Série 3 — vers le bac

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח פרק 4 של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פרמטר, משיק ושני שטחים; שטח בין שתי פרבולות וישר שמחלק אותו; ופונקציה שנתונה רק הנגזרת שלה.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בקודמו. בסעיף שטח כתבו תמיד שלוש שורות: גבולות, מי למעלה, אינטגרל. ואם כבר מצאתם קדומה בסעיף קודם — השתמשו בה.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=ax2−1f(x)=\frac{a}{x^2}-1, כאשר a>0a>0 פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=2x=2. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(2)=a4−1=0\begin{aligned}f(2) &= \frac{a}{4}-1 \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה (2, 0)(2,\,0) על הגרף

a=4a=4

On résout

חיתוך עם ציר ה-xx פירושו f(2)=0f(2)=0, לא f′(2)=0f'(2)=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=ax2−1f(x)=\frac{a}{x^2}-1, כאשר a>0a>0 פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=2x=2. ב. מצאו את משוואת המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=1x=1.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= -8 x+x+ 11

Corrigé :

f(1)=4−1=3\begin{aligned}f(1) &= 4-1 \\ &= 3\end{aligned}

נקודת ההשקה (1, 3)(1,\,3)

f′(x)=−8x3 ⇒ f′(1)=−8\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{8}{x^3} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= -8\end{aligned}

השיפוע

y−3=−8(x−1) ⇒ y=−8x+11\begin{aligned}y-3 &= -8(x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -8x+11\end{aligned}

המשיק

הגזירה של 4x−24x^{-2} נותנת −8x−3-8x^{-3}. והקבוע −1-1 נעלם בגזירה, אבל לא בערך f(1)f(1).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=ax2−1f(x)=\frac{a}{x^2}-1, כאשר a>0a>0 פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=2x=2. ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx והישר x=1x=1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

1≤x≤2: f(x)≥01 \leq x \leq 2: \ f(x) \geq 0

בין הישר x=1x=1 לבין החיתוך עם הציר

∫12(4x2−1)dx=[−4x−x]12\int_1^2 \left(\frac{4}{x^2}-1\right) dx=\Big[-\frac{4}{x}-x\Big]_1^2

קדומה

(−2−2)−(−4−1)=1(-2-2)-(-4-1)=1

השטח

הגבול הימני הוא x=2x=2, נקודת החיתוך מסעיף א — לא ישר שכתוב בשאלה. בלי סעיף א אין גבול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=ax2−1f(x)=\frac{a}{x^2}-1, כאשר a>0a>0 פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=2x=2. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, המשיק מסעיף ב והישר x=2x=2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′′(x)=24x4>0f''(x)=\frac{24}{x^4}>0

הגרף קמור, ולכן מעל המשיק

∫12(4x2−1+8x−11)dx=[−4x+4x2−12x]12\int_1^2 \left(\frac{4}{x^2}-1+8x-11\right) dx=\Big[-\frac{4}{x}+4x^2-12x\Big]_1^2

הגרף פחות המשיק

(−2+16−24)−(−4+4−12)=−10+12=2\begin{aligned}(-2+16-24)-(-4+4-12) &= -10+12 \\ &= 2\end{aligned}

השטח

חלק מהשטח נמצא מתחת לציר ה-xx (המשיק שלילי ל-x>1.375x>1.375), אבל בשטח בין שני גרפים זה לא משנה: קובע רק מי למעלה. אין כאן צורך לחלק את התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונות הפונקציות f(x)=−x2+6xf(x)=-x^2+6x ו-g(x)=x2−2xg(x)=x^2-2x. א. מצאו את נקודת החיתוך של שני הגרפים שאינה בראשית.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 4 , y=y= 8

Corrigé :

−x2+6x=x2−2x ⇒ 2x2−8x=0\begin{aligned}-x^2+6x &= x^2-2x \ \Rightarrow \ 2x^2-8x \\ &= 0\end{aligned}

משווים

2x(x−4)=0 ⇒ x=0 x=4\begin{aligned}2x(x-4) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

f(4)=−16+24=8\begin{aligned}f(4) &= -16+24 \\ &= 8\end{aligned}

שיעור ה-yy

אסור לחלק ב-xx: כך הולך לאיבוד הפתרון x=0x=0. מוציאים גורם משותף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונות הפונקציות f(x)=−x2+6xf(x)=-x^2+6x ו-g(x)=x2−2xg(x)=x^2-2x. ב. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21.33

Corrigé :

x=1: f(1)=5>g(1)=−1\begin{aligned}x &= 1: \ f(1) \\ &= 5>g(1) \\ &= -1\end{aligned}

ff למעלה

∫04[(−x2+6x)−(x2−2x)]dx=∫04(8x−2x2) dx\int_0^4 \left[(-x^2+6x)-(x^2-2x)\right] dx=\int_0^4 (8x-2x^2)\,dx

העליון פחות התחתון

[4x2−23x3]04=64−1283=643≈21.33\begin{aligned}\Big[4x^2-\tfrac{2}{3}x^3\Big]_0^4 &= 64-\tfrac{128}{3} \\ &= \tfrac{64}{3} \approx 21.33\end{aligned}

השטח

המינוס שלפני הסוגריים של gg הופך את כל הסימנים: −(x2−2x)=−x2+2x-(x^2-2x)=-x^2+2x. מי שכותב −x2−2x-x^2-2x מקבל ∫04(4x−2x2)\int_0^4(4x-2x^2), והגבולות כבר לא מתאימים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונות הפונקציות f(x)=−x2+6xf(x)=-x^2+6x ו-g(x)=x2−2xg(x)=x^2-2x. ג. הישר x=cx=c, כאשר 0<c<40<c<4, מחלק את השטח מסעיף ב לשני חלקים שווים. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

∫0c(8x−2x2) dx=12⋅643=323\begin{aligned}\int_0^c (8x-2x^2)\,dx &= \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{64}{3} \\ &= \tfrac{32}{3}\end{aligned}

חצי השטח

4c2−23c3=323 ⇒ c3−6c2+16=0\begin{aligned}4c^2-\tfrac{2}{3}c^3 &= \tfrac{32}{3} \ \Rightarrow \ c^3-6c^2+16 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב-−32-\tfrac{3}{2}

(c−2)(c2−4c−8)=0(c-2)(c^2-4c-8)=0

c=2c=2 מאפס את הביטוי

c=2(2±23∉(0, 4))c=2 \quad (2 \pm 2\sqrt{3} \notin (0,\,4))

רק פתרון אחד בתחום

אפשר לראות זאת בלי חישוב: 8x−2x2=2x(4−x)8x-2x^2=2x(4-x) סימטרי סביב x=2x=2. מי שמחלק את האורך 44 ומקבל c=2c=2 צדק כאן במקרה — בשטח לא סימטרי זה לא עובד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=1−4(x+1)2f(x)=1-\frac{4}{(x+1)^2}. הפונקציה gg מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x), והגרף של gg עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). א. מצאו את g(x)g(x), וחשבו את g(3)g(3).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

g(x)=x+4x+1+Cg(x)=x+\frac{4}{x+1}+C

הקדומה של −4(x+1)−2-4(x+1)^{-2} היא +4(x+1)−1+4(x+1)^{-1}

1+2+C=3 ⇒ C=0\begin{aligned}1+2+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את הנקודה

g(3)=3+1=4\begin{aligned}g(3) &= 3+1 \\ &= 4\end{aligned}

On calcule

גם כאן שני מינוסים מתבטלים. מי שכותב x−4x+1x-\frac{4}{x+1} מקבל C=4C=4, ובדיקה בגזירה חושפת את הטעות מיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה f(x)=1−4(x+1)2f(x)=1-\frac{4}{(x+1)^2}. הפונקציה gg מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x), והגרף של gg עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). ב. מצאו את נקודות הקיצון של gg.

מינימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; מקסימום: x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מינימום: x=x= 1 , y=y= 3 ; מקסימום: x=x= -3 , y=y= -5

Corrigé :

g′(x)=f(x)=0 ⇒ (x+1)2=4 ⇒ x=1 x=−3\begin{aligned}g'(x) &= f(x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x+1)^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -3\end{aligned}

נקודות חשודות

f(−4)>0, f(−2)<0, f(0)<0, f(2)>0f(-4)>0 ,\ f(-2)<0 ,\ f(0)<0 ,\ f(2)>0

סימן g′g'; x=−1x=-1 מחוץ לתחום

g(1)=3g(−3)=−3−2=−5\begin{aligned}g(1) &= 3 \qquad g(-3) \\ &= -3-2 \\ &= -5\end{aligned}

הערכים

ערך המקסימום (−5-5) קטן מערך המינימום (33). זה אפשרי, כי הן על שני ענפים שונים, משני צדי האסימפטוטה x=−1x=-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה f(x)=1−4(x+1)2f(x)=1-\frac{4}{(x+1)^2}. הפונקציה gg מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x), והגרף של gg עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx והישר x=3x=3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f(1)=01≤x≤3: f(x)≥0\begin{aligned}f(1) &= 0 \\ \quad 1 \leq x \leq 3: \ f(x) \geq 0\end{aligned}

הגרף חותך את הציר ב-x=1x=1

∫13f(x) dx=g(3)−g(1)\int_1^3 f(x)\,dx=g(3)-g(1)

gg היא קדומה של ff

4−3=14-3=1

מסעיפים א ו-ב

אין צורך לחשב קדומה שוב: gg כבר נמצאה. הגבול השמאלי x=1x=1 הוא גם אפס של ff וגם המינימום של gg — אותו מקום.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe