Série 3 — vers le bagrout · Relations de récurrence · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: שאלה על סדרה הנדסית אינסופית וסדרה שנבנית ממנה (סעיפים א–ד), שאלה על כלל נסיגה עם סדרת עזר (א–ג), ושאלה קצרה על סדרה שמוגדרת בנוסחה אחת ומתנהגת כמו שתי סדרות (א–ג). לכל סעיף פתיח זהה.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: מה ידוע, איזו סדרה הנדסית (איבר ראשון ומנה), ובדיקה בנתון אחד. סעיף שנשען על קודמו מתחיל מהתוצאה שלו.

Exercices

Exercice 1

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . א. מצאו את המנה $q$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

a_3+a_4=q^2(a_1+a_2)

כל איבר כפול $q^2$ מהאיבר שני מקומות לפניו

\begin{aligned}q^2 &= \frac{6}{24} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

q=\frac{1}{2}

הסדרה חיובית: $q>0$

$q=-\frac{1}{2}$ פותר גם הוא $q^2=\frac{1}{4}$ , אבל אז האיברים מתחלפים בסימן, בסתירה לנתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . ב. מצאו את $a_1$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

a_1(1+q)=24

$a_2=a_1q$

\begin{aligned}a_1 \cdot \frac{3}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}16+8 &= 24 \\ \quad 4+2 &= 6\end{aligned}

בדיקה ✓

$a_1+a_1q=a_1(1+q)$ , לא $a_1 \cdot 2q$ . מי שכותב $2q$ מקבל $a_1=24$ , ואז $a_1+a_2=36$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . ג. מגדירים $b_k=a_{2k-1}+a_{2k}$ (כלומר $b_1=a_1+a_2$ , $b_2=a_3+a_4$ , ...). מהי המנה של $b_k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

\begin{aligned}b_{k+1} &= a_{2k+1}+a_{2k+2} \\ &= q^2(a_{2k-1}+a_{2k})\end{aligned}

שני צעדים קדימה

\begin{aligned}q_b &= q^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{b_2}{b_1} &= \frac{6}{24} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

בדיקה בנתונים ✓

$b$ מדלגת שני מקומות בכל צעד. ובדיקה: $\frac{24}{\frac{3}{4}}=32=\frac{16}{\frac{1}{2}}$ , כלומר סכום $b$ שווה לסכום $a$ , כמו שצריך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . ד. מסמנים ב- $S$ את סכום כל איברי $a_n$ , וב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים. מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $S-S_n<0.01$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\begin{aligned}S &= \frac{16}{\frac{1}{2}} \\ &= 32\end{aligned}

S-S_n=32\left(\tfrac{1}{2}\right)^n<0.01 \ \Rightarrow \ 2^n>3200

הופכים: הכיוון מתהפך

\begin{aligned}2^{11} &= 2048 \\ \quad 2^{12} &= 4096\end{aligned}

ניסוי: $n=12$

«מה שחסר לסכום» הוא $S \cdot q^n$ . מי שפותר $\left(\frac{1}{2}\right)^n<0.01$ בלי ה- $32$ מקבל $n=7$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה סדרה: $a_1=5$ ו- $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1$ . מגדירים $b_n=a_n-2$ . א. הראו ש- $b_n$ הנדסית. השלימו.

$b_1=$ ____ , המנה של $b_n$ : ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $b_1=$ 3 , המנה של $b_n$ : 0.5

Corrigé :

\begin{aligned}b_{n+1} &= \frac{1}{2}a_n+1-2 \\ &= \frac{1}{2}(a_n-2) \\ &= \frac{1}{2}b_n\end{aligned}

מציבים את הכלל

\begin{aligned}b_1 &= 5-2 \\ &= 3\end{aligned}

$2$ הוא המספר שהכלל לא מזיז: $\frac{1}{2} \cdot 2+1=2$ . לכן בוחרים $b_n=a_n-2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה סדרה: $a_1=5$ ו- $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1$ . מגדירים $b_n=a_n-2$ . ב. הביעו את $a_n$ באמצעות $n$ .

$a_n=2+3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$a_n=2-3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$a_n=5\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$a_n=2+3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a_n=2+3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

Corrigé :

b_n=3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}

a_n=b_n+2

\begin{aligned}a_1 &= 5 \\ \quad a_2 &= 3.5 \\ &= \tfrac{5}{2}+1\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: $2+3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ . $5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ מתעלמת מה- $+1$ בכלל. החזקה $n$ נותנת $a_1=3.5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה סדרה: $a_1=5$ ו- $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1$ . מגדירים $b_n=a_n-2$ . ג. חשבו את $(a_1-2)+(a_2-2)+(a_3-2)+\ldots$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

(a_1-2)+(a_2-2)+\ldots=b_1+b_2+\ldots

זה בדיוק סכום $b_n$

\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=6

$|q|<1$

לסדרה $a_n$ עצמה אין סכום: האיברים מתקרבים ל- $2$ , לא ל- $0$ . מי שמחשב $\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=10$ סכם את הסדרה הלא נכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הסדרה $a_n=\frac{(-2)^n+2^n}{4^n}$ . א. השלימו.

$a_1=$ ____ , $a_2=$ ____ , $a_4=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a_1=$ 0 , $a_2=$ 0.5 , $a_4=$ 0.125

Corrigé :

\begin{aligned}a_1 &= \frac{-2+2}{4} \\ &= 0\end{aligned}

$n$ אי-זוגי: המחוברים מבטלים זה את זה

\begin{aligned}a_2 &= \frac{4+4}{16} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}a_4 &= \frac{16+16}{256} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

כש- $n$ אי-זוגי, $(-2)^n=-2^n$ ולכן $a_n=0$ . כש- $n$ זוגי, $a_n=\frac{2 \cdot 2^n}{4^n}=2\left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הסדרה $a_n=\frac{(-2)^n+2^n}{4^n}$ . ב. מה נכון לגבי תת-הסדרה $a_2, a_4, a_6, \ldots$ ?

הנדסית עם מנה $\frac{1}{2}$
הנדסית עם מנה $\frac{1}{4}$
הנדסית עם מנה $-\frac{1}{2}$
אינה הנדסית

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B הנדסית עם מנה $\frac{1}{4}$

Corrigé :

\begin{aligned}a_{2k} &= 2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2k} \\ &= 2\left(\tfrac{1}{4}\right)^k\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{a_4}{a_2} &= \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: מנה $\frac{1}{4}$ . בין $a_2$ ל- $a_4$ יש שני צעדים של $\frac{1}{2}$ . מי שבחר $\frac{1}{2}$ ספר צעד אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הסדרה $a_n=\frac{(-2)^n+2^n}{4^n}$ . ג. חשבו את סכום כל איברי הסדרה $a_1+a_2+a_3+\ldots$ עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.67

Corrigé :

a_1+a_2+\ldots=a_2+a_4+a_6+\ldots

המקומות האי-זוגיים תורמים $0$

\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}

\approx 0.67

הסדרה כולה אינה הנדסית (יש בה אפסים), אבל הסכום שלה הוא סכום של תת-סדרה הנדסית. מי שמציב $q=\frac{1}{2}$ מקבל $1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev