Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: פונקציה קדומה של פולינום ושל 1x2\frac{1}{x^2}, אינטגרל מסוים, קדומה שעוברת בנקודה, ושטחים פשוטים — מתחת לגרף ובין שני גרפים.

לפני כל אינטגרל: כתבו כל שבר כחזקה שלילית (4x2=4x−2\frac{4}{x^2}=4x^{-2}). ואחרי כל קדומה: גזרו אותה וודאו שחזרתם לפונקציה שבתוך האינטגרל.

Exercices

Exercice 1

מהי ∫4x2 dx\int \frac{4}{x^2}\,dx?

  1. 43x3+C\frac{4}{3x^3}+C
  2. 4x+C\frac{4}{x}+C
  3. −8x3+C-\frac{8}{x^3}+C
  4. −4x+C-\frac{4}{x}+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −4x+C-\frac{4}{x}+C

Corrigé :

∫4x−2 dx=4x−1−1+C\int 4x^{-2}\,dx=\frac{4x^{-1}}{-1}+C

מעלים את החזקה ב-11

=−4x+C=-\frac{4}{x}+C

בדיקה: (−4x−1)′=4x−2(-4x^{-1})'=4x^{-2} ✓

הנכונה: −4x+C-\frac{4}{x}+C. −8x3-\frac{8}{x^3} היא נגזרת של 4x2\frac{4}{x^2}, לא קדומה. 4x\frac{4}{x} שכחה שמחלקים ב-−1-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∫14(2x−1) dx\int_1^4 (2x-1)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

[x2−x]14\Big[x^2-x\Big]_1^4

קדומה

(16−4)−(1−1)=12(16-4)-(1-1)=12

On remplace (מציבים)

גם כשהגבול התחתון נותן 00, כותבים אותו. כאן 1−1=01-1=0, אבל ב-∫24\int_2^4 הוא היה 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את ∫128x3 dx\int_1^2 \frac{8}{x^3}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

∫8x−3 dx=8x−2−2=−4x2\begin{aligned}\int 8x^{-3}\,dx &= \frac{8x^{-2}}{-2} \\ &= -\frac{4}{x^2}\end{aligned}

קדומה

[−4x2]12=−1−(−4)=3\begin{aligned}\Big[-\frac{4}{x^2}\Big]_1^2 &= -1-(-4) \\ &= 3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

המינוס של הקדומה נכנס גם לגבול התחתון: −(−4)=+4-(-4)=+4. מי שמאבד אותו מקבל −5-5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי ∫1(2x+1)2 dx\int \frac{1}{(2x+1)^2}\,dx?

  1. 13(2x+1)3+C\frac{1}{3(2x+1)^3}+C
  2. −22x+1+C-\frac{2}{2x+1}+C
  3. −12x+1+C-\frac{1}{2x+1}+C
  4. −12(2x+1)+C-\frac{1}{2(2x+1)}+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −12(2x+1)+C-\frac{1}{2(2x+1)}+C

Corrigé :

∫(2x+1)−2 dx=(2x+1)−1−1⋅2+C\int (2x+1)^{-2}\,dx=\frac{(2x+1)^{-1}}{-1 \cdot 2}+C

חזקה של ביטוי לינארי: מחלקים גם במקדם של xx

=−12(2x+1)+C=-\frac{1}{2(2x+1)}+C

בדיקה בגזירה: שרשרת נותנת פי 22

הנכונה: −12(2x+1)+C-\frac{1}{2(2x+1)}+C. −12x+1-\frac{1}{2x+1} שכחה לחלק ב-22: הנגזרת שלה היא 2(2x+1)2\frac{2}{(2x+1)^2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון F′(x)=6x2−2F'(x)=6x^2-2, והגרף של FF עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). חשבו את F(2)F(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

F(x)=2x3−2x+CF(x)=2x^3-2x+C

קדומה

2−2+C=3 ⇒ C=3\begin{aligned}2-2+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את הנקודה

F(2)=16−4+3=15\begin{aligned}F(2) &= 16-4+3 \\ &= 15\end{aligned}

On calcule

בלי הקבוע CC יוצא 1212. הנקודה הנתונה היא בדיוק מה שקובע את CC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=x2y=x^2 לבין הישר y=2x+3y=2x+3. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.67

Corrigé :

x2=2x+3 ⇒ x=−1 x=3\begin{aligned}x^2 &= 2x+3 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות החיתוך

∫−13(2x+3−x2) dx=[x2+3x−x33]−13\int_{-1}^{3} (2x+3-x^2)\,dx=\Big[x^2+3x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{3}

הישר למעלה

9−(−53)=323≈10.679-\left(-\tfrac{5}{3}\right)=\tfrac{32}{3} \approx 10.67

השטח

בדיקה ב-x=0x=0: הישר נותן 33, הפרבולה 00. מי שמחסר בסדר הפוך מקבל −10.67-10.67 — ושטח אינו שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=2x2y=\frac{2}{x^2}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=4x=4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

∫142x−2 dx=[−2x]14\int_1^4 2x^{-2}\,dx=\Big[-\frac{2}{x}\Big]_1^4

הפונקציה חיובית

−12−(−2)=1.5-\tfrac{1}{2}-(-2)=1.5

On remplace (מציבים)

ככל ש-xx גדל, 2x2\frac{2}{x^2} קטנה מהר. לכן רוב השטח קרוב ל-x=1x=1, והתשובה קטנה ממה שהרוחב 33 מרמז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: אם ∫03f(x) dx=5\int_0^3 f(x)\,dx=5, אז ∫03(f(x)+2)dx=7\int_0^3 \left(f(x)+2\right) dx=7.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∫03(f+2) dx=∫03f dx+∫032 dx\int_0^3 (f+2)\,dx=\int_0^3 f\,dx+\int_0^3 2\,dx

אינטגרל של סכום

=5+2⋅3=11=5+2 \cdot 3=11

הקבוע 22 «נפרש» על רוחב 33

הטענה לא נכונה. ∫032 dx=6\int_0^3 2\,dx=6, לא 22: הזזה של הגרף ב-22 למעלה מוסיפה מלבן ברוחב 33 ובגובה 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x3y=x^3, ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=2x=2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.25

Corrigé :

∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4

מעל הציר

∫−10x3 dx=−14\int_{-1}^0 x^3\,dx=-\tfrac{1}{4}

מתחת לציר: השטח 14\tfrac{1}{4}

4+14=4.254+\tfrac{1}{4}=4.25

מחברים שטחים

אינטגרל אחד מ-−1-1 עד 22 נותן 3.753.75: החלק שמתחת לציר מתקזז. בשטח מחלקים בנקודה שבה הגרף חוצה את הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון ∫0k2x dx=9\int_0^k 2x\,dx=9, כאשר k>0k>0. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

[x2]0k=k2\Big[x^2\Big]_0^k=k^2

קדומה

k2=9 ⇒ k=3\begin{aligned}k^2 &= 9 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

k>0k>0

גם k=−3k=-3 פותר k2=9k^2=9, אבל הנתון k>0k>0 פוסל אותו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe