L’intégrale définie

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

האינטגרל הלא מסוים מחזיר משפחת פונקציות. האינטגרל המסוים מחזיר מספר — ומחשבים אותו בשני שלבים: מוצאים פונקציה קדומה, ומחסרים את ערכיה בשני הקצוות.

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

ו-CC נעלם מעצמו: (F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a).

למה החיסור הזה נותן דווקא שטח? כי אפשר לכסות את השטח במלבנים דקים ולסכם אותם. ככל שהמלבנים צרים יותר, הסכום מתקרב לשטח האמיתי — והאינטגרל הוא בדיוק הגבול הזה.

חישוב מלא

חשבו את ∫13(3x2+2x) dx\int_1^3 (3x^2 + 2x)\,dx.

F(x)=x3+x2F(x) = x^3 + x^2

פונקציה קדומה — בלי CC, הוא יתבטל

F(3)=27+9=36\begin{aligned}F(3) &= 27 + 9 \\ &= 36\end{aligned}
F(1)=1+1=2\begin{aligned}F(1) &= 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned}
36−2=3436 - 2 = 34

זו התשובה — מספר

סדר הגבולות משנה סימן: ∫baf=−∫abf\int_b^a f = -\int_a^b f. אם קיבלתם שטח שלילי, בדקו קודם שלא החלפתם בין הגבולות.

חשבו את ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

F(x)=x33F(x) = \frac{x^3}{3}, ולכן F(2)−F(0)=83−0=83≈2.67F(2)-F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2.67.

ומהו ∫0π2cos⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx?

Voir la réponse et le corrigé

F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x, ולכן sin⁡π2−sin⁡0=1−0=1\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1.

הטעות הנפוצה.

F(a)−F(b)F(a) - F(b)
F(b)−F(a)F(b) - F(a)

קודם הגבול העליון. היפוך הסדר הופך את הסימן ומאבד את התשובה.

Exercices

Exercice 1

חשבו את ∫13(3x2+2x) dx\int_1^3 (3x^2 + 2x)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 34

Corrigé :

F(x)=x3+x2F(x) = x^3 + x^2
F(3)−F(1)=36−2=34\begin{aligned}F(3) - F(1) &= 36 - 2 \\ &= 34\end{aligned}

אינטגרל מסוים הוא הפרש: הפונקציה הקדומה בגבול העליון פחות בגבול התחתון. הקבוע CC מתבטל תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx. (עגלו ל-3 ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.667

Corrigé :

F(x)=x33F(x) = \frac{x^3}{3}
83−0≈2.667\frac{8}{3} - 0 \approx 2.667

אותה מכניקה. שימו לב שהגבול התחתון 0 אינו «אפס אוטומטי» — צריך להציב אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את ∫01(2x+1) dx\int_0^1 (2x + 1)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

F(x)=x2+xF(x) = x^2 + x
F(1)−F(0)=2−0=2\begin{aligned}F(1) - F(0) &= 2 - 0 \\ &= 2\end{aligned}

מוצאים קדומה, מציבים שני גבולות, מחסרים. שלושה שלבים קבועים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו את ∫0π2cos⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x
1−0=11 - 0 = 1

הקדומה של הקוסינוס היא סינוס, ובגבולות האלה ההפרש יוצא בדיוק 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את ∫−22(4−x2) dx\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx. (עגלו ל-3 ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.667

Corrigé :

F(x)=4x−x33F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}
F(2)−F(−2)=163+163=323\begin{aligned}F(2) - F(-2) &= \frac{16}{3} + \frac{16}{3} \\ &= \frac{32}{3}\end{aligned}

הגבול התחתון שלילי — כשמציבים אותו בחזקה אי-זוגית, הסימן מתהפך ושני האיברים מצטברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חשבו את ∫126x dx\int_1^2 6x\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

F(x)=3x2F(x) = 3x^2
12−3=912 - 3 = 9

קדומה, הצבה, חיסור. גם כשהפונקציה פשוטה, הסדר לא משתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

תוצאת אינטגרל מסוים היא פונקציה של xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)

שני מספרים

זהו מספר. ה-xx נעלם ברגע שמציבים את הגבולות — הוא רק משתנה עזר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מתקיים ∫31f(x)dx=−∫13f(x)dx\int_3^1 f(x)dx = -\int_1^3 f(x)dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

F(1)−F(3)=−(F(3)−F(1))F(1)-F(3) = -(F(3)-F(1))

החלפת הגבולות הופכת את הסימן — תכונה שימושית כשמפצלים תחומים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון ∫04f(x)dx=10\int_0^4 f(x)dx = 10 ו-∫02f(x)dx=3\int_0^2 f(x)dx = 3. מהו ∫24f(x)dx\int_2^4 f(x)dx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

∫04=∫02+∫24\int_0^4 = \int_0^2 + \int_2^4

תכונת הפיצול

10=3+x⇒x=7\begin{aligned}10 &= 3 + x \Rightarrow x \\ &= 7\end{aligned}

אפשר לפצל אינטגרל לפי נקודת ביניים — ולחבר בחזרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סדרו את שלבי חישוב האינטגרל המסוים

  • מוצאים פונקציה קדומה F(x)F(x)
  • מחסרים: F(b)−F(a)F(b) - F(a)
  • מציבים את הגבול העליון: F(b)F(b)
  • מציבים את הגבול התחתון: F(a)F(a)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מוצאים פונקציה קדומה F(x)F(x) · מציבים את הגבול העליון: F(b)F(b) · מציבים את הגבול התחתון: F(a)F(a) · מחסרים: F(b)−F(a)F(b) - F(a)

Corrigé :

הסדר חשוב — בעיקר בשלב האחרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

השלימו את חישוב ∫132x dx\int_1^3 2x\,dx

F(3)=F(3) = ____ , F(1)=F(1) = ____ , והתוצאה היא ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : F(3)=F(3) = 9 , F(1)=F(1) = 1 , והתוצאה היא 8

Corrigé :

F(x)=x2F(x) = x^2
9−1=89 - 1 = 8

שתי שורות: קודם הקדומה, ואז ההפרש בין שני הגבולות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe