Série 3 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח שאלת החקירה של הבגרות, מחולקות לסעיפים. כל תרגיל הוא סעיף אחד, עם אותה פתיחה. פרמטר מנקודת חיתוך ושתי אסימפטוטות; משיקים אנכיים וערך בקצה; ופרמטר משיפוע עם חיתוך של ישר.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו ובדקו אותו בנתון לפני שממשיכים.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=x+ax2+20f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=−5x=-5. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

f(−5)=0 ⇒ −5+a=0\begin{aligned}f(-5) &= 0 \ \Rightarrow \ -5+a \\ &= 0\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: המונה מתאפס

a=5a=5

המכנה חיובי תמיד, ולכן רק המונה

a=5a=5. מי שכתב a=−5a=-5 הציב את הנקודה עם הסימן ההפוך: x+a=0x+a=0 ב-x=−5x=-5 נותן a=5a=5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=x+ax2+20f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=−5x=-5. ב. הציבו a=5a=5. מצאו את האסימפטוטות האופקיות של ff.

כש-x→+∞x \to +\infty: y=y= ____ ; כש-x→−∞x \to -\infty: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כש-x→+∞x \to +\infty: y=y= 1 ; כש-x→−∞x \to -\infty: y=y= -1

Corrigé :

x2+20≈∣x∣\sqrt{x^2+20} \approx |x|

רחוק מ-00

x∣x∣→1 (+∞),−1 (−∞)\frac{x}{|x|} \to 1 \ (+\infty) ,\quad -1 \ (-\infty)

לפי הכיוון

x2+20>0x^2+20>0

ואין אסימפטוטה אנכית

y=1y=1 ו-y=−1y=-1. שתי אסימפטוטות שונות: זה מה שמבדיל את הפונקציה מפונקציה רציונלית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=x+ax2+20f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=−5x=-5. ג. הציבו a=5a=5. מצאו את נקודת הקיצון של ff.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 4 , y=y= 1.5

Corrigé :

f′(x)=(x2+20)−x(x+5)(x2+20)x2+20=20−5x(x2+20)x2+20\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+20)-x(x+5)}{(x^2+20)\sqrt{x^2+20}} \\ &= \frac{20-5x}{(x^2+20)\sqrt{x^2+20}}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

x=4: +→−x=4: \ + \to -

מקסימום

f(4)=936=1.5\begin{aligned}f(4) &= \frac{9}{\sqrt{36}} \\ &= 1.5\end{aligned}

La valeur

מקסימום (4, 1.5)(4,\,1.5). בדקו את הסימן משני הצדדים: f′(0)>0f'(0)>0 ו-f′(5)<0f'(5)<0. אל תסתפקו ב-f′=0f'=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

y = f(x)
y = 1y = −1-14-12-10-8-6-4-20246810121416-1.5-1-0.50.511.52xy

נתונה הפונקציה f(x)=x+ax2+20f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=−5x=-5. ד. הציבו a=5a=5, והיעזרו בסקיצה שבשרטוט. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k בדיוק שני פתרונות?

  1. 1<k<1.51<k<1.5
  2. 1≤k≤1.51 \leq k \leq 1.5
  3. k<1.5k<1.5
  4. −1<k<1.5-1<k<1.5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1<k<1.51<k<1.5

Corrigé :

x<4: −1↗1.5x<4: \ -1 \nearrow 1.5

עולה מהאסימפטוטה השמאלית עד המקסימום

x>4: 1.5↘1x>4: \ 1.5 \searrow 1

יורדת לכיוון האסימפטוטה הימנית

1<k<1.5: 1+11<k<1.5: \ 1+1

פתרון אחד בכל ענף

הנכונה: 1<k<1.51<k<1.5. k=1k=1 נותן פתרון אחד (x=−0.5x=-0.5): מימין הגרף רק מתקרב ל-11. k=1.5k=1.5 נותן אחד, המקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה f(x)=x+a−x2f(x)=x+\sqrt{a-x^2}, כאשר a>0a>0. הישרים x=−2x=-2 ו-x=2x=2 משיקים לגרף של ff. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

a−x2=0 ⇒ x=±a\begin{aligned}a-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\sqrt{a}\end{aligned}

משיקים אנכיים בקצוות התחום

a=2 ⇒ a=4\begin{aligned}\sqrt{a} &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

הקצוות הם ±2\pm 2

a=4a=4. מי שכתב a=2a=2 שכח שהקצה הוא a\sqrt{a}, לא aa.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה f(x)=x+a−x2f(x)=x+\sqrt{a-x^2}, כאשר a>0a>0. הישרים x=−2x=-2 ו-x=2x=2 משיקים לגרף של ff. ב. הציבו a=4a=4. מהי נקודת המקסימום של ff?

  1. (2, 22)(\sqrt{2},\,2\sqrt{2})
  2. (0, 2)(0,\,2)
  3. (2, 2)(2,\,2)
  4. (2, 2)(\sqrt{2},\,2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (2, 22)(\sqrt{2},\,2\sqrt{2})

Corrigé :

f′(x)=1−x4−x2=0 ⇒ 4−x2=x\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{4-x^2} \\ &= x\end{aligned}

נקודה חשודה

4−x2=x2 x≥0 ⇒ x=2\begin{aligned}4-x^2 &= x^2 \\ \ x \geq 0 \ \Rightarrow \ x &= \sqrt{2}\end{aligned}

x=−2x=-\sqrt{2} נפסל: אגף ימין xx

f(2)=2+2=22\begin{aligned}f(\sqrt{2}) &= \sqrt{2}+\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

La valeur

הנכונה: (2, 22)(\sqrt{2},\,2\sqrt{2}). במשוואה 4−x2=x\sqrt{4-x^2}=x צריך x≥0x \geq 0. מי שלא בדק קיבל גם −2-\sqrt{2}, ושם f′(−2)=2≠0f'(-\sqrt{2})=2 \neq 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=x+a−x2f(x)=x+\sqrt{a-x^2}, כאשר a>0a>0. הישרים x=−2x=-2 ו-x=2x=2 משיקים לגרף של ff. ג. הציבו a=4a=4. השלימו.

הערך הקטן ביותר של ff: ____ ; מספר נקודות הפיתול: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הערך הקטן ביותר של ff: -2 ; מספר נקודות הפיתול: 0

Corrigé :

f(−2)=−2f(2)=2\begin{aligned}f(-2) &= -2 \\ \quad f(2) &= 2\end{aligned}

הקצוות

−2≤x≤2: ↗2≤x≤2: ↘-2 \leq x \leq \sqrt{2}: \ \nearrow \qquad \sqrt{2} \leq x \leq 2: \ \searrow

הערך הקטן ביותר בקצה השמאלי

f′′(x)=−4(4−x2)4−x2<0f''(x)=\frac{-4}{(4-x^2)\sqrt{4-x^2}}<0

קעורה כלפי מטה בכל הפנים: אין פיתול

−2-2 ו-00. הערך הקטן ביותר בתחום סגור יכול להיות בקצה, בלי f′=0f'=0. מי שחיפש אותו רק בנקודות שבהן f′=0f'=0 לא מצא אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=xx+af(x)=\frac{x}{\sqrt{x+a}}, כאשר a>0a>0. שיפוע המשיק לגרף של ff בנקודה (0, 0)(0,\,0) הוא 12\frac{1}{2}. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=2(x+a)−x2(x+a)x+a=x+2a2(x+a)x+a\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+a)-x}{2(x+a)\sqrt{x+a}} \\ &= \frac{x+2a}{2(x+a)\sqrt{x+a}}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′(0)=2a2aa=1a=12\begin{aligned}f'(0) &= \frac{2a}{2a\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

On remplace (מציבים)

a=4a=4

מעלים בחזקת 2

a=4a=4. מי שכתב a=2a=2 לא העלה בחזקת 2: a=2\sqrt{a}=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה f(x)=xx+af(x)=\frac{x}{\sqrt{x+a}}, כאשר a>0a>0. שיפוע המשיק לגרף של ff בנקודה (0, 0)(0,\,0) הוא 12\frac{1}{2}. ב. הציבו a=4a=4. מה נכון לגבי ff?

  1. ל-ff מינימום ב-x=−8x=-8
  2. ff יורדת ב-x<0x<0
  3. ff עולה בכל התחום, ו-x=−4x=-4 אסימפטוטה אנכית
  4. ל-ff אסימפטוטה אופקית y=1y=1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ff עולה בכל התחום, ו-x=−4x=-4 אסימפטוטה אנכית

Corrigé :

x>−4x>-4

Domaine de définition

f′(x)=x+82(x+4)x+4>0  x>−4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x+8}{2(x+4)\sqrt{x+4}}>0 \ \\ \ x>-4\end{aligned}

x+8>4>0x+8>4>0 בכל התחום

x→−4+: −40+→−∞x \to -4^{+}: \ \frac{-4}{0^{+}} \to -\infty

אסימפטוטה אנכית

הנכונה: עולה בכל התחום. x=−8x=-8 מאפס את המונה של f′f', אבל הוא מחוץ לתחום. אין אסימפטוטה אופקית: ff גדלה כמו x\sqrt{x}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה f(x)=xx+af(x)=\frac{x}{\sqrt{x+a}}, כאשר a>0a>0. שיפוע המשיק לגרף של ff בנקודה (0, 0)(0,\,0) הוא 12\frac{1}{2}. ג. הציבו a=4a=4. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של ff עם הישר y=x3y=\frac{x}{3}.

x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטן לגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 0 ו-x=x= 5 (מהקטן לגדול)

Corrigé :

xx+4=x3\frac{x}{\sqrt{x+4}}=\frac{x}{3}

משווים

x=0 או x+4=3\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ \sqrt{x+4} \\ &= 3\end{aligned}

אסור לחלק ב-xx בלי לבדוק x=0x=0

x+4=9 ⇒ x=5\begin{aligned}x+4 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

f(5)=53 ✓f(5)=\frac{5}{3} \ \checkmark

בדיקה

x=0x=0 ו-x=5x=5. מי שחילק את שני האגפים ב-xx איבד את הנקודה (0, 0)(0,\,0).

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe