On résout ensemble · Calcul intégral · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון פרק 4 של הבגרות: שטח בין שני גרפים, שטח מורכב עם משיק, פרמטר שנמצא משטח, ופונקציה קדומה שעוברת בנקודה נתונה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל שאלת שטח שלושה צעדים קבועים: גבולות (נקודות החיתוך), מי למעלה (מציבים נקודה אחת מהתחום), ורק אז אינטגרל של העליון פחות התחתון.

1 — שטח בין שני גרפים

f(x) = x² − 2x ו-g(x) = 4 − x²

שני הגרפים נפגשים ב-

x=-1

וב-

x=2

. בין שתי הנקודות

g

מעל

f

Activité interactive

נתונות $f(x)=x^2-2x$ ו- $g(x)=4-x^2$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים. ב. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.

\begin{aligned}f(x) &= x^2-2x \\ \quad g(x) &= 4-x^2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הגבולות של האינטגרל הם נקודות החיתוך, לא נקודות החיתוך עם הצירים.

א. חיתוך

\begin{aligned}x^2-2x &= 4-x^2 \ \Rightarrow \ 2x^2-2x-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2-x-2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומסדרים.

א. נקודות

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 2 \qquad (-1,\,3) \\ \ (2,\,0)\end{aligned}

שיעורי ה- $y$ מאחת הפונקציות.

ב. מי למעלה

\begin{aligned}x &= 0: \ g(0) \\ &= 4>f(0) \\ &= 0\end{aligned}

בכל התחום $g$ מעל $f$ .

ב. אינטגרל

\int_{-1}^{2} \left[(4-x^2)-(x^2-2x)\right] dx=\int_{-1}^{2} (4+2x-2x^2)\,dx

העליון פחות התחתון, בסוגריים.

ב. קדומה

\Big[4x+x^2-\tfrac{2}{3}x^3\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{20}{3}-\left(-\tfrac{7}{3}\right)

מציבים את הגבול העליון ומחסרים את התחתון.

ב. השטח

S=9

יחידות שטח.

שימו לב: חלק מהשטח נמצא מתחת לציר ה- $x$ (שם $f<0$ ). זה לא משנה דבר — ההפרש $g-f$ חיובי בכל התחום.

Faire l'activité sur elev

האם צריך לחלק את האינטגרל ב- $x=0$ , שם $f$ חותכת את ציר ה- $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. בשטח בין שני גרפים מה שקובע הוא הסימן של $g-f$ , לא הסימן של כל פונקציה לבד. חלוקה נדרשת רק אם הגרפים מחליפים מקום.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שטח מורכב: גרף, משיק וישר

f(x) = 4/x² והמשיק ב-x = 2

המשיק נוגע בגרף ב-

(2,\,1)

. השטח המבוקש נמצא בין הגרף, המשיק והישר

x=1

Activité interactive

נתונה $f(x)=\frac{4}{x^2}$ . א. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=2$ . ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , המשיק והישר $x=1$ .

\begin{aligned}f(x) &= \frac{4}{x^2} \\ &= 4x^{-2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כותבים את $f$ כחזקה שלילית: כך קל לגזור וגם קל למצוא קדומה.

א. נקודה

\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה $(2,\,1)$ .

א. שיפוע

\begin{aligned}f'(x) &= -8x^{-3} \\ &= -\frac{8}{x^3} \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= -1\end{aligned}

כלל החזקה.

א. משיק

\begin{aligned}y-1 &= -(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3-x\end{aligned}

נקודה ושיפוע.

ב. מי למעלה

\begin{aligned}x &= 1: \ f(1) \\ &= 4>3-1 \\ &= 2\end{aligned}

הגרף מעל המשיק בין $x=1$ ל- $x=2$ .

ב. אינטגרל

\int_{1}^{2} \left[\frac{4}{x^2}-(3-x)\right] dx=\Big[-\frac{4}{x}-3x+\frac{x^2}{2}\Big]_{1}^{2}

הקדומה של $4x^{-2}$ היא $-4x^{-1}$ .

ב. השטח

\begin{aligned}(-2-6+2)-\left(-4-3+\tfrac{1}{2}\right) &= -6+6.5 \\ &= 0.5\end{aligned}

השטח: $0.5$ .

הגבולות: $x=1$ (הישר הנתון) ו- $x=2$ (נקודת ההשקה). הגרף קמור, ולכן הוא מעל כל משיק שלו — הבדיקה בנקודה אחת מאשרת זאת.

Faire l'activité sur elev

למה הקדומה של $\frac{4}{x^2}$ אינה $\frac{4}{3x^3}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

כי $\frac{4}{x^2}=4x^{-2}$ , ומעלים את החזקה ב- $1$ : $-2+1=-1$ . מקבלים $\frac{4x^{-1}}{-1}=-\frac{4}{x}$ . $\frac{4}{3x^3}$ «העלה» את החזקה שבמכנה, וזה הכיוון ההפוך.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטר שנמצא משטח

Activité interactive

השטח ידוע — מה הגבול?

השטח המוגבל על ידי הגרף של $f(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$ , הצירים והישר $x=k$ (כאשר $k>0$ ) שווה ל- $1.5$ . מצאו את $k$ .

$k=3$

$k=\frac{1}{3}$

$k=0.75$

$k=2$

מה הקדומה של $\frac{2}{(x+1)^2}$ ?

$-\frac{2}{x+1}$

Voir la réponse et le corrigé

$2(x+1)^{-2}$ נותן $\frac{2(x+1)^{-1}}{-1}$ . הנגזרת הפנימית היא $1$ .

$\frac{2}{3(x+1)^3}$

Voir la réponse et le corrigé

החזקה היא $-2$ , ומעלים אותה ל- $-1$ , לא ל- $-3$ .

\int \frac{2}{(x+1)^2}\,dx=-\frac{2}{x+1}+C

בדיקה: $\left(-2(x+1)^{-1}\right)'=2(x+1)^{-2}$ ✓

איך כותבים את השטח?

$\int_0^k \frac{2}{(x+1)^2}\,dx$

Voir la réponse et le corrigé

ציר ה- $y$ הוא $x=0$ , והפונקציה חיובית.

$\int_{-1}^k \frac{2}{(x+1)^2}\,dx$

Voir la réponse et le corrigé

$x=-1$ היא אסימפטוטה, לא ציר. השטח מוגבל על ידי ציר ה- $y$ .

\Big[-\frac{2}{x+1}\Big]_0^k=2-\frac{2}{k+1}

מציבים את שני הגבולות.

איך פותרים?

משווים ל- $1.5$

Voir la réponse et le corrigé

המשוואה בנעלם $k$ .

גוזרים לפי $k$ ומשווים לאפס

Voir la réponse et le corrigé

לא מחפשים כאן קיצון: השטח נתון.

\begin{aligned}2-\frac{2}{k+1} &= 1.5 \ \Rightarrow \ \frac{2}{k+1} \\ &= 0.5 \ \Rightarrow \ k+1 \\ &= 4\end{aligned}

$k=3$ , ו- $k>0$ ✓

Voir la réponse et le corrigé

$k=3$ . מי שבחר $\int_{-1}^{k}$ נתקע: האינטגרל לא מוגדר, כי $x=-1$ היא אסימפטוטה. בדיקה מהירה: גם כש- $k$ גדל מאוד, השטח קטן מ- $2$ . לכן $1.5$ אפשרי, ו- $2.5$ לא היה אפשרי.

Faire l'activité sur elev

האם יש $k>0$ שעבורו השטח שווה ל- $2$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $2-\frac{2}{k+1}<2$ לכל $k>0$ . השטח מתקרב ל- $2$ כש- $k$ גדל, אבל לא מגיע אליו.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פונקציה קדומה שעוברת בנקודה, ואז שטח

Activité interactive

נתונה $f(x)=1-\frac{4}{x^2}$ , בתחום $x>0$ . הפונקציה $F$ מקיימת $F'(x)=f(x)$ , והגרף של $F$ עובר בנקודה $(1,\,6)$ . א. מצאו את $F(x)$ . ב. מצאו את נקודת הקיצון של $F$ וקבעו את סוגה. ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=4$ .

\begin{aligned}F'(x) &= 1-\frac{4}{x^2} \\ \quad F(1) &= 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנקודה הנתונה קובעת את הקבוע $C$ .

א. קדומה

F(x)=x+\frac{4}{x}+C

הקדומה של $-4x^{-2}$ היא $+4x^{-1}$ .

א. הקבוע

\begin{aligned}F(1) &= 1+4+C \\ &= 6 \ \Rightarrow \ C \\ &= 1\end{aligned}

לכן $F(x)=x+\frac{4}{x}+1$ .

ב. חשודה

\begin{aligned}F'(x) &= f(x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

רק $x=2$ בתחום $x>0$ .

ב. סוג

\begin{aligned}f(1) &= -3<0 \\ \quad f(3) &= \tfrac{5}{9}>0 \ \Rightarrow \ \min (2,\,5)\end{aligned}

$F(2)=2+2+1=5$ .

ג. גבולות

\begin{aligned}f(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

השטח בין $x=2$ ל- $x=4$ , ושם $f \geq 0$ .

ג. השטח

\begin{aligned}\int_2^4 f(x)\,dx &= F(4)-F(2) \\ &= 6-5 \\ &= 1\end{aligned}

יש כבר קדומה — משתמשים בה.

סעיף ג נפתר בשורה אחת בזכות סעיף א: האינטגרל של $f$ הוא הפרש ערכים של הקדומה $F$ . הקבוע $C$ מתבטל בחיסור.

Faire l'activité sur elev

איך אפשר לדעת מהגרף של $F$ בלבד איפה $f$ חותכת את ציר ה- $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

במקום שבו ל- $F$ יש נקודת קיצון: שם $F'=f=0$ . כאן זה $x=2$ , המינימום של $F$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. שאלה 5 בודקת את התחום של האינטגרל.

Exercices

Exercice 1

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של $f(x)=x^2$ ו- $g(x)=8-x^2$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21.33

Corrigé :

\begin{aligned}x^2 &= 8-x^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

נקודות החיתוך

\begin{aligned}x &= 0: \ g(0) \\ &= 8>f(0) \\ &= 0\end{aligned}

$g$ למעלה

\begin{aligned}\int_{-2}^{2} (8-2x^2)\,dx &= \Big[8x-\tfrac{2}{3}x^3\Big]_{-2}^{2} \\ &= \tfrac{64}{3}\end{aligned}

העליון פחות התחתון

\tfrac{64}{3} \approx 21.33

השטח

בחישוב $\Big[\ \Big]_{-2}^{2}$ הגבול התחתון שלילי: $-\left(8 \cdot (-2)-\tfrac{2}{3}(-8)\right)=+\tfrac{32}{3}$ . טעות סימן כאן נותנת $0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x)=\frac{9}{x^2}$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , המשיק לגרף בנקודה שבה $x=3$ , והישר $x=1$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.67

Corrigé :

\begin{aligned}f(3) &= 1 \\ \quad f'(x) &= -\frac{18}{x^3} \ \Rightarrow \ f'(3) \\ &= -\tfrac{2}{3}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y=3-\tfrac{2}{3}x

המשיק

\int_1^3 \left(\frac{9}{x^2}-3+\tfrac{2}{3}x\right) dx=\Big[-\frac{9}{x}-3x+\frac{x^2}{3}\Big]_1^3

הגרף מעל המשיק

(-3-9+3)-\left(-9-3+\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{8}{3} \approx 2.67

השטח

הגבולות הם $x=1$ ונקודת ההשקה $x=3$ . מי שלוקח את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה- $x$ ( $x=4.5$ ) מחשב שטח אחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

השטח המוגבל על ידי הגרף של $f(x)=\frac{3}{(x+2)^2}$ , הצירים והישר $x=k$ (כאשר $k>0$ ) שווה ל- $1$ . מצאו את $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}\int_0^k \frac{3}{(x+2)^2}\,dx &= \Big[-\frac{3}{x+2}\Big]_0^k \\ &= \frac{3}{2}-\frac{3}{k+2}\end{aligned}

קדומה וגבולות

\begin{aligned}\frac{3}{2}-\frac{3}{k+2} &= 1 \ \Rightarrow \ \frac{3}{k+2} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

משווים לשטח

\begin{aligned}k+2 &= 6 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

On résout

הגבול התחתון הוא $0$ (ציר ה- $y$ ), ולכן מופיע $\frac{3}{0+2}=\frac{3}{2}$ . מי ששוכח לחסר את הגבול התחתון פותר $-\frac{3}{k+2}=1$ ומקבל $k$ שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה $f(x)=1-\frac{9}{x^2}$ , בתחום $x>0$ . הפונקציה $F$ מקיימת $F'(x)=f(x)$ , והגרף של $F$ עובר בנקודה $(1,\,12)$ . השלימו.

המינימום של $F$ : $x=$ ____ , $F=$ ____ ; השטח בין הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=9$ : ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המינימום של $F$ : $x=$ 3 , $F=$ 8 ; השטח בין הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=9$ : 4

Corrigé :

\begin{aligned}F(x) &= x+\frac{9}{x}+C \\ \quad 1+9+C &= 12 \ \Rightarrow \ C \\ &= 2\end{aligned}

הקדומה והקבוע

\begin{aligned}f(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \quad F(3) &= 3+3+2 \\ &= 8\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}\int_3^9 f(x)\,dx &= F(9)-F(3) \\ &= 12-8 \\ &= 4\end{aligned}

השטח, $f \geq 0$ ב- $[3,9]$

הקבוע $C$ נחוץ לערך $F(3)=8$ , אבל מתבטל בשטח. מי ששוכח את $C$ מקבל מינימום $6$ — ועדיין שטח $4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx=-2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}\Big[-\frac{1}{x}\Big]_{-1}^{1} &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

החישוב ה«אוטומטי»

x=0 \in [-1,\,1]

הפונקציה אינה מוגדרת ב- $x=0$

\frac{1}{x^2}>0

ואינטגרל של פונקציה חיובית לא יכול לצאת שלילי

הטענה לא נכונה. אסור להציב גבולות בקדומה כשבתוך הקטע יש אסימפטוטה. הסימן השלילי הוא הרמז: פונקציה חיובית לא נותנת אינטגרל שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

1 — שטח בין שני גרפים

2 — שטח מורכב: גרף, משיק וישר

3 — פרמטר שנמצא משטח

4 — פונקציה קדומה שעוברת בנקודה, ואז שטח

Exercices

La suite se pratique sur elev