Probabilité totale

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

במפעל שתי מכונות: א' מייצרת 60% מהחלקים ו-2% ממה שהיא מייצרת פגום; ב' מייצרת 40% ו-5% ממנה פגום. לוקחים חלק אקראי מהמחסן — מה ההסתברות שהוא פגום? החלק הפגום יכול להגיע משני מסלולים, וסופרים את שניהם.

P(D)=P(A)⋅P(D∣A)+P(B)⋅P(D∣B)P(D) = P(A) \cdot P(D \mid A) + P(B) \cdot P(D \mid B)

נוסחת ההסתברות השלמה: כל מסלול תורם את «משקל המקור כפול אחוז הפגומים בו».

המפעל, במספרים

D = «פגום».

P(D)=0.6⋅0.02+0.4⋅0.05P(D) = 0.6 \cdot 0.02 + 0.4 \cdot 0.05

שני המסלולים

=0.012+0.02=0.032= 0.012 + 0.02 = 0.032

3.2 אחוזים מכלל המחסן

רוב הפגומים — ממכונה א' או ב'?

Voir la réponse et le corrigé

ב': היא תורמת 0.020.02 מתוך 0.0320.032 — כ-62% מהפגומים — אף שהיא מייצרת פחות. אחוז פגומים גבוה גובר על נתח ייצור קטן.

ובחזרה — בייס בקטן

נמצא חלק פגום. מה ההסתברות שהוא ממכונה ב'? זו בדיוק הסתברות מותנית, והמכנה הוא ההסתברות השלמה שחישבנו:

P(B∣D)=P(B)⋅P(D∣B)P(D)=0.020.032=0.625\begin{aligned}P(B \mid D) &= \frac{P(B) \cdot P(D \mid B)}{P(D)} \\ &= \frac{0.02}{0.032} \\ &= 0.625\end{aligned}

מהחלק של מסלול ב' בתוך כלל הפגומים.

מדוע P(B∣D)≠P(D∣B)P(B \mid D) \ne P(D \mid B) כאן?

Voir la réponse et le corrigé

P(D∣B)=0.05P(D \mid B) = 0.05 — «כמה פגום מייצרת ב'», ואילו P(B∣D)=0.625P(B \mid D) = 0.625 — «כמה מהפגומים באו מ-ב'». מכנה אחר, סיפור אחר, ופער עצום בין 5% ל-62.5%.

הבלבול שהורס את הפרק.

P(D)=0.02+0.05=0.07\begin{aligned}P(D) &= 0.02 + 0.05 \\ &= 0.07\end{aligned}
P(D)=0.6⋅0.02+0.4⋅0.05P(D) = 0.6 \cdot 0.02 + 0.4 \cdot 0.05

אי אפשר לחבר אחוזי פגומים בלי לשקלל בנתחי הייצור — 2% מ«הרבה» ו-5% מ«מעט» אינם 7% מכלום.

Exercices

Exercice 1

מכונה א' מייצרת 60% מהתפוקה עם 2% פגומים; מכונה ב' — 40% עם 5% פגומים. מה ההסתברות שחלק אקראי פגום? (עשרוני, שלוש ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.032

Corrigé :

0.6⋅0.02+0.4⋅0.050.6 \cdot 0.02 + 0.4 \cdot 0.05
0.012+0.02=0.0320.012 + 0.02 = 0.032
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותם נתונים: נמצא חלק פגום. מה ההסתברות שהוא ממכונה ב'? (עשרוני, שלוש ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.625

Corrigé :

0.4⋅0.050.032=0.020.032=0.625\begin{aligned}\frac{0.4 \cdot 0.05}{0.032} &= \frac{0.02}{0.032} \\ &= 0.625\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בעיר שני מוקדי מוניות: «מהיר» מבצע 70% מהנסיעות ומאחר ב-10% מהן; «זריז» — 30% ומאחר ב-20%. מה ההסתברות שנסיעה אקראית מאחרת? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.13

Corrigé :

0.7⋅0.1+0.3⋅0.2=0.07+0.06=0.13\begin{aligned}0.7 \cdot 0.1 + 0.3 \cdot 0.2 &= 0.07 + 0.06 \\ &= 0.13\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

באותם נתונים: נסיעה איחרה. מה ההסתברות שהיא של «זריז»? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.46

Corrigé :

0.060.13≈0.46\frac{0.06}{0.13} \approx 0.46
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בקופסה I שני כדורים לבנים ואחד שחור; בקופסה II — לבן אחד ושחור אחד. מטילים מטבע לבחירת קופסה ושולפים כדור. מה ההסתברות ללבן? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.58

Corrigé :

12⋅23+12⋅12\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}
13+14=712≈0.58\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \approx 0.58
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

באותם נתונים: נשלף לבן. מה ההסתברות שבא מקופסה I? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.57

Corrigé :

1/37/12=47≈0.57\frac{1/3}{7/12} = \frac{4}{7} \approx 0.57
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מחלה נמצאת אצל 4% מהאוכלוסייה. בדיקה מזהה חולה בהסתברות 0.9, ונותנת «חיובי» שגוי אצל בריא בהסתברות 0.1. מה ההסתברות שבדיקה אקראית תצא חיובית? (עשרוני, שלוש ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.132

Corrigé :

0.04⋅0.9+0.96⋅0.10.04 \cdot 0.9 + 0.96 \cdot 0.1
0.036+0.096=0.1320.036 + 0.096 = 0.132
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

באותם נתונים: הבדיקה יצאה חיובית. מה ההסתברות שהנבדק באמת חולה? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.27

Corrigé :

0.0360.132≈0.27\frac{0.036}{0.132} \approx 0.27

רוב החיוביים הם בריאים — כי הבריאים רבים פי 24. זו התוצאה המפתיעה המפורסמת של הפרק, והיא הסיבה שרופאים חוזרים על בדיקות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

תלמיד יודע את התשובה ב-70% מהשאלות; כשאינו יודע — מנחש נכון בהסתברות 0.25. מה ההסתברות לתשובה נכונה? (עשרוני, שלוש ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.775

Corrigé :

0.7⋅1+0.3⋅0.25=0.7+0.075=0.775\begin{aligned}0.7 \cdot 1 + 0.3 \cdot 0.25 &= 0.7 + 0.075 \\ &= 0.775\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

באותם נתונים: התשובה נכונה. מה ההסתברות שהתלמיד באמת ידע? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.9

Corrigé :

0.70.775≈0.9\frac{0.7}{0.775} \approx 0.9
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe