Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: תחום, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, משיק אנכי, נגזרת שנייה, פרמטר ומשוואות אי-רציונליות בתוך החקירה. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

נתונה f(x)=116−x2f(x)=\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}. כמה אסימפטוטות אנכיות יש לגרף?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

16−x2>0 ⇒ −4<x<416-x^2>0 \ \Rightarrow \ -4<x<4

Domaine de définition

x→±4: 10+→∞x \to \pm 4: \ \frac{1}{0^{+}} \to \infty

בשני הקצוות

שתיים: x=−4x=-4 ו-x=4x=4. המונה 11 לא מתאפס לעולם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=6x−14x2+1f(x)=\frac{6x-1}{\sqrt{4x^2+1}}. מהי האסימפטוטה האופקית כש-x→−∞x \to -\infty? כתבו את ערך ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

4x2+1≈2∣x∣\sqrt{4x^2+1} \approx 2|x|

המכנה רחוק מ-00

x→−∞: 6x−2x=−3x \to -\infty: \ \frac{6x}{-2x}=-3

משמאל

y=−3y=-3. שתי טעויות אפשריות: 4x2=4∣x∣\sqrt{4x^2}=4|x| (צריך 2∣x∣2|x|), ו-∣x∣=x|x|=x משמאל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x−1f(x)=\sqrt{x-1}. מהו המשיק לגרף בנקודה (1, 0)(1,\,0)?

  1. אין משיק
  2. הישר x=1x=1
  3. הישר y=x−1y=x-1
  4. הישר y=0y=0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B הישר x=1x=1

Corrigé :

f′(x)=12x−1→∞f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}} \to \infty

כש-x→1+x \to 1^{+}

הנכונה: x=1x=1, משיק אנכי. f(1)=0f(1)=0 לא אומר שהמשיק אופקי: ערך ושיפוע הם שני דברים.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

נתונה f(x)=xx−1f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-1}}. מצאו את נקודת המינימום.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 2 , y=y= 2

Corrigé :

f′(x)=2(x−1)−x2(x−1)x−1=x−22(x−1)x−1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-1)-x}{2(x-1)\sqrt{x-1}} \\ &= \frac{x-2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\end{aligned}

נגזרת

x=2: −→+x=2: \ - \to +

מינימום

f(2)=21=2\begin{aligned}f(2) &= \frac{2}{1} \\ &= 2\end{aligned}

La valeur

(2, 2)(2,\,2). x=1x=1 איננו מינימום: הוא אסימפטוטה אנכית, ו-ff לא מוגדרת שם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו: x2+5=x+1\sqrt{x^2+5}=x+1

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2+5=x2+2x+1x^2+5=x^2+2x+1

מעלים בחזקת 2

2x=4 ⇒ x=2\begin{aligned}2x &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

ה-x2x^2 מתבטל

9=3=2+1 ✓\begin{aligned}\sqrt{9} &= 3 \\ &= 2+1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

x=2x=2. גם כשה-x2x^2 מתבטל ונשאר פתרון אחד, בודקים: אגף ימין x+1x+1 חייב להיות אי-שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x2+16f(x)=\sqrt{x^2+16}. חשבו את f′′(0)f''(0).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

f′(x)=xx2+16f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}

נגזרת

f′′(x)=16(x2+16)x2+16f''(x)=\frac{16}{(x^2+16)\sqrt{x^2+16}}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′′(0)=1664=0.25\begin{aligned}f''(0) &= \frac{16}{64} \\ &= 0.25\end{aligned}

On remplace (מציבים)

0.250.25. f′′>0f''>0: הגרף קעור כלפי מעלה, ו-(0, 4)(0,\,4) מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=2xx2+1f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}} מקבלת את הערך 22.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

2x=2x2+1 ⇒ x2=x2+1\begin{aligned}2x &= 2\sqrt{x^2+1} \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= x^2+1\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

0=10=1

סתירה

הטענה לא נכונה. y=2y=2 היא האסימפטוטה הימנית: הגרף מתקרב אליה ולא מגיע. תחום הערכים −2<y<2-2<y<2.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

נתונה f(x)=axx2+1f(x)=\frac{ax}{\sqrt{x^2+1}}, כאשר a>0a>0. המרחק בין שתי האסימפטוטות האופקיות של הגרף הוא 1010. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

y=a (+∞)y=−a (−∞)\begin{aligned}y &= a \ (+\infty) \\ \quad y &= -a \ (-\infty)\end{aligned}

שתי אסימפטוטות

a−(−a)=2a=10\begin{aligned}a-(-a) &= 2a \\ &= 10\end{aligned}

המרחק בין ישרים אופקיים

a=5a=5

On résout

a=5a=5. מי שכתב a=10a=10 חשב שיש ישר אחד בלבד, או שכח שהמרחק הוא 2a2a.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x−4x2+4f(x)=\frac{x-4}{\sqrt{x^2+4}}. מצאו את הערך המינימלי של ff. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2.24

Corrigé :

f′(x)=(x2+4)−x(x−4)(x2+4)x2+4=4x+4(x2+4)x2+4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+4)-x(x-4)}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}} \\ &= \frac{4x+4}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}\end{aligned}

נגזרת

x=−1: −→+x=-1: \ - \to +

מינימום

f(−1)=−55=−5≈−2.24\begin{aligned}f(-1) &= \frac{-5}{\sqrt{5}} \\ &= -\sqrt{5} \approx -2.24\end{aligned}

La valeur

−2.24-2.24. הגרף יורד מהאסימפטוטה y=−1y=-1 עד −5-\sqrt{5}, ואז עולה לכיוון y=1y=1. המינימום מתחת לאסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x2+9−x2f(x)=\sqrt{x^2+9}-\frac{x}{2}. מצאו את הערך המינימלי של ff. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.6

Corrigé :

f′(x)=xx2+9−12=0 ⇒ 2x=x2+9\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= \sqrt{x^2+9}\end{aligned}

נקודה חשודה

4x2=x2+9 x≥0 ⇒ x=3\begin{aligned}4x^2 &= x^2+9 \\ \ x \geq 0 \ \Rightarrow \ x &= \sqrt{3}\end{aligned}

x=−3x=-\sqrt{3} נפסל: 2x2x שלילי

f(3)=12−32=332≈2.60\begin{aligned}f(\sqrt{3}) &= \sqrt{12}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60\end{aligned}

La valeur

x→±∞: f→∞x \to \pm\infty: \ f \to \infty

בשני הכיוונים הגרף עולה: מינימום מוחלט

2.602.60. המשוואה 2x=x2+92x=\sqrt{x^2+9} היא משוואה אי-רציונלית בתוך החקירה: בלי הבדיקה מקבלים גם x=−3x=-\sqrt{3}, ושם f′(−3)=−1≠0f'(-\sqrt{3})=-1 \neq 0.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe