La primitive

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו קיבלתם פונקציה וחיפשתם את הנגזרת שלה. עכשיו הכיוון מתהפך: נתונה הנגזרת, ומחפשים את הפונקציה שממנה היא באה. הפונקציה הזו נקראת פונקציה קדומה.

∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \ne -1)

מעלים את החזקה באחד, ומחלקים בחזקה החדשה — בדיוק ההפך מהגזירה.

ולמה תמיד מוסיפים +C+C? מפני שגזירה מוחקת את המספר החופשי: ל-x2x^2, ל-x2+7x^2+7 ול-x2−100x^2-100 יש בדיוק אותה נגזרת. כשחוזרים אחורה אי אפשר לדעת מה היה שם, ולכן כותבים קבוע כללי.

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\begin{aligned}\int \cos x \, dx &= \sin x + C \qquad \int \sin x \, dx \\ &= -\cos x + C\end{aligned}

שוב, שימו לב למינוס — הפעם הוא צץ אצל הסינוס.

למצוא את הקבוע

נתון f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 וידוע ש-f(1)=5f(1) = 5. מצאו את f(x)f(x).

f(x)=x3+Cf(x) = x^3 + C

הפונקציה הקדומה הכללית

1+C=51 + C = 5

מציבים את הנתון

C=4C = 4
f(x)=x3+4f(x) = x^3 + 4

עכשיו הפונקציה יחידה

בדיקה שלוקחת שנייה: גזרו את התשובה. אם קיבלתם בחזרה את מה שהיה בתוך האינטגרל — הפתרון נכון.

מהי ∫(4x+3) dx\int (4x + 3)\, dx?

Voir la réponse et le corrigé

2x2+3x+C2x^2 + 3x + C. בדיקה: הנגזרת של 2x2+3x2x^2+3x היא 4x+34x+3 ✓.

ולמה ∫x−1dx\int x^{-1} dx אינו x00\frac{x^0}{0}?

Voir la réponse et le corrigé

מפני שחלוקה באפס אסורה — ולכן הכלל מוגבל ל-n≠−1n \ne -1. המקרה הזה מטופל בנפרד ואינו בתוכנית של שאלון 571.

הטעות שעולה נקודה בכל שאלה.

∫3x2dx=x3\int 3x^2 dx = x^3
∫3x2dx=x3+C\int 3x^2 dx = x^3 + C

בלי +C+C התשובה אינה שלמה: יש אינסוף פונקציות קדומות, לא אחת.

Exercices

Exercice 1

מהי ∫3x2 dx\int 3x^2 \, dx?

  1. x33+C\frac{x^3}{3} + C
  2. x3+Cx^3 + C
  3. 6x+C6x + C
  4. 3x3+C3x^3 + C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x3+Cx^3 + C

Corrigé :

בדיקה: הנגזרת של x3x^3 היא 3x23x^2 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי ∫(4x+3) dx\int (4x + 3) \, dx?

  1. x2+3x+Cx^2 + 3x + C
  2. 2x2+3x+C2x^2 + 3x + C
  3. 2x2+3+C2x^2 + 3 + C
  4. 4x2+3x+C4x^2 + 3x + C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 2x2+3x+C2x^2 + 3x + C

Corrigé :

האינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לגזירה: מעלים את החזקה באחד ומחלקים במעריך החדש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי ∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx?

  1. −sin⁡x+C-\sin x + C
  2. cos⁡x+C\cos x + C
  3. −cos⁡x+C-\cos x + C
  4. sin⁡x+C\sin x + C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D sin⁡x+C\sin x + C

Corrigé :

האינטגרל של הקוסינוס הוא סינוס. שווה לזכור את הזוג הזה בשני הכיוונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי ∫sin⁡x dx\int \sin x \, dx?

  1. sin⁡x+C\sin x + C
  2. −cos⁡x+C-\cos x + C
  3. cos⁡x+C\cos x + C
  4. −sin⁡x+C-\sin x + C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −cos⁡x+C-\cos x + C

Corrigé :

כאן המינוס מופיע — הפוך מהגזירה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 ו-f(1)=5f(1) = 5. מהו הקבוע CC?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(x)=x3+Cf(x) = x^3 + C
1+C=51 + C = 5
C=4C = 4

הקבוע CC נקבע רק כשיודעים ערך אחד של הפונקציה — בלעדיו יש אינסוף פונקציות קדומות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ולפי הסעיף הקודם — מהו f(2)f(2)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

f(x)=x3+4f(x) = x^3 + 4
f(2)=8+4=12\begin{aligned}f(2) &= 8 + 4 \\ &= 12\end{aligned}

אחרי שמצאנו את CC, הפונקציה מלאה וניתן להציב בה כל מספר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1 ו-f(0)=3f(0) = 3. מהו f(2)f(2)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

f(x)=x2+x+Cf(x) = x^2 + x + C
C=3C = 3

מהנתון f(0)=3f(0)=3

f(2)=4+2+3=9\begin{aligned}f(2) &= 4 + 2 + 3 \\ &= 9\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לפונקציה f′(x)=2xf'(x) = 2x יש בדיוק פונקציה קדומה אחת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x2+Cx^2 + C

לכל CC

יש אינסוף — כולן נבדלות במספר חופשי בלבד. רק נתון נוסף (נקודה על הגרף) בוחר אחת מהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו כל אינטגרל לתוצאה שלו

  • ∫2x dx\int 2x \, dx
  • ∫x3 dx\int x^3 \, dx
  • ∫5 dx\int 5 \, dx
  • ∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx
  • x44+C\frac{x^4}{4} + C
  • sin⁡x+C\sin x + C
  • 5x+C5x + C
  • x2+Cx^2 + C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∫2x dx\int 2x \, dx — x2+Cx^2 + C · ∫x3 dx\int x^3 \, dx — x44+C\frac{x^4}{4} + C · ∫5 dx\int 5 \, dx — 5x+C5x + C · ∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx — sin⁡x+C\sin x + C

Corrigé :

בכל שורה אפשר לבדוק בגזירה חוזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

∫4x dx=2x2+C\int 4x \, dx = 2x^2 + C
∫x2 dx=x33+C\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C
∫cos⁡x dx=−sin⁡x+C\int \cos x \, dx = -\sin x + C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∫cos⁡x dx=−sin⁡x+C\int \cos x \, dx = -\sin x + C → ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C

Corrigé :

המינוס שייך לאינטגרל של הסינוס, לא של הקוסינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מהו המקדם של x3x^3 בפונקציה הקדומה של f′(x)=6x2f'(x) = 6x^2? (כלומר ∫6x2dx=ax3+C\int 6x^2 dx = ax^3 + C)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

∫6x2dx=2x3+C\int 6x^2 dx = 2x^3 + C

המקדם עולה מהחלוקה במעריך החדש: 6 חלקי 3 נותן 2.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe