Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שני צעדים: משפט במעגל ואחריו משפט במשולש, דמיון ואחריו מכפלה, או הוכחה לסדר. הנושאים מעורבבים בכוונה, כמו בבגרות.

כשהשאלה מבקשת אורך, חפשו שני משולשים דומים שהאורך הוא צלע באחד מהם. כשהיא מבקשת זווית, חפשו קשת שהזווית נשענת עליה.

Exercices

Exercice 1

50°ABCEF

המשולש ABCABC חסום במעגל, ו-EFEF משיק למעגל ב-AA. נתון ∠FAB=50∘\angle FAB=50^\circ ו-∠ABC=70∘\angle ABC=70^\circ (CC על הקשת הגדולה ABAB). חשבו את ∠BAC\angle BAC (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

∠ACB=∠FAB=50∘\begin{aligned}\angle ACB &= \angle FAB \\ &= 50^\circ\end{aligned}

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

∠BAC=180∘−70∘−50∘=60∘\begin{aligned}\angle BAC &= 180^\circ-70^\circ-50^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

60∘60^\circ. הזווית בין המשיק למיתר ABAB עוברת ל-CC, מול המיתר ABAB, לא ל-BB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

OABCD

ABAB קוטר במעגל, CC נקודה על המעגל, ו-CD⊥ABCD \perp AB (DD על ABAB). הוכיחו: △ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC.

  • ABAB קוטר
  • CD⊥ABCD \perp AB

△ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠CAD=∠BAC\angle CAD=\angle BAC — זווית משותפת
  2. ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
  3. ∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ — נתון: CD⊥ABCD \perp AB
  4. △ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

∠A=∠A\angle A=\angle A

משותפת

∠ADC=∠ACB=90∘\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

אנך, וזווית על קוטר

△ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC

A-A

ההתאמה: A↔AA \leftrightarrow A, D↔CD \leftrightarrow C (הזוויות הישרות), C↔BC \leftrightarrow B. מי שכותב △ACD∼△ACB\triangle ACD \sim \triangle ACB מתאים את הזווית הישרה DD לזווית BB, שאינה ישרה, ומקבל יחסים שגויים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

75°ABCDE

במרובע ABCDABCD מאריכים את BCBC עד EE. המרובע חסום במעגל, ו-∠DCE=75∘\angle DCE=75^\circ. השלימו (במעלות).

∠BAD=\angle BAD= ____ , ∠BCD=\angle BCD= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠BAD=\angle BAD= 75 , ∠BCD=\angle BCD= 105

Corrigé :

∠BCD=180∘−75∘=105∘\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ-75^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

סכום זוויות צמודות הוא 180∘180^\circ

∠BAD=180∘−105∘=75∘\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ-105^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ

הזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית שממול. אין צורך לזכור את זה בעל פה: צמודות, ואחר כך נגדיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

PABCD

מהנקודה PP יוצאים שני חותכים: PABPAB ו-PCDPCD (AA בין PP ל-BB, CC בין PP ל-DD). נתון PA=4PA=4, AB=5AB=5 ו-PC=3PC=3. חשבו את CDCD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB=PC \cdot PD

שני חותכים: △PAD∼△PCB\triangle PAD \sim \triangle PCB

4⋅9=3⋅PD⇒PD=12\begin{aligned}4 \cdot 9 &= 3 \cdot PD \Rightarrow PD \\ &= 12\end{aligned}

PB=4+5=9PB=4+5=9

CD=PD−PC=12−3=9\begin{aligned}CD &= PD-PC \\ &= 12-3 \\ &= 9\end{aligned}

CD=9CD=9. שני צעדים: המכפלה נותנת את PDPD, ורק אז מחסרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את BCBC ב-EE ואת המעגל ב-DD. סדרו את שורות ההוכחה ש-AB⋅AC=AD⋅AEAB \cdot AC=AD \cdot AE.

  • ∠ADB=∠ACE\angle ADB=\angle ACE — היקפיות על הקשת ABAB
  • ∠BAD=∠EAC\angle BAD=\angle EAC — נתון: חוצה זווית
  • ABAE=ADAC\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC} — צלעות מתאימות
  • △ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC — ז.ז
  • AB⋅AC=AD⋅AEAB \cdot AC=AD \cdot AE — כפל בהצלבה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠BAD=∠EAC\angle BAD=\angle EAC — נתון: חוצה זווית · ∠ADB=∠ACE\angle ADB=\angle ACE — היקפיות על הקשת ABAB · △ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC — ז.ז · ABAE=ADAC\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC} — צלעות מתאימות · AB⋅AC=AD⋅AEAB \cdot AC=AD \cdot AE — כפל בהצלבה

Corrigé :

△ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC

שתי זוויות

ABAE=ADAC⇒AB⋅AC=AD⋅AE\begin{aligned}\frac{AB}{AE} &= \frac{AD}{AC} \Rightarrow AB \cdot AC \\ &= AD \cdot AE\end{aligned}

הדמיון קודם, היחס אחריו, והמכפלה בסוף. הזוג B↔EB \leftrightarrow E קובע ש-ABAB מתאימה ל-AEAE.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCDP

המיתרים ABAB ו-CDCD נחתכים ב-PP. נתון PA=xPA=x, PB=8PB=8, PC=4PC=4 ו-PD=x+2PD=x+2. מצאו את xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

8x=4(x+2)8x=4(x+2)

מכפלת קטעי מיתרים

4x=8⇒x=2\begin{aligned}4x &= 8 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

x=2x=2. בדיקה: 2⋅8=16=4⋅42 \cdot 8=16=4 \cdot 4 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCDP

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, והאלכסונים נחתכים ב-PP. איזה זוג משולשים דומה תמיד?

  1. △APB∼△CPB\triangle APB \sim \triangle CPB
  2. △APB∼△DPC\triangle APB \sim \triangle DPC
  3. △ABC∼△ADC\triangle ABC \sim \triangle ADC
  4. △APD∼△APB\triangle APD \sim \triangle APB
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B △APB∼△DPC\triangle APB \sim \triangle DPC

Corrigé :

∠APB=∠DPC\angle APB=\angle DPC

זוויות קודקודיות שוות

∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות BCBC

△APB∼△DPC\triangle APB \sim \triangle DPC

A-A

הנכונה: △APB∼△DPC\triangle APB \sim \triangle DPC, המשולשים ה«נגדיים» סביב PP. המשולשים ה«שכנים» (APBAPB ו-CPBCPB) חולקים זווית צמודה, לא שווה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCD

מיינו את זוגות הזוויות: שוות תמיד, או משלימות תמיד ל-180∘180^\circ?

  • שוות
  • משלימות ל-180∘180^\circ
  • זוויות נגדיות במרובע חסום
  • זווית בין משיק למיתר, והיקפית על המיתר מצדו השני
  • זווית חיצונית של מרובע חסום, והפנימית שממול
  • זווית פנימית של מרובע חסום, והחיצונית שלידה
  • שתי היקפיות על מיתר ABAB, באותו צד שלו
  • שתי היקפיות על מיתר ABAB, משני צדיו
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שתי היקפיות על מיתר ABAB, באותו צד שלו — שוות · שתי היקפיות על מיתר ABAB, משני צדיו — משלימות ל-180∘180^\circ · זוויות נגדיות במרובע חסום — משלימות ל-180∘180^\circ · זווית בין משיק למיתר, והיקפית על המיתר מצדו השני — שוות · זווית חיצונית של מרובע חסום, והפנימית שממול — שוות · זווית פנימית של מרובע חסום, והחיצונית שלידה — משלימות ל-180∘180^\circ

Corrigé :

AB⌢\overset{\frown}{AB}

אותו צד של המיתר: שתי הזוויות נשענות על אותה קשת

∠ACB+∠ADB=180∘\angle ACB+\angle ADB=180^\circ

משני הצדדים: מרובע חסום

השאלה המבחינה: באיזה צד של המיתר נמצא הקודקוד. אותו צד — שוות. צדדים מנוגדים — משלימות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

OABCD

ABAB קוטר במעגל, CC על המעגל, ו-CD⊥ABCD \perp AB (DD על ABAB). נתון AD=4AD=4 ו-DB=9DB=9. חשבו את CDCD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

△ACD∼△CBD\triangle ACD \sim \triangle CBD

ז.ז: ∠ADC=∠CDB=90∘\angle ADC=\angle CDB=90^\circ, ו-∠ACD=∠CBD\angle ACD=\angle CBD (שתיהן משלימות את ∠A\angle A ל-90∘90^\circ)

CDBD=ADCD⇒CD2=AD⋅DB\begin{aligned}\frac{CD}{BD} &= \frac{AD}{CD} \Rightarrow CD^2 \\ &= AD \cdot DB\end{aligned}

צלעות מתאימות

CD2=36⇒CD=6\begin{aligned}CD^2 &= 36 \Rightarrow CD \\ &= 6\end{aligned}

CD=6CD=6. ההתאמה היא A↔CA \leftrightarrow C, C↔BC \leftrightarrow B. מי שכתב CD2=AD⋅ABCD^2=AD \cdot AB ערבב את הקטעים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCEFH

במשולש ABCABC הקטעים BEBE ו-CFCF הם גבהים. הוכיחו או הפריכו: ∠AEF=∠ABC\angle AEF=\angle ABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

B, C, E, FB ,\ C ,\ E ,\ F

על המעגל שקוטרו BCBC: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

∠AEF+∠FEC=180∘\angle AEF+\angle FEC=180^\circ

סכום זוויות צמודות הוא 180∘180^\circ

∠FBC+∠FEC=180∘\angle FBC+\angle FEC=180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ (BCEFBCEF)

∠AEF=∠FBC=∠ABC\begin{aligned}\angle AEF &= \angle FBC \\ &= \angle ABC\end{aligned}

משלימות לאותה זווית

הטענה נכונה. המרובע BCEFBCEF חסום, ו-∠AEF\angle AEF היא הזווית החיצונית שלו ב-EE. לכן היא שווה לזווית הפנימית שממול, ב-BB.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe