Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: תחום, אסימפטוטה אנכית, שתי אסימפטוטות אופקיות, משיק אנכי, נגזרת שנייה ומשוואה אחת. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

שלוש שאלות לפני כל תרגיל: השורש במונה או במכנה? xx הולך ימינה או שמאלה? ובמשוואה: בדקתם בהצבה?

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=1x2−1f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}?

  1. x≤−1x \leq -1 או x≥1x \geq 1
  2. x<−1x<-1 או x>1x>1
  3. x>1x>1
  4. −1<x<1-1<x<1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x<−1x<-1 או x>1x>1

Corrigé :

x2−1>0x^2-1>0

השורש במכנה: חיובי ממש

x<−1 או x>1x<-1 \ \text{או} \ x>1

מחוץ לשורשים

הנכונה: x<−1x<-1 או x>1x>1. ב-x=±1x=\pm 1 המכנה 00. ו-x>1x>1 לבד שוכח את הקטע השמאלי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי האסימפטוטה האנכית של f(x)=x+2x−3f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x-3}}? כתבו את ערך ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x>3x>3

Domaine de définition

x=3: 3+2=5≠0\begin{aligned}x &= 3: \ 3+2 \\ &= 5 \neq 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס

x=3x=3. הערך x=−2x=-2 מאפס את המונה, אבל הוא בכלל מחוץ לתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=5xx2+2f(x)=\frac{5x}{\sqrt{x^2+2}}. מהי האסימפטוטה האופקית כש-x→+∞x \to +\infty? כתבו את ערך ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x2+2≈x (x>0)\sqrt{x^2+2} \approx x \ (x>0)

מימין ∣x∣=x|x|=x

5xx=5\frac{5x}{x}=5

הגבול

y=5y=5. ה-22 שמתחת לשורש לא משנה את הגבול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ובאותה פונקציה, f(x)=5xx2+2f(x)=\frac{5x}{\sqrt{x^2+2}}: מהי האסימפטוטה האופקית כש-x→−∞x \to -\infty?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

x2+2≈∣x∣=−x (x<0)\sqrt{x^2+2} \approx |x|=-x \ (x<0)

משמאל

5x−x=−5\frac{5x}{-x}=-5

הגבול

y=−5y=-5. זו לא אותה אסימפטוטה: x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x| הופך את הסימן משמאל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: x2=x\sqrt{x^2}=x לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x=−3: 9=3≠−3\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \neq -3\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה לא נכונה. x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|. זה בדיוק מה שנותן שתי אסימפטוטות אופקיות שונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=xf(x)=\sqrt{x}. חשבו את f′′(1)f''(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.25

Corrigé :

f′(x)=12x−12f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

נגזרת ראשונה

f′′(x)=−14x−32f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}

נגזרת שנייה

f′′(1)=−14f''(1)=-\frac{1}{4}

On remplace (מציבים)

−0.25-0.25. המינוס אומר ש-x\sqrt{x} קעורה כלפי מטה. מי שקיבל 00 גזר את 12\frac{1}{2} ושכח את החזקה של xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x+2+3f(x)=\sqrt{x+2}+3. באיזה ישר אנכי הגרף משיק?

  1. x=2x=2
  2. x=−2x=-2
  3. x=3x=3
  4. x=0x=0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=−2x=-2

Corrigé :

x≥−2f(−2)=3\begin{aligned}x \geq -2 \\ \quad f(-2) &= 3\end{aligned}

תחום, והנקודה בקצה

f′(x)=12x+2→∞f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}} \to \infty

בקצה

הנכונה: x=−2x=-2. ה-+3+3 מזיז את הגרף למעלה, לא הצידה. המשיק האנכי נשאר בקצה התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו: 3x+4=x\sqrt{3x+4}=x

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

3x+4=x2 ⇒ x2−3x−4=0\begin{aligned}3x+4 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2-3x-4 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=4 או x=−1\begin{aligned}x &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

שני מועמדים

x=−1: 1=1≠−1\begin{aligned}x &= -1: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

נפסל

x=4: 16=4 ✓\begin{aligned}x &= 4: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

מתאים

x=4x=4 בלבד. אגף ימין הוא xx, ושורש אינו שלילי: xx חייב להיות אי-שלילי, ולכן −1-1 נפסל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה את האסימפטוטות שלה.

  • 1x−2\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}
  • xx2+1\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}
  • 2xx2+1\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}
  • xx−2\dfrac{x}{\sqrt{x-2}}
  • x=2x=2 בלבד
  • x=2x=2 ו-y=0y=0
  • y=1y=1 ו-y=−1y=-1
  • y=2y=2 ו-y=−2y=-2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1x−2\dfrac{1}{\sqrt{x-2}} — x=2x=2 ו-y=0y=0 · xx2+1\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} — y=1y=1 ו-y=−1y=-1 · 2xx2+1\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}} — y=2y=2 ו-y=−2y=-2 · xx−2\dfrac{x}{\sqrt{x-2}} — x=2x=2 בלבד

Corrigé :

xx−2≈x→∞\frac{x}{\sqrt{x-2}} \approx \sqrt{x} \to \infty

אין אסימפטוטה אופקית

1x−2→0\frac{1}{\sqrt{x-2}} \to 0

ורק מימין: התחום x>2x>2

שתי פונקציות עם אותה אסימפטוטה אנכית x=2x=2. ההבדל ברחוק: כשהמונה 11 הגרף יורד ל-00, וכשהמונה xx הוא עולה בלי גבול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מה נכון לגבי הקעירות של f(x)=−xf(x)=-\sqrt{x}?

  1. יש נקודת פיתול ב-x=1x=1
  2. קעורה כלפי מעלה (∪\cup) בכל x>0x>0
  3. אין לה נגזרת שנייה
  4. קעורה כלפי מטה (∩\cap) בכל x>0x>0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B קעורה כלפי מעלה (∪\cup) בכל x>0x>0

Corrigé :

f′′(x)=−(−14x−32)=14x−32>0\begin{aligned}f''(x) &= -\left(-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}\right) \\ &= \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}>0\end{aligned}

הנגזרת השנייה של x\sqrt{x}, עם מינוס

x>0x>0

חיובית בכל פנים התחום

הנכונה: כלפי מעלה. שיקוף בציר ה-xx הופך את הקעירות: x\sqrt{x} היא ∩\cap, ולכן −x-\sqrt{x} היא ∪\cup.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe