Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: סכומים, מכפלות, נוסחה מפורשת לכלל נסיגה, פרמטר, ושגיאה בהוכחה. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

לפי 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}, חשבו את 1+2+3+⋯+1001+2+3+\dots+100.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5050

Corrigé :

100⋅1012=5050\frac{100 \cdot 101}{2}=5050

n=100n=100

מאה מחוברים, ולכן n=100n=100. המלכודת: לשכוח לחלק ב-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הטענה: 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\dots+(2n-1)=n^2. מה צריך להוכיח עבור n=k+1n=k+1?

  1. 1+3+⋯+(2k−1)=(k+1)21+3+\dots+(2k-1)=(k+1)^2
  2. 1+3+⋯+2k=(k+1)21+3+\dots+2k=(k+1)^2
  3. 1+3+⋯+(2k+1)=k2+11+3+\dots+(2k+1)=k^2+1
  4. 1+3+⋯+(2k+1)=(k+1)21+3+\dots+(2k+1)=(k+1)^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 1+3+⋯+(2k+1)=(k+1)21+3+\dots+(2k+1)=(k+1)^2

Corrigé :

2(k+1)−1=2k+12(k+1)-1=2k+1

המחובר האחרון

(k+1)2(k+1)^2

אגף ימין

הנכונה: 1+⋯+(2k+1)=(k+1)21+\dots+(2k+1)=(k+1)^2. מציבים k+1k+1 בשני האגפים. k2+1k^2+1 מוסיף 11 במקום להציב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

סדרה מוגדרת על ידי a1=1a_1=1, an+1=an+2n+1a_{n+1}=a_n+2n+1. מצאו את a7a_7.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 49

Corrigé :

1, 4, 9, 16, 25, 36, 491,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49

מוסיפים 3,5,7,…3, 5, 7, \dots

an=n2 ⇒ a7=49\begin{aligned}a_n &= n^2 \ \Rightarrow \ a_7 \\ &= 49\end{aligned}

הנוסחה שהוכחנו

בצעד מ-ana_n ל-an+1a_{n+1} מוסיפים 2n+12n+1: מ-a1a_1 מוסיפים 33, לא 11.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

הטענה: 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31 \cdot 2+2 \cdot 3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}. בשלב ההוכחה מוציאים גורם משותף. השלימו.

k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+c)3\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+c)}{3} עם c=c= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+c)3\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+c)}{3} עם c=c= 3

Corrigé :

(k+1)(k+2)[k3+1]=(k+1)(k+2)(k+3)3(k+1)(k+2)\left[\frac{k}{3}+1\right]=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}

גורם משותף

n=k+1: (k+1)(k+2)(k+3)3n=k+1: \ \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}

המטרה

שני גורמים משותפים יחד, (k+1)(k+2)(k+1)(k+2). מי שפותח את כל הסוגריים מקבל פולינום ממעלה שלישית שקשה לפרק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שלב ההוכחה של (1+11)(1+12)⋯(1+1n)=n+1\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

(1+11)⋯(1+1k)=k+1\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{k}\right)=k+1
(1+11)⋯(1+1k+1)=(k+1)+(1+1k+1)\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=(k+1)+\left(1+\frac{1}{k+1}\right)
=(k+1)⋅k+2k+1=(k+1) \cdot \frac{k+2}{k+1}
=k+2=k+2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (1+11)⋯(1+1k+1)=(k+1)+(1+1k+1)\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=(k+1)+\left(1+\frac{1}{k+1}\right) → (1+11)⋯(1+1k+1)=(k+1)(1+1k+1)\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=(k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)

Corrigé :

Pk+1=Pk⋅(1+1k+1)P_{k+1}=P_k \cdot \left(1+\frac{1}{k+1}\right)

במכפלה כופלים בגורם החדש

בסכום מוסיפים את האיבר החדש; במכפלה כופלים בו. השורה הבאה כבר כתובה ככפל, ולכן היא לא נובעת מהשורה השגויה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ידוע ש-1+5+9+⋯+(4n−3)=n(2n+c)1+5+9+\dots+(4n-3)=n(2n+c) לכל nn טבעי. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

n=1: 1=2+c ⇒ c=−1\begin{aligned}n &= 1: \ 1 \\ &= 2+c \ \Rightarrow \ c \\ &= -1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

n=2: 1+5=6=2⋅3\begin{aligned}n &= 2: \ 1+5 \\ &= 6 \\ &= 2 \cdot 3\end{aligned}

בדיקה

מציבים n=1n=1 ובודקים ב-n=2n=2. המלכודת: c=1c=1, מסימן שגוי בהעברת אגף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: הסדרה a1=2a_1=2, an+1=2an−1a_{n+1}=2a_n-1 מקיימת an=2n−1+1a_n=2^{n-1}+1 לכל nn טבעי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

a1=20+1=2\begin{aligned}a_1 &= 2^0+1 \\ &= 2\end{aligned}

בסיס

ak+1=2(2k−1+1)−1=2k+1\begin{aligned}a_{k+1} &= 2\left(2^{k-1}+1\right)-1 \\ &= 2^k+1\end{aligned}

צעד

הטענה נכונה. 2⋅2k−1=2k2 \cdot 2^{k-1}=2^k, וזו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1. המלכודת: 20=02^0=0 במקום 11, ואז הבסיס «נכשל».

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

הוכיחו באינדוקציה: לכל n≥2n \geq 2, (1−122)(1−132)⋯(1−1n2)=n+12n\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}.

  • nn מספר טבעי, n≥2n \geq 2

(1−122)⋯(1−1n2)=n+12n\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}

Voir la réponse et le corrigé
  1. 1−14=34=2+12⋅21-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2 \cdot 2} — בדיקה עבור n=2n=2
  2. (1−122)⋯(1−1k2)=k+12k\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{k+1}{2k} — הנחת האינדוקציה
  3. (1−122)⋯(1−1(k+1)2)=k+12k⋅k(k+2)(k+1)2\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{(k+1)^2}\right)=\frac{k+1}{2k} \cdot \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} — כופלים בגורם החדש: 1−1(k+1)2=k(k+2)(k+1)21-\frac{1}{(k+1)^2}=\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}
  4. (1−122)⋯(1−1(k+1)2)=k+22(k+1)\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{(k+1)^2}\right)=\frac{k+2}{2(k+1)} — צמצום: זו הטענה עבור n=k+1n=k+1

Corrigé :

(k+1)2−1=k(k+2)(k+1)^2-1=k(k+2)

הפרש ריבועים

k+12k⋅k(k+2)(k+1)2=k+22(k+1)\frac{k+1}{2k} \cdot \frac{k(k+2)}{(k+1)^2}=\frac{k+2}{2(k+1)}

צמצום

הבסיס הוא n=2n=2, כי המכפלה מתחילה ב-122\frac{1}{2^2}. המלכודת: לבדוק n=1n=1, שבו הטענה לא מוגדרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הטענה 1⋅3+2⋅4+⋯+n(n+2)=n(n+1)(2n+7)61 \cdot 3+2 \cdot 4+\dots+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6} הוכחה בפרק. חשבו בעזרתה את 1⋅3+2⋅4+⋯+20⋅221 \cdot 3+2 \cdot 4+\dots+20 \cdot 22.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3290

Corrigé :

n(n+2)=20⋅22 ⇒ n=20\begin{aligned}n(n+2) &= 20 \cdot 22 \ \Rightarrow \ n \\ &= 20\end{aligned}

המחובר האחרון

20⋅21⋅476=3290\frac{20 \cdot 21 \cdot 47}{6}=3290

הנוסחה

2n+7=472n+7=47 עבור n=20n=20. המלכודת: להציב n=22n=22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סדרה מוגדרת על ידי a1=1a_1=1, an+1=an+3na_{n+1}=a_n+3n. הוכיחו באינדוקציה ש-an=3n2−3n+22a_n=\frac{3n^2-3n+2}{2}, ומצאו את a20a_{20}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 571

Corrigé :

a1=3−3+22=1\begin{aligned}a_1 &= \frac{3-3+2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

בסיס

3k2−3k+22+3k=3k2+3k+22\frac{3k^2-3k+2}{2}+3k=\frac{3k^2+3k+2}{2}

צעד: כלל הנסיגה עבור n=kn=k

3(k+1)2−3(k+1)+2=3k2+3k+23(k+1)^2-3(k+1)+2=3k^2+3k+2

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1

a20=1200−60+22=571\begin{aligned}a_{20} &= \frac{1200-60+2}{2} \\ &= 571\end{aligned}

הצבה

בצעד מוסיפים 3k3k, לא 3(k+1)3(k+1). ובסוף: הנוסחה חוסכת תשעה-עשר צעדים של כלל הנסיגה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe