La loi normale

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

גבהים, ציוני מבחן ארצי, משקלי תפוחים — כשהרבה גורמים קטנים מצטברים, ההתפלגות מקבלת צורת פעמון: רוב התצפיות ליד האמצע, וזנבות דקים בקצוות. שני מספרים מגדירים את הפעמון כולו: התוחלת μ\mu — מרכז הפעמון, וסטיית התקן σ\sigma — כמה הוא רחב.

הכלל 68–95–99.7

P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.68P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0.68

כ-68% מהתצפיות נופלות במרחק סטיית תקן אחת מהמרכז; 95% בתוך שתיים; 99.7% בתוך שלוש.

ציוני מבחן ארצי

ציונים מתפלגים נורמלית עם μ=70\mu = 70 ו-σ=10\sigma = 10.

P(60<X<80)≈0.68P(60 < X < 80) \approx 0.68

סטיית תקן אחת לכל כיוון

P(X>70)=0.5P(X > 70) = 0.5

הפעמון סימטרי סביב התוחלת

P(70<X<80)≈0.34P(70 < X < 80) \approx 0.34

חצי מה-68%

באותו מבחן — איזה אחוז מהנבחנים מעל 90?

Voir la réponse et le corrigé

90 הוא μ+2σ\mu + 2\sigma. מחוץ לתחום ±2σ\pm 2\sigma נמצאים 5%, וחצי מהם — 2.5% — בזנב העליון.

ציון התקן z

כדי להשוות בין פעמונים שונים מתרגמים כל ערך ל«כמה סטיות תקן מהמרכז»:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

ציון 85 במבחן שלנו: z=85−7010=1.5z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5 — סטייה וחצי מעל הממוצע.

ציון 95 בקורס עם μ=80,σ=10\mu = 80, \sigma = 10, או ציון 60 בקורס עם μ=50,σ=5\mu = 50, \sigma = 5 — מי מרשים יותר?

Voir la réponse et le corrigé

הראשון: z=1.5z = 1.5. השני: z=2z = 2 — מרשים יותר, אף שהמספר הגולמי קטן. ציון התקן מודד ביחס לקבוצה, לא במוחלט.

מה לא לעשות עם פעמון.

P(X=70)=0.5P(X = 70) = 0.5
P(X>70)=0.5P(X > 70) = 0.5

בהתפלגות רציפה ההסתברות של ערך בודד היא אפס — מדברים תמיד על תחומים.

Exercices

Exercice 1

משקל תפוח מתפלג נורמלית: μ=200\mu = 200 גרם, σ=20\sigma = 20. איזה אחוז מהתפוחים שוקל בין 180 ל-220 גרם? (באחוזים)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 68

Corrigé :

180=μ−σ 220=μ+σ\begin{aligned}180 &= \mu - \sigma \\ \ 220 &= \mu + \sigma\end{aligned}
≈68%\approx 68\%
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותם נתונים: איזה אחוז שוקל בין 160 ל-240 גרם? (באחוזים)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 95

Corrigé :

μ±2σ\mu \pm 2\sigma
≈95%\approx 95\%
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

באותם נתונים: מה ההסתברות שתפוח שוקל יותר מ-200 גרם? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

200=μ200 = \mu

הפעמון סימטרי סביב המרכז

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

באותם נתונים: איזה אחוז שוקל בין 200 ל-220? (באחוזים)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 34

Corrigé :

682=34\frac{68}{2} = 34

חצי מתחום הסטייה האחת

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

באותם נתונים: איזה אחוז שוקל יותר מ-240 גרם? (באחוזים, עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

240=μ+2σ240 = \mu + 2\sigma
100−952=2.5%\frac{100 - 95}{2} = 2.5\%

חצי מהזנבות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ציוני מבחן: μ=70\mu = 70, σ=10\sigma = 10. מהו ציון התקן של 85?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

z=85−7010=1.5\begin{aligned}z &= \frac{85 - 70}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

באותו מבחן: מהו ציון התקן של 55?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1.5

Corrigé :

z=55−7010=−1.5\begin{aligned}z &= \frac{55 - 70}{10} \\ &= -1.5\end{aligned}

מתחת לממוצע — שלילי

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לאיזה ציון גולמי מתאים z=2z = 2 במבחן עם μ=70,σ=10\mu = 70, \sigma = 10?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

x=μ+zσ=70+20=90\begin{aligned}x &= \mu + z\sigma \\ &= 70 + 20 \\ &= 90\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נועה קיבלה 82 בקורס עם μ=70,σ=6\mu = 70, \sigma = 6; עומר קיבל 88 בקורס עם μ=80,σ=8\mu = 80, \sigma = 8. מי השיג הישג יחסי גבוה יותר?

  1. שווה בדיוק
  2. עומר
  3. אי אפשר להשוות
  4. נועה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D נועה

Corrigé :

zנועה=126=2zעומר=88=1\begin{aligned}z_{\text{נועה}} &= \frac{12}{6} \\ &= 2 \\ \quad z_{\text{עומר}} &= \frac{8}{8} \\ &= 1\end{aligned}

ציון התקן מנרמל את שני הפעמונים לאותו סרגל — ושתי סטיות תקן גוברות על אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גובה מתפלג נורמלית: μ=170\mu = 170 ס״מ, σ=8\sigma = 8. מהו ציון התקן של 150 ס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2.5

Corrigé :

z=150−1708=−208=−2.5\begin{aligned}z &= \frac{150 - 170}{8} \\ &= \frac{-20}{8} \\ &= -2.5\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe