac{1}{2k+} ____ ; an=199a_n=\frac{1}{99} עבור n=n= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ak+1=1/(2k−1)2/(2k−1)+1=12k+a_{k+1}=\frac{1/(2k-1)}{2/(2k-1)+1}=\frac{1}{2k+} 1 ; an=199a_n=\frac{1}{99} עבור n=n= 50

Corrigé :

1/(2k−1)2+2k−12k−1=12k+1\frac{1/(2k-1)}{\frac{2+2k-1}{2k-1}}=\frac{1}{2k+1}

כופלים מונה ומכנה ב-2k−12k-1

12k+1=12(k+1)−1\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2(k+1)-1}

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1

2n−1=99 ⇒ n=50\begin{aligned}2n-1 &= 99 \ \Rightarrow \ n \\ &= 50\end{aligned}

סעיף ב

2⋅12k−1+1=2k+12k−12 \cdot \frac{1}{2k-1}+1=\frac{2k+1}{2k-1}. המלכודת בסעיף השני: לענות n=99n=99 כי «המכנה הוא 9999».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

תלמיד טוען: 1+2+4+⋯+2n−1=n2−n+11+2+4+\dots+2^{n-1}=n^2-n+1 לכל nn טבעי. א. בדקו את הטענה עבור n=1n=1, n=2n=2 ו-n=3n=3. הוכיחו או הפריכו: הטענה נכונה בשלושת המקרים האלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

n=1: 1=1\begin{aligned}n &= 1: \ 1 \\ &= 1\end{aligned}

מתקיים

n=2: 3=4−2+1\begin{aligned}n &= 2: \ 3 \\ &= 4-2+1\end{aligned}

מתקיים

n=3: 7=9−3+1\begin{aligned}n &= 3: \ 7 \\ &= 9-3+1\end{aligned}

מתקיים

הטענה נכונה עבור שלושת הערכים. אבל שלוש בדיקות אינן הוכחה, כפי שיראה סעיף ב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

תלמיד טוען: 1+2+4+⋯+2n−1=n2−n+11+2+4+\dots+2^{n-1}=n^2-n+1 לכל nn טבעי. ב. מהו ה-nn הקטן ביותר שעבורו הטענה נכשלת?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

n=4: 1+2+4+8=15\begin{aligned}n &= 4: \ 1+2+4+8 \\ &= 15\end{aligned}

אגף שמאל

16−4+1=13≠1516-4+1=13 \neq 15

אגף ימין

הסכום האמיתי 2n−12^n-1 גדל פי 22 בערך בכל צעד, והביטוי הריבועי לא עומד בקצב. המלכודת: לסמוך על שלוש בדיקות ולנסות להוכיח.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe