Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות: איבר קטן ביותר, מחזור ארוך, סדרת עזר, סכום של המקומות הזוגיים, משוואה מעריכית בניסוי וטעייה, ושתי סדרות יחד.

בכל שאלה של שני צעדים או יותר: בדקו את התשובה ב-n=1n=1 או ב-n=2n=2. רוב הטעויות בפרק מתגלות בהצבה אחת.

Exercices

Exercice 1

נתונה הסדרה an=n2−10n+30a_n=n^2-10n+30. מהו האיבר הקטן ביותר בסדרה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

n=102=5\begin{aligned}n &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

קודקוד הפרבולה, והוא מספר טבעי

a5=25−50+30=5\begin{aligned}a_5 &= 25-50+30 \\ &= 5\end{aligned}
a4=a6=6\begin{aligned}a_4 &= a_6 \\ &= 6\end{aligned}

בדיקה בשכנים ✓

כאן הקודקוד נופל על מקום שלם. מי שעונה 3030 חשב את a0a_0, ו-00 אינו מקום בסדרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה סדרה: a1=2a_1=2 ו-an+1=an−1an+1a_{n+1}=\frac{a_n-1}{a_n+1}. חשבו את a103a_{103}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.5

Corrigé :

a2=13a3=−2343=−12\begin{aligned}a_2 &= \frac{1}{3} \\ \quad a_3 &= \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}
a4=−3212=−3a5=−4−2=2\begin{aligned}a_4 &= \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \\ &= -3 \\ \quad a_5 &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}

מחזור של 44

103=4⋅25+3 ⇒ a103=a3=−12\begin{aligned}103 &= 4 \cdot 25+3 \ \Rightarrow \ a_{103} \\ &= a_3 \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שארית 33

המחזור כאן הוא 44, לא 33: ממשיכים לחשב עד ש-a1a_1 באמת חוזר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה סדרה: a1=3a_1=3 ו-an+1=2an−5a_{n+1}=2a_n-5. מגדירים bn=an−5b_n=a_n-5. השלימו.

b1=b_1= ____ , המנה של bnb_n: ____ , a6=a_6= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : b1=b_1= -2 , המנה של bnb_n: 2 , a6=a_6= -59

Corrigé :

bn+1=2an−5−5=2(an−5)=2bn\begin{aligned}b_{n+1} &= 2a_n-5-5 \\ &= 2(a_n-5) \\ &= 2b_n\end{aligned}

הנדסית, q=2q=2

b1=3−5=−2\begin{aligned}b_1 &= 3-5 \\ &= -2\end{aligned}
b6=−2⋅25=−64 ⇒ a6=−59\begin{aligned}b_6 &= -2 \cdot 2^5 \\ &= -64 \ \Rightarrow \ a_6 \\ &= -59\end{aligned}
3,1,−3,−11,−27,−593, 1, -3, -11, -27, -59

בדיקה בכלל ✓

b1b_1 שלילי, ולכן הסדרה יורדת אף ש-q=2q=2. מי שכותב b1=3b_1=3 שכח לחסר 55.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 2727, והמנה שלה היא q=−12q=-\frac{1}{2}. מצאו את a1a_1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40.5

Corrigé :

a1=S(1−q)a_1=S(1-q)

מבודדים

=27⋅32=40.5=27 \cdot \frac{3}{2}=40.5

1−(−12)=321-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}

בסדרה מתחלפת האיבר הראשון גדול מהסכום, כי האיבר השני שלילי. מי שמקבל 13.513.5 שכח את הסימן של qq.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ana_n סדרה הנדסית אינסופית עם a1=3a_1=3 ו-q=12q=\frac{1}{2}. חשבו את סכום כל האיברים שבמקומות הזוגיים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

a2=32q2=14\begin{aligned}a_2 &= \frac{3}{2} \\ \quad q^2 &= \frac{1}{4}\end{aligned}

תת-הסדרה

321−14=32⋅43=2\begin{aligned}\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{4}} &= \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \\ &= 2\end{aligned}
S=312=62=13⋅6\begin{aligned}S &= \frac{3}{\frac{1}{2}} \\ &= 6 \\ \quad 2 &= \frac{1}{3} \cdot 6\end{aligned}

בדיקה: המקומות הזוגיים הם q1+q=13\frac{q}{1+q}=\frac{1}{3} מהסכום

שני שינויים יחד: איבר ראשון a2a_2 ומנה q2q^2. מי שמשנה רק אחד מהם מקבל 44 או 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

איזו מהסדרות הבאות עולה?

  1. an=(12)na_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n
  2. an=nn+1a_n=\frac{n}{n+1}
  3. an=5−na_n=5-n
  4. an=(−1)n⋅na_n=(-1)^n \cdot n
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B an=nn+1a_n=\frac{n}{n+1}

Corrigé :

an+1−an=n+1n+2−nn+1=1(n+1)(n+2)>0\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} \\ &= \frac{1}{(n+1)(n+2)}>0\end{aligned}

ההפרש חיובי לכל nn

הנכונה: nn+1\frac{n}{n+1}, שמתקרבת ל-11 מלמטה. (−1)nn(-1)^n n מתחלפת, ולכן אינה עולה אף שהערך המוחלט שלה גדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בסדרה 5,10,20,40,…5, 10, 20, 40, \ldots: באיזה מקום מופיע האיבר 51205120?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

5⋅2n−1=5120 ⇒ 2n−1=1024\begin{aligned}5 \cdot 2^{n-1} &= 5120 \ \Rightarrow \ 2^{n-1} \\ &= 1024\end{aligned}
210=1024 ⇒ n−1=10\begin{aligned}2^{10} &= 1024 \ \Rightarrow \ n-1 \\ &= 10\end{aligned}

ניסוי

n=11n=11

החזקה היא n−1n-1. מי שעונה 1010 מצא את המעריך, לא את המקום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בפתרון שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

a1=1 an+1=3an+4\begin{aligned}a_1 &= 1 \\ \ a_{n+1} &= 3a_n+4\end{aligned}
bn=an+2 ⇒ bn+1=3bn\begin{aligned}b_n &= a_n+2 \ \Rightarrow \ b_{n+1} \\ &= 3b_n\end{aligned}
b1=3 ⇒ bn=3n\begin{aligned}b_1 &= 3 \ \Rightarrow \ b_n \\ &= 3^n\end{aligned}
an=3n+2a_n=3^n+2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : an=3n+2a_n=3^n+2 → an=3n−2a_n=3^n-2

Corrigé :

bn+1=3an+6=3(an+2)\begin{aligned}b_{n+1} &= 3a_n+6 \\ &= 3(a_n+2)\end{aligned}

השורה השנייה נכונה

bn=3⋅3n−1=3n\begin{aligned}b_n &= 3 \cdot 3^{n-1} \\ &= 3^n\end{aligned}

השורה השלישית נכונה

an=bn−2a_n=b_n-2

הטעות: חוזרים הפוך

בדיקה ב-n=1n=1 מגלה מיד: 31+2=5≠13^1+2=5 \neq 1. חוזרים מ-bb ל-aa בפעולה ההפוכה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: אם ana_n סדרה הנדסית עם q=−2q=-2, אז תת-הסדרה a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \ldots מתחלפת בסימן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

qb=q2=4>0\begin{aligned}q_b &= q^2 \\ &= 4>0\end{aligned}

מנה חיובית

הטענה אינה נכונה. המנה של תת-הסדרה היא q2q^2, והיא תמיד חיובית. כל האיברים במקומות הזוגיים באותו סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

an=2⋅3n−1a_n=2 \cdot 3^{n-1} ו-bn=(−1)nb_n=(-1)^n. חשבו את (a1+b1)+(a2+b2)+…+(a9+b9)(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\ldots+(a_9+b_9).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 19681

Corrigé :

a1+…+a9=2(39−1)2=19682\begin{aligned}a_1+\ldots+a_9 &= \frac{2(3^9-1)}{2} \\ &= 19682\end{aligned}
b1+…+b9=−1b_1+\ldots+b_9=-1

ארבעה זוגות מתאפסים, נשאר b9=−1b_9=-1

19682−1=1968119682-1=19681

מפרקים לשני סכומים. בסכום של (−1)n(-1)^n עם מספר אי-זוגי של איברים נשאר איבר אחד: −1-1.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe