Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: הפונקציה הקדומה והקבוע CC, האינטגרל המסוים, ושטחים — מתחת לציר ובין שני גרפים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

מהי ∫(6x2−4x) dx\int (6x^2 - 4x) \, dx?

  1. 6x3−4x2+C6x^3 - 4x^2 + C
  2. 12x−4+C12x - 4 + C
  3. 2x3−2x2+C2x^3 - 2x^2 + C
  4. 3x3−2x2+C3x^3 - 2x^2 + C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2x3−2x2+C2x^3 - 2x^2 + C

Corrigé :

∫6x2 dx=6x33=2x3\begin{aligned}\int 6x^2 \, dx &= \frac{6x^3}{3} \\ &= 2x^3\end{aligned}

מעלים חזקה ומחלקים בחזקה החדשה

∫4x dx=4x22=2x2\begin{aligned}\int 4x \, dx &= \frac{4x^2}{2} \\ &= 2x^2\end{aligned}

בדיקה: הנגזרת של 2x3−2x22x^3 - 2x^2 היא 6x2−4x6x^2 - 4x. 12x−412x - 4 היא הנגזרת — הכיוון ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∫124x3 dx\int_1^2 4x^3 \, dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

F(x)=x4F(x) = x^4
F(2)−F(1)=16−1=15\begin{aligned}F(2) - F(1) &= 16 - 1 \\ &= 15\end{aligned}

האינטגרל המסוים הוא מספר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מתקיים ∫0πsin⁡x dx=0\int_0^{\pi} \sin x \, dx = 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

F(x)=−cos⁡xF(x) = -\cos x

המינוס צץ אצל הסינוס

−cos⁡π−(−cos⁡0)=1+1=2\begin{aligned}-\cos\pi - (-\cos 0) &= 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned}

התוצאה 00 מתקבלת כשלוקחים בטעות F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x ומחשבים sin⁡π−sin⁡0\sin\pi - \sin 0. ואכן, בין 00 ל-π\pi הסינוס כולו מעל הציר.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

נתון f′(x)=6x−2f'(x) = 6x - 2 וידוע ש-f(1)=4f(1) = 4. מהו f(3)f(3)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

f(x)=3x2−2x+Cf(x) = 3x^2 - 2x + C
3−2+C=4⇒C=3\begin{aligned}3 - 2 + C &= 4 \Rightarrow C \\ &= 3\end{aligned}
f(3)=27−6+3=24\begin{aligned}f(3) &= 27 - 6 + 3 \\ &= 24\end{aligned}

הנקודה הנתונה קובעת את CC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו השטח הכלוא בין y=x2y = x^2 ל-y=2xy = 2x? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.333

Corrigé :

x2=2x⇒x=0  x=2\begin{aligned}x^2 &= 2x \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות המפגש

x=1: 2>1x = 1: \ 2 > 1

הישר מעל הפרבולה בתחום

∫02(2x−x2) dx=4−83\int_0^2 (2x - x^2) \, dx = 4 - \frac{8}{3}
S=43≈1.333S = \frac{4}{3} \approx 1.333

עליונה פחות תחתונה, בין נקודות המפגש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון ∫06f(x) dx=20\int_0^6 f(x) \, dx = 20 ו-∫02f(x) dx=8\int_0^2 f(x) \, dx = 8. מהו ∫62f(x) dx\int_6^2 f(x) \, dx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -12

Corrigé :

∫26f=20−8=12\begin{aligned}\int_2^6 f &= 20 - 8 \\ &= 12\end{aligned}
∫62f=−∫26f=−12\begin{aligned}\int_6^2 f &= -\int_2^6 f \\ &= -12\end{aligned}

הגבולות הפוכים — הסימן מתהפך

שימו לב לסדר הגבולות בשאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו השטח הכלוא בין הגרף של y=x2−2xy = x^2 - 2x, ציר ה-xx והישר x=3x = 3, בתחום 0≤x≤30 \le x \le 3? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.667

Corrigé :

x2−2x=0⇒x=0  x=2\begin{aligned}x^2 - 2x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

הגרף חוצה את הציר ב-2

∫02(x2−2x) dx=−43\int_0^2 (x^2 - 2x) \, dx = -\frac{4}{3}

מתחת לציר

∫23(x2−2x) dx=43\int_2^3 (x^2 - 2x) \, dx = \frac{4}{3}

מעל הציר

S=43+43=83≈2.667\begin{aligned}S &= \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \\ &= \frac{8}{3} \approx 2.667\end{aligned}

האינטגרל על כל התחום יוצא 00 — אבל השטח אינו אפס. מפצלים בנקודת החיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

מים זורמים לבריכה בקצב r(t)=6t−t2r(t) = 6t - t^2 מ״ק לשעה, כאשר tt הוא הזמן בשעות, 0≤t≤60 \le t \le 6. כמות המים שנכנסה היא השטח מתחת לגרף הקצב. כמה מ״ק מים נכנסו לבריכה בשש השעות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

∫06(6t−t2) dt\int_0^6 (6t - t^2) \, dt

הקצב אינו שלילי בתחום

F(t)=3t2−t33F(t) = 3t^2 - \frac{t^3}{3}
F(6)−F(0)=108−72=36\begin{aligned}F(6) - F(0) &= 108 - 72 \\ &= 36\end{aligned}

36 מ״ק מים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון ∫0acos⁡x dx=0.5\int_0^a \cos x \, dx = 0.5, כאשר 0<a<π20 < a < \frac{\pi}{2}. מהו aa? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.524

Corrigé :

sin⁡a−sin⁡0=0.5\sin a - \sin 0 = 0.5
sin⁡a=0.5⇒a=π6\begin{aligned}\sin a &= 0.5 \Rightarrow a \\ &= \frac{\pi}{6}\end{aligned}

הפתרון היחיד בתחום

π6≈0.524\frac{\pi}{6} \approx 0.524

הנעלם הוא הגבול העליון — מחשבים כרגיל, ופותרים משוואה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהו השטח הכלוא בין הפרבולה y=4−x2y = 4 - x^2 לישר y=x+2y = x + 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.5

Corrigé :

4−x2=x+2⇒x2+x−2=0\begin{aligned}4 - x^2 &= x + 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 \\ &= 0\end{aligned}
x=−2  x=1\begin{aligned}x &= -2 \ \\ \ x &= 1\end{aligned}

נקודות המפגש

x=0: 4>2x = 0: \ 4 > 2

הפרבולה למעלה

∫−21(2−x−x2) dx=(2−12−13)−(−4−2+83)\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx = \left(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(-4 - 2 + \frac{8}{3}\right)
=76+103=4.5= \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = 4.5

השטח הוא 4.54.5 יחידות שטח.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe