Série 1 — facile · Géométrie du cercle · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: זוויות במעגל, מרובע חסום, מכפלת קטעים, יחס שטחים, חוצה זווית וקטע אמצעים. כל שאלה דורשת משפט אחד, לכל היותר שניים.

לפני כל תשובה אמרו בקול את שם המשפט. אם אין לכם שם — אין לכם עדיין נימוק, ובבחינה זה עולה נקודות.

Exercices

Exercice 1

הנקודות $A$ , $B$ , $C$ על מעגל שמרכזו $O$ , ו- $A$ על הקשת הגדולה $BC$ . נתון $\angle BOC=100^\circ$ . חשבו את $\angle BAC$ (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

\begin{aligned}\angle BAC &= \tfrac{1}{2} \cdot 100^\circ \\ &= 50^\circ\end{aligned}

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

$50^\circ$ : ההיקפית היא חצי מהמרכזית, לא שווה לה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הישר $EF$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ , ו- $AB$ מיתר. נתון $\angle FAB=40^\circ$ . חשבו את הזווית המרכזית $\angle AOB$ (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

\angle ACB=40^\circ

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני ( $C$ על הקשת הגדולה)

\begin{aligned}\angle AOB &= 2 \cdot 40^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

$80^\circ$ . הזווית בין משיק למיתר מתנהגת כמו היקפית: היא חצי מהמרכזית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, ו- $\angle ABC=115^\circ$ . חשבו את $\angle ADC$ (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 65

Corrigé :

\angle ABC+\angle ADC=180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$

\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ-115^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

$65^\circ$ . $B$ ו- $D$ נגדיות, ולכן משלימות. מי שענה $115^\circ$ השווה אותן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $P$ . נתון $PA=6$ , $PB=2$ ו- $PC=3$ . חשבו את $PD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

PA \cdot PB=PC \cdot PD

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים

\begin{aligned}12 &= 3 \cdot PD \Rightarrow PD \\ &= 4\end{aligned}

$PD=4$ . מכפלה של שני הקטעים של אותו מיתר, בכל אגף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהנקודה $P$ יוצאים משיק $PT$ וחותך שפוגש את המעגל ב- $A$ וב- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PA=2$ ו- $PB=8$ . חשבו את $PT$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot PB \\ &= 16\end{aligned}

משיק וחותך

PT=4

$PT=4$ . כאן $PB$ נתון כבר כולו, ואין מה לחבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

$AB$ קוטר במעגל, ו- $C$ נקודה על המעגל. מה הנימוק לטענה $\angle ACB=90^\circ$ ?

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
במרובע חסום סכום זוויות נגדיות $180^\circ$
La tangente est perpendiculaire au rayon au point de tangence

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

Corrigé :

\angle ACB=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

הנכונה: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה. «זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר» הוא המשפט ההפוך: הוא מתחיל מהזווית הישרה ומסיק קוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: הזווית בין משיק למיתר שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על המיתר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\angle FAB=\angle ACB

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

\angle ACB=\tfrac{1}{2}\angle AOB

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

הטענה נכונה. שני המשפטים יחד: הזווית בין המשיק למיתר שווה להיקפית, וההיקפית היא חצי מהמרכזית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$ , ו- $\triangle APC \sim \triangle DPB$ ביחס דמיון $2:3$ . שטח המשולש $APC$ הוא $8$ סמ״ר. חשבו את שטח המשולש $DPB$ (בסמ״ר).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{S_{APC}}{S_{DPB}} &= \left(\frac{2}{3}\right)^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

Le rapport des aires (יחס השטחים) de triangles semblables (משולשים דומים) est égal au carré (ריבוע) du rapport de similitude (יחס הדמיון)

\begin{aligned}S_{DPB} &= 8 \cdot \frac{9}{4} \\ &= 18\end{aligned}

$18$ סמ״ר. מי שענה $12$ כפל ב- $k$ ולא ב- $k^2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את $\angle BAC$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $AB=12$ , $AC=8$ ו- $BC=10$ . חשבו את $BD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{12}{8} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

\begin{aligned}BD &= \frac{3}{5} \cdot 10 \\ &= 6\end{aligned}

$BD=6$ . הקטע הגדול יותר נמצא ליד הצלע הגדולה יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , $C$ נקודה על המעגל ו- $M$ אמצע המיתר $AC$ . נתון $OM=4$ . חשבו את $BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

OM=\tfrac{1}{2}BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה: $O$ אמצע $AB$ ו- $M$ אמצע $AC$

\begin{aligned}BC &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

$BC=8$ . קטע האמצעים הוא חצי מהצלע, ולכן הצלע כפולה ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev