Loi binomiale

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

דני חוזר לקלוע — אבל הפעם שלוש זריקות, ואנחנו שואלים: מה ההסתברות לבדיוק שתי פגיעות? העץ כבר גדול — שמונה מסלולים — אבל יש קיצור דרך, כי כל המסלולים עם שתי פגיעות שווי הסתברות: p2qp^2 q כל אחד. נשאר רק לספור כמה כאלה יש.

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

מספר המסלולים (nk)\binom{n}{k}, כפול ההסתברות של מסלול אחד.

שלוש זריקות, שתי פגיעות

n=3n = 3, k=2k = 2, p=23p = \frac{2}{3}.

(32)=3\binom{3}{2} = 3

ההחטאה יכולה ליפול בזריקה 1, 2 או 3

P=3⋅(23)2⋅13=1227=49\begin{aligned}P &= 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{3} \\ &= \frac{12}{27} \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

מהם ארבעת התנאים לניסוי בינומי?

Voir la réponse et le corrigé

מספר קבוע של חזרות nn; כל חזרה מצליחה או נכשלת (שתי תוצאות); אותה הסתברות pp בכל חזרה; והחזרות בלתי תלויות. שליפה בלי החזרה, למשל, מפרה את שני האחרונים.

מהי תוחלת מספר הפגיעות בשלוש זריקות של דני?

Voir la réponse et le corrigé

בבינומית E(X)=np=3⋅23=2E(X) = np = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2. שלוש הזדמנויות, כל אחת «שווה» שני שלישים.

מה שנשכח בלחץ של מבחן.

P(X=2)=p2(1−p)P(X = 2) = p^2 (1-p)
P(X=2)=(32)p2(1−p)P(X = 2) = \binom{3}{2} p^2 (1-p)

בלי המקדם — חישבתם מסלול אחד ושכחתם ששניים נוספים מגשימים את אותו מאורע.

P(X≥1)=P(X=1)P(X \ge 1) = P(X = 1)
P(X≥1)=1−(1−p)nP(X \ge 1) = 1 - (1-p)^n

«לפחות אחת» כולל גם שתיים ושלוש. המשלים — «אף לא אחת» — קצר בהרבה.

Exercices

Exercice 1

מטילים מטבע הוגן 3 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 2 «עץ»? (עשרוני, שלוש ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.375

Corrigé :

(32)⋅0.52⋅0.5=3⋅0.125=0.375\begin{aligned}\binom{3}{2} \cdot 0.5^2 \cdot 0.5 &= 3 \cdot 0.125 \\ &= 0.375\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מטילים מטבע הוגן 4 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 2 «עץ»? (עשרוני, שלוש ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.375

Corrigé :

(42)=6\binom{4}{2} = 6
6⋅0.54=616=0.375\begin{aligned}6 \cdot 0.5^4 &= \frac{6}{16} \\ &= 0.375\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

דני קולע בהסתברות 23\frac{2}{3} וזורק 3 זריקות. מה ההסתברות לבדיוק 2 פגיעות? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.44

Corrigé :

(32)(23)213=1227=49≈0.44\begin{aligned}\binom{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \frac{1}{3} &= \frac{12}{27} \\ &= \frac{4}{9} \approx 0.44\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

קולע בהסתברות 0.9 זורק 3 זריקות. מה ההסתברות לשלוש פגיעות? (עשרוני, שלוש ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.729

Corrigé :

0.93=0.7290.9^3 = 0.729

מסלול אחד — אין מה לספור

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

תלמיד מנחש בכל שאלה מתוך 3, בהסתברות הצלחה 0.8 לשאלה. מה ההסתברות שיצליח לפחות באחת? (עשרוני, שלוש ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.992

Corrigé :

1−0.23=1−0.008=0.992\begin{aligned}1 - 0.2^3 &= 1 - 0.008 \\ &= 0.992\end{aligned}

דרך המשלים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מטילים מטבע הוגן 4 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 3 «עץ»? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

(43)⋅0.54=416=0.25\begin{aligned}\binom{4}{3} \cdot 0.5^4 &= \frac{4}{16} \\ &= 0.25\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהי תוחלת מספר ה«עץ» ב-10 הטלות מטבע הוגן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

E(X)=np=10⋅0.5=5\begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 10 \cdot 0.5 \\ &= 5\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

זרע נובט בהסתברות 0.9. שותלים 4 זרעים. מה ההסתברות שלפחות 3 ינבטו? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.95

Corrigé :

P(4)=0.94=0.6561\begin{aligned}P(4) &= 0.9^4 \\ &= 0.6561\end{aligned}
P(3)=(43)0.93⋅0.1=0.2916\begin{aligned}P(3) &= \binom{4}{3} 0.9^3 \cdot 0.1 \\ &= 0.2916\end{aligned}
0.6561+0.2916≈0.950.6561 + 0.2916 \approx 0.95

«לפחות 3» = בדיוק 3 או בדיוק 4

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שולפים 3 קלפים בלי החזרה וסופרים כמה אדומים. מדוע זו אינה התפלגות בינומית?

  1. כי יש יותר משתי תוצאות
  2. ההסתברות משתנה משליפה לשליפה
  3. כי אי אפשר לספור הצלחות
  4. זו כן בינומית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ההסתברות משתנה משליפה לשליפה

Corrigé :

p2≠p1p_2 \ne p_1

אחרי אדום ראשון — נשארו פחות אדומים

בלי החזרה השליפות תלויות זו בזו וההסתברות זזה. עם החזרה — הייתה בינומית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

קולע בהסתברות 0.9 זורק 4 זריקות. מה ההסתברות שיחטיא לפחות פעמיים? (עגלו לשלוש ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.052

Corrigé :

P(0 החטאות)=0.94=0.6561\begin{aligned}P(0 \text{ החטאות}) &= 0.9^4 \\ &= 0.6561\end{aligned}
P(1)=(41)0.1⋅0.93=0.2916\begin{aligned}P(1) &= \binom{4}{1} 0.1 \cdot 0.9^3 \\ &= 0.2916\end{aligned}
1−0.6561−0.2916≈0.0521 - 0.6561 - 0.2916 \approx 0.052
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe