Calcul d’aires

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

האינטגרל המסוים נותן שטח — אבל עם סימן. מעל ציר ה-xx הוא חיובי, ומתחתיו שלילי. שטח, לעומת זאת, הוא תמיד גודל חיובי. כל הפרק הזה הוא ניהול נכון של ההבדל.

11

הגרף מעל הציר בכל התחום — השטח הוא בדיוק האינטגרל.

22

הגרף מתחת לציר — האינטגרל שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט שלו.

33

הגרף חוצה את הציר — מפצלים בנקודת החיתוך, מחשבים כל חלק בנפרד, ומחברים ערכים מוחלטים.

ולשטח בין שני גרפים יש נוסחה אחת שמכסה הכול: מחסרים את הפונקציה התחתונה מהעליונה, ומאנטגרלים בין נקודות המפגש.

S=∫ab(fעליונה(x)−fתחתונה(x)) dxS = \int_a^b \big(f_{\text{עליונה}}(x) - f_{\text{תחתונה}}(x)\big)\,dx

ההפרש תמיד אי-שלילי בתחום שבין החיתוכים — ולכן אין כאן בעיית סימן.

שטח בין שני גרפים

מצאו את השטח הכלוא בין y=xy = x ל-y=x2y = x^2.

x=x2⇒x=0 x=1\begin{aligned}x &= x^2 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 1\end{aligned}

נקודות המפגש — הגבולות

x>x2 בתחום (0,1)x > x^2 \ \text{בתחום} \ (0,1)

הישר למעלה

∫01(x−x2)dx=12−13\int_0^1 (x - x^2)dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
S=16S = \frac{1}{6}

איך יודעים מי למעלה? מציבים נקודה אחת מתוך התחום בשתי הפונקציות ומשווים. שנייה של עבודה שמונעת סימן הפוך בכל השאלה.

מהו השטח הכלוא בין y=4−x2y = 4 - x^2 לציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

נקודות החיתוך: x=±2x = \pm 2. הפרבולה מעל הציר ביניהן, ולכן S=∫−22(4−x2)dx=323≈10.67S = \int_{-2}^{2}(4-x^2)dx = \frac{32}{3} \approx 10.67.

ומהו השטח הכלוא בין y=x2−4y = x^2 - 4 לציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

אותו שטח בדיוק — 323\frac{32}{3}. הפרבולה הזו היא השיקוף של הקודמת, וכולה מתחת לציר; האינטגרל ייתן −323-\frac{32}{3}, והשטח הוא הערך המוחלט.

הטעות שמופיעה כמעט תמיד.

S=−323S = -\frac{32}{3}
S=323S = \frac{32}{3}

שטח שלילי אינו קיים. כשהגרף מתחת לציר — לוקחים ערך מוחלט.

∫−33x3dx=0⇒S=0\begin{aligned}\int_{-3}^{3} x^3 dx &= 0 \Rightarrow S \\ &= 0\end{aligned}
S=2∫03x3dxS = 2\int_0^3 x^3 dx

האינטגרל התאפס כי החלקים ביטלו זה את זה. השטח אינו אפס — חייבים לפצל בנקודת החיתוך.

Exercices

Exercice 1

מהו השטח הכלוא בין y=4−x2y = 4 - x^2 לציר ה-xx? (עגלו ל-3 ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.667

Corrigé :

4−x2=0⇒x=±2\begin{aligned}4 - x^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

הגבולות

∫−22(4−x2)dx=323\int_{-2}^{2}(4-x^2)dx = \frac{32}{3}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו השטח הכלוא בין y=x2−4y = x^2 - 4 לציר ה-xx? (עגלו ל-3 ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.667

Corrigé :

∫−22(x2−4)dx=−323\int_{-2}^{2}(x^2-4)dx = -\frac{32}{3}

הגרף מתחת לציר

S=∣−323∣=323\begin{aligned}S &= \left|-\frac{32}{3}\right| \\ &= \frac{32}{3}\end{aligned}

ערך מוחלט

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו השטח הכלוא בין y=xy = x ל-y=x2y = x^2? (עגלו ל-4 ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.1667

Corrigé :

x=x2⇒x=01\begin{aligned}x &= x^2 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ 1\end{aligned}
∫01(x−x2)dx=16\int_0^1 (x - x^2)dx = \frac{1}{6}

שטח בין שני גרפים הוא האינטגרל של ההפרש — העליון פחות התחתון. קודם מוצאים איפה הם נפגשים, כי שם הגבולות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו השטח מתחת ל-y=x2y = x^2 בין x=0x=0 ל-x=3x=3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

∫03x2dx=273=9\begin{aligned}\int_0^3 x^2 dx &= \frac{27}{3} \\ &= 9\end{aligned}

כשהגרף מעל הציר, האינטגרל הוא השטח, בלי טיפול נוסף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו השטח מתחת ל-y=x3y = x^3 בין x=0x=0 ל-x=2x=2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

F(x)=x44F(x) = \frac{x^4}{4}
164−0=4\frac{16}{4} - 0 = 4

אותו מקרה: הפונקציה חיובית בתחום, ולכן האינטגרל נותן ישירות את השטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון שהגרף של ff נמצא כולו מתחת לציר ה-xx בתחום, ו-∫15f(x)dx=−12\int_1^5 f(x)dx = -12. מהו השטח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

S=∣−12∣=12\begin{aligned}S &= |-12| \\ &= 12\end{aligned}

מתחת לציר האינטגרל יוצא שלילי — אבל שטח אינו שלילי לעולם. לוקחים ערך מוחלט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

איך מחשבים שטח בין שני גרפים?

  1. ∫ab(basse−haute)dx\int_a^b (\text{basse} - \text{haute})dx
  2. ∫abf⋅g dx\int_a^b f \cdot g \, dx
  3. ∫ab(haute−basse)dx\int_a^b (\text{haute} - \text{basse})dx
  4. ∫ab(f+g)dx\int_a^b (f + g)dx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ∫ab(haute−basse)dx\int_a^b (\text{haute} - \text{basse})dx

Corrigé :

ההפרש בסדר הזה אי-שלילי בין נקודות המפגש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

אם ∫abf(x)dx=0\int_a^b f(x)dx = 0 אז השטח בין הגרף לציר הוא אפס.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∫−33x3dx=0\int_{-3}^{3} x^3 dx = 0
S=2∫03x3dx>0S = 2\int_0^3 x^3 dx > 0

החלקים שמעל ומתחת לציר ביטלו זה את זה בחישוב. השטח מחייב פיצול וערכים מוחלטים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהן נקודות המפגש של y=xy=x ו-y=x2y=x^2? כתבו את ה-xx הגדול מביניהן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x=x2⇒x(x−1)=0\begin{aligned}x &= x^2 \Rightarrow x(x-1) \\ &= 0\end{aligned}
x=0 או x=1\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 1\end{aligned}

נקודות המפגש הן פתרונות המשוואה f=gf = g. הן גם הגבולות של האינטגרל בשאלה הבאה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סדרו את שלבי חישוב השטח בין שני גרפים

  • בודקים מי מהן למעלה בתחום
  • התוצאה היא השטח
  • מאנטגרלים את ההפרש בין הגבולות
  • משווים בין הפונקציות ומוצאים את נקודות המפגש
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : משווים בין הפונקציות ומוצאים את נקודות המפגש · בודקים מי מהן למעלה בתחום · מאנטגרלים את ההפרש בין הגבולות · התוצאה היא השטח

Corrigé :

הבדיקה של מי למעלה היא השלב שמדלגים עליו — ומשלמים בסימן הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

האם התוצאה יכולה לצאת שלילית?

  • יכול לצאת שלילי
  • תמיד אי-שלילי
  • F(b)−F(a)F(b) - F(a)
  • אינטגרל מסוים
  • ערך מוחלט של אינטגרל
  • שטח
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אינטגרל מסוים — יכול לצאת שלילי · שטח — תמיד אי-שלילי · F(b)−F(a)F(b) - F(a) — יכול לצאת שלילי · ערך מוחלט של אינטגרל — תמיד אי-שלילי

Corrigé :

זה כל הלקח של הפרק: אינטגרל הוא מספר עם סימן, שטח הוא גודל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

השלימו עבור y=4−x2y = 4-x^2 וציר ה-xx

נקודות החיתוך הן x=±x = \pm ____ , והשטח הוא בערך ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נקודות החיתוך הן x=±x = \pm 2 , והשטח הוא בערך 10.67

Corrigé :

4−x2=04 - x^2 = 0
S=323≈10.67S = \frac{32}{3} \approx 10.67

קודם הגבולות מתוך נקודות האפס, ואז האינטגרל ביניהן.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe