Série 3 — vers le bagrout · Géométrie du cercle · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח שאלה 4 של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה. סעיף מאוחר מותר להשתמש בכל מה שהוכח בסעיף מוקדם, גם אם לא הצלחתם להוכיח אותו.

בבחינה, סעיף «הוכיחו» שלא הצלחתם בו אינו סוף השאלה: מניחים את הטענה ועוברים לסעיף הבא. החישוב בסעיף האחרון שווה נקודות גם בלי ההוכחה.

Exercices

Exercice 1

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). א. הוכיחו: $\triangle PAC \sim \triangle PBA$ .

$PA$ משיק למעגל ב- $A$
$B$ , $C$ , $P$ על ישר אחד

$\triangle PAC \sim \triangle PBA$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle APC=\angle BPA$ — זווית משותפת
$\angle PAC=\angle PBA$ — L'angle (זווית) entre une tangente (משיק) et une corde (מיתר) est égal à l'angle inscrit (היקפית) qui intercepte la corde (מיתר) de l'autre côté
$\triangle PAC \sim \triangle PBA$ — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

\angle P=\angle P

משותפת

\angle PAC=\angle ABC

משיק $AP$ ומיתר $AC$

\triangle PAC \sim \triangle PBA

A-A

ההתאמה: $P \leftrightarrow P$ , $A \leftrightarrow B$ , $C \leftrightarrow A$ . היא תקבע את כל היחסים בסעיפים הבאים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). ב. נתון $PC=4$ ו- $BC=5$ . חשבו את $PA$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PA}

מסעיף א: צלעות מתאימות

\begin{aligned}PA^2 &= PC \cdot PB \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

$PB=4+5=9$

PA=6

$PA=6$ . $PB$ הוא כל החותך: $4+5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). נתון $PC=4$ ו- $BC=5$ . ג. נתון גם $AC=4$ . חשבו את $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\frac{AC}{BA}=\frac{PA}{PB}

מסעיף א: $AC \leftrightarrow BA$

\begin{aligned}\frac{4}{AB} &= \frac{6}{9} \Rightarrow AB \\ &= 6\end{aligned}

$PA=6$ מסעיף ב

$AB=6$ . המלכודת: $\frac{AC}{AB}=\frac{PC}{PB}=\frac{4}{9}$ . $PC$ ו- $PB$ אינן צלעות מתאימות: $PC$ מתאימה ל- $PA$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). נתון $PC=4$ ו- $BC=5$ . ד. שטח המשולש $PAC$ הוא $S$ . שטח המשולש $ABC$ שווה ל- $k \cdot S$ . מצאו את $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.25

Corrigé :

\begin{aligned}k_{sim} &= \frac{PA}{PB} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון מסעיף א

\begin{aligned}S_{PBA} &= S \cdot \frac{9}{4} \\ &= \frac{9}{4}S\end{aligned}

Le rapport des aires (יחס השטחים) de triangles semblables (משולשים דומים) est égal au carré (ריבוע) du rapport de similitude (יחס הדמיון)

\begin{aligned}S_{ABC} &= S_{PBA}-S_{PAC} \\ &= \frac{9}{4}S-S \\ &= \frac{5}{4}S\end{aligned}

המשולש $PBA$ מורכב מ- $PAC$ ומ- $ABC$

$k=1.25$ . שני צעדים: דמיון בריבוע, ואז חיסור שטחים. דרך בדיקה: למשולשים $PAC$ ו- $ABC$ גובה משותף מ- $A$ , ולכן היחס $\frac{BC}{PC}=\frac{5}{4}$ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . $C$ נקודה על המעגל, ו- $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ . המיתר $AD$ חותך את $BC$ בנקודה $E$ . א. הוכיחו: $OD \parallel AC$ .

$AB$ קוטר, $O$ המרכז
$D$ אמצע הקשת $BC$

$OD \parallel AC$

Voir la réponse et le corrigé

$OA=OD$ — רדיוסים במעגל שווים
$\angle ODA=\angle OAD$ — במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\angle OAD=\angle DAC$ — זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות
$\angle ODA=\angle DAC$ — כלל המעבר
$OD \parallel AC$ — אם זוויות מתחלפות שוות — הישרים מקבילים

Corrigé :

\angle ODA=\angle OAD

רדיוסים: משולש שווה שוקיים

\angle OAD=\angle DAC

קשתות שוות $BD$ ו- $DC$

\angle ODA=\angle DAC \Rightarrow OD \parallel AC

מתחלפות, עם החותך $AD$

ההוכחה עוברת דרך הרדיוסים: $OA=OD$ נותן את הזווית שחסרה. המלכודת: לכתוב $\angle ODA=\angle DAC$ «כי היקפיות». $\angle ODA$ אינה היקפית: אחת מזרועותיה היא הרדיוס $DO$ , ולא מיתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . $C$ נקודה על המעגל, ו- $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ . המיתר $AD$ חותך את $BC$ בנקודה $E$ . ב. מוכיחים ש- $\triangle ACE \sim \triangle BDE$ . איזה זוג נימוקים מספיק?

$\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$ (זוויות על הקוטר $AB$ ), ו- $\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות)
$\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות), ו- $AE=BE$
$\angle CAE=\angle EAB$ (חוצה זווית), ו- $\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות)
$\angle ACB=90^\circ$ (זווית על קוטר), ו- $OD \parallel AC$ (סעיף א)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$ (זוויות על הקוטר $AB$ ), ו- $\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות)

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ACE &= \angle BDE \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה, פעמיים

\angle AEC=\angle BED

זוויות קודקודיות שוות

\triangle ACE \sim \triangle BDE

A-A

הנכונה: שתי זוויות ישרות וזוויות קודקודיות. באפשרות האחרונה $\angle EAB$ אינה זווית של $\triangle BDE$ . ובאפשרות השנייה יש רק זווית אחת בכל משולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . $C$ נקודה על המעגל, ו- $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ . המיתר $AD$ חותך את $BC$ בנקודה $E$ . ג. נתון $\angle ABC=30^\circ$ . חשבו את היחס $\frac{CE}{EB}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ACB &= 90^\circ \Rightarrow AC \\ &= \tfrac{1}{2}AB\end{aligned}

זווית על קוטר, וניצב מול $30^\circ$

\angle CAE=\angle EAB

קשתות שוות: $AE$ חוצה את $\angle CAB$

\begin{aligned}\frac{CE}{EB} &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

$\frac{CE}{EB}=0.5$ . המפתח הוא לזהות ש- $AE$ חוצה זווית במשולש $ABC$ , כי $D$ אמצע הקשת. מי שענה $2$ הפך את היחס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש חד-זוויות $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $CF$ הם גבהים ( $D$ על $BC$ , $F$ על $AB$ ), והם נפגשים בנקודה $H$ . א. הוכיחו שהנקודות $A$ , $F$ , $D$ , $C$ נמצאות על מעגל אחד.

$AD \perp BC$
$CF \perp AB$

הנקודות $A$ , $F$ , $D$ , $C$ על מעגל אחד

Voir la réponse et le corrigé

$\angle AFC=90^\circ$ — הגדרת גובה במשולש $CF$
$\angle ADC=90^\circ$ — הגדרת גובה במשולש $AD$
$F$ על המעגל שקוטרו $AC$ — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
$D$ על המעגל שקוטרו $AC$ — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
הנקודות $A$ , $F$ , $D$ , $C$ על מעגל אחד — שתיהן על אותו מעגל, שעובר גם דרך $A$ ו- $C$

Corrigé :

\begin{aligned}\angle AFC &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

גבהים

F ,\ D

שתיהן «רואות» את $AC$ בזווית ישרה, ולכן על המעגל שקוטרו $AC$

כאן הזוויות הישרות אינן נגדיות במרובע $AFDC$ ( $F$ ו- $D$ סמוכות בו). לכן לא עובדים עם סכום $180^\circ$ , אלא עם הקוטר המשותף $AC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש חד-זוויות $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $CF$ הם גבהים ( $D$ על $BC$ , $F$ על $AB$ ), והם נפגשים בנקודה $H$ . ב. הוכיחו: $\triangle BFD \sim \triangle BCA$ .

$A$ , $F$ , $D$ , $C$ על מעגל אחד (סעיף א)

$\triangle BFD \sim \triangle BCA$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle FBD=\angle CBA$ — זווית משותפת
$\angle AFD+\angle ACD=180^\circ$ — במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ ( $AFDC$ )
$\angle AFD+\angle BFD=180^\circ$ — סכום זוויות צמודות הוא $180^\circ$
$\angle BFD=\angle ACD$ — משלימות לאותה זווית
$\triangle BFD \sim \triangle BCA$ — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

\angle BFD=\angle BCA

זווית חיצונית של המרובע החסום $AFDC$ שווה לפנימית שממול

\angle B=\angle B

משותפת

\triangle BFD \sim \triangle BCA

A-A

ההתאמה: $F \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow A$ . המשולש הקטן «הפוך» ביחס לגדול: $FD$ אינו מקביל ל- $AC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש חד-זוויות $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $CF$ הם גבהים ( $D$ על $BC$ , $F$ על $AB$ ), והם נפגשים בנקודה $H$ . ג. נתון $BD=4$ , $BF=5$ ו- $BA=12$ . חשבו את $BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BA}

מסעיף ב: $F \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow A$

\begin{aligned}\frac{5}{BC} &= \frac{4}{12} \Rightarrow BC \\ &= 15\end{aligned}

$BC=15$ . בדיקה: $BF \cdot BA=5 \cdot 12=60=4 \cdot 15=BD \cdot BC$ , שני חותכים מ- $B$ למעגל של סעיף א ✓. מי שהתאים $F \leftrightarrow A$ קיבל $\frac{BF}{BA}=\frac{BD}{BC}$ , כלומר $BC=9.6$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev