On résout ensemble · Fonctions avec racines · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח שאלת השורש של הבגרות: פרמטר מקיצון ואסימפטוטות שונות; ישר שאולי חותך את הגרף; משיק אנכי וקעירות; ו«האם ייתכן?». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. אחרי כל שאלה, שאלה תאומה מחכה לכם למטה.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים בבחינה. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פרמטר מנקודת קיצון, ושתי אסימפטוטות

Activité interactive

נתונה $f(x)=\frac{ax+6}{\sqrt{x^2+12}}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את האסימפטוטות של $f$ . ג. מצאו את נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. ד. מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם האסימפטוטה האופקית הימנית.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{ax+6}{\sqrt{x^2+12}} \\ \quad f'(2) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנגזרת נכתבת עם $a$ , ורק אחר כך מציבים.

א. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+12)-x(ax+6)}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}} \\ &= \frac{12a-6x}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}}\end{aligned}

נגזרת של מנה. $ax^2$ מתבטל.

א.

\begin{aligned}12a-12 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

$f(x)=\frac{x+6}{\sqrt{x^2+12}}$ .

ב. אנכית

x^2+12>0

התחום הוא כל $x$ : אין אסימפטוטה אנכית.

ב. אופקיות

\begin{aligned}x \to +\infty: \ \frac{x}{|x|} &= 1 \qquad x \to -\infty: \ \frac{x}{|x|} \\ &= -1\end{aligned}

$y=1$ מימין, $y=-1$ משמאל.

ג. סוג

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{12}{12\sqrt{12}}>0 \qquad f'(3) \\ &= \frac{-6}{21\sqrt{21}}<0\end{aligned}

עולה ואחר כך יורדת.

ג.

\begin{aligned}f(2) &= \frac{8}{\sqrt{16}} \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום $(2,\,2)$ .

ד. משוואה

\begin{aligned}x+6 &= \sqrt{x^2+12} \ \Rightarrow \ x^2+12x+36 \\ &= x^2+12 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

פותרים $f(x)=1$ .

ד. בדיקה

\frac{-2+6}{\sqrt{16}}=1 \ \checkmark

הנקודה $(-2,\,1)$ .

שני דברים ששאלות כאלה בודקות: $\sqrt{x^2}=|x|$ בסעיף ב, והבדיקה בסעיף ד.

Faire l'activité sur elev

האם הגרף חותך גם את האסימפטוטה השמאלית $y=-1$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $f(x)=-1$ נותן $x+6=-\sqrt{x^2+12}$ , ולכן $x+6<0$ . בחזקת 2 מתקבל שוב $x=-2$ , אבל $-2+6=4>0$ , והוא נפסל. אין פתרון.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — האם הישר חותך את הגרף?

Activité interactive

$f(x)=\sqrt{2x^2+7}$ והישר $y=x-2$

נתונה $f(x)=\sqrt{2x^2+7}$ . מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם הישר $y=x-2$ .

אין נקודות חיתוך

$x=-1$ ו- $x=-3$

$x=-1$ בלבד

$x=-3$ בלבד

איזו משוואה פותרים?

$\sqrt{2x^2+7}=x-2$

Voir la réponse et le corrigé

בנקודת חיתוך לגרף ולישר אותו $y$ .

$\sqrt{2x^2+7}=0$

Voir la réponse et le corrigé

זו החיתוך עם ציר ה- $x$ , לא עם הישר.

\sqrt{2x^2+7}=x-2

השורש כבר מבודד.

מעלים בחזקת 2. מה מתקבל?

$x^2+4x+3=0$

Voir la réponse et le corrigé

$2x^2+7=x^2-4x+4$ .

$x^2+3=0$

Voir la réponse et le corrigé

$(x-2)^2=x^2-4x+4$ , לא $x^2+4$ .

\begin{aligned}x^2+4x+3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני מועמדים.

מה עכשיו?

בודקים במשוואה המקורית

Voir la réponse et le corrigé

ההעלאה בחזקת 2 עלולה להוסיף פתרונות זרים.

עונים: שתי נקודות חיתוך

Voir la réponse et le corrigé

אגף ימין $x-2$ חייב להיות אי-שלילי. בדקו.

\begin{aligned}x &= -1: \ x-2 \\ &= -3<0 \qquad x \\ &= -3: \ x-2 \\ &= -5<0\end{aligned}

שני המועמדים נפסלים: שורש אינו שלילי.

Voir la réponse et le corrigé

אין נקודות חיתוך. אפשר לראות את זה גם בלי חישוב: $\sqrt{2x^2+7}>\sqrt{x^2}=|x| \geq x>x-2$ . הגרף תמיד מעל הישר.

Faire l'activité sur elev

ואם הישר היה $y=x+2$ ? כמה נקודות חיתוך היו?

Voir la réponse et le corrigé

$2x^2+7=x^2+4x+4$ נותן $x^2-4x+3=0$ , כלומר $x=1$ או $x=3$ . בבדיקה $x+2=3$ ו- $x+2=5$ , שניהם חיוביים: $\sqrt{9}=3$ ✓ ו- $\sqrt{25}=5$ ✓. שתי נקודות, $(1,\,3)$ ו- $(3,\,5)$ .

השאלות התאומות: שאלות 2 ו-5 ברשימה למטה.

3 — משיק אנכי, משיק רגיל וקעירות

Activité interactive

נתונה $f(x)=\sqrt{ax-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=10$ משיק לגרף של $f$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת המקסימום. ג. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=2$ . ד. הוכיחו ש- $f$ קעורה כלפי מטה בכל פנים התחום.

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{ax-x^2} \\ \quad x &= 10 \ \text{משיק}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». משיק אנכי מופיע בקצה התחום, שם מה שמתחת לשורש מתאפס.

א.

\begin{aligned}10a-100 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 10\end{aligned}

$x=10$ הוא קצה: $ax-x^2=0$ שם.

ב. תחום

10x-x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ 0 \leq x \leq 10

בין השורשים של $x(10-x)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{10-2x}{2\sqrt{10x-x^2}} \\ &= \frac{5-x}{\sqrt{10x-x^2}}\end{aligned}

כלל השרשרת. בשני הקצוות המכנה $0$ והמונה לא: משיקים אנכיים ב- $x=0$ וב- $x=10$ .

ב. מקסימום

\begin{aligned}x &= 5 \\ \quad f(5) &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

$+ \to -$ : מקסימום $(5,\,5)$ .

ג. נקודה

\begin{aligned}f(2) &= \sqrt{16} \\ &= 4 \\ \quad f'(2) &= \frac{3}{4}\end{aligned}

הנקודה $(2,\,4)$ והשיפוע $\frac{3}{4}$ .

ג. משיק

\begin{aligned}y-4 &= \tfrac{3}{4}(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= \tfrac{3}{4}x+\tfrac{5}{2}\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע.

ד.

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{-\sqrt{g}-(5-x)\frac{g'}{2\sqrt{g}}}{g} \\ &= \frac{-g-(5-x)^2}{g\sqrt{g}} \\ \quad g &= 10x-x^2\end{aligned}

נגזרת של מנה, עם $g'=10-2x=2(5-x)$ .

ד. מסקנה

\begin{aligned}-g-(5-x)^2 &= -(10x-x^2)-(25-10x+x^2) \\ &= -25\end{aligned}

$f''(x)=\frac{-25}{g\sqrt{g}}<0$ לכל $0<x<10$ .

$y=\sqrt{10x-x^2}$ הוא חצי מעגל שמרכזו $(5,\,0)$ ורדיוסו $5$ . לכן יש לו שני משיקים אנכיים, והוא קעור כלפי מטה.

Faire l'activité sur elev

בסעיף ג, האם הנקודה $(2,\,4)$ נמצאת בתחום שבו $f$ עולה?

Voir la réponse et le corrigé

כן. $f$ עולה ב- $0<x<5$ , ו- $2$ בתוך הקטע. זה מתאים לשיפוע החיובי $\frac{3}{4}$ . שיפוע שלילי היה מסמן טעות.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «האם ייתכן?»: שיפוע גדול מדי

Activité interactive

משיק ששיפועו $2$ ?

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ . האם יש לגרף של $f$ משיק ששיפועו $2$ ? נמקו.

לא: השיפוע הגדול ביותר הוא $1$

כן, ב- $x=0$

כן, בשתי נקודות סימטריות

כן, קרוב לאסימפטוטה

מה צריך לחשב?

את $f'(x)$ , ולבדוק אם $f'(x)=2$ אפשרי

Voir la réponse et le corrigé

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת.

את $f(x)=2$

Voir la réponse et le corrigé

זה שואל על גובה $2$ , לא על שיפוע.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}

נגזרת של מנה.

מהו הערך הגדול ביותר של $f'$ ?

$1$ , ב- $x=0$

Voir la réponse et le corrigé

המכנה הכי קטן כש- $x^2=0$ .

אין ערך גדול ביותר

Voir la réponse et le corrigé

$x^2+1 \geq 1$ , ולכן המכנה $\geq 1$ .

(x^2+1)^{\frac{3}{2}} \geq 1 \ \Rightarrow \ 0<f'(x) \leq 1

כל שיפוע של משיק נמצא בין $0$ ל- $1$ .

אז?

$f'(x)=2$ בלתי אפשרי

Voir la réponse et le corrigé

$2>1$ .

אפשר, אם $x$ גדול מאוד

Voir la réponse et le corrigé

רחוק הגרף נצמד לאסימפטוטה: השיפוע שואף ל- $0$ .

2>1

אין משיק כזה.

Voir la réponse et le corrigé

אין משיק ששיפועו $2$ . השיפוע הגדול ביותר הוא $f'(0)=1$ , בנקודת הפיתול $(0,\,0)$ . «האם ייתכן?» נענה בחסם: מראים ש- $f'$ לא יכולה להגיע לערך.

Faire l'activité sur elev

ולאיזה משיק של $f$ השיפוע הוא $\frac{1}{8}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$(x^2+1)^{\frac{3}{2}}=8$ , כלומר $x^2+1=4$ ו- $x=\pm\sqrt{3}$ . שני משיקים, בנקודות סימטריות: $f$ אי-זוגית, ולכן $f'$ זוגית.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x)=\frac{ax+12}{\sqrt{x^2+12}}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . השלימו.

$a=$ ____ ; הערך בנקודת הקיצון: ____ ; האסימפטוטה כש- $x \to -\infty$ : $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a=$ 2 ; הערך בנקודת הקיצון: 4 ; האסימפטוטה כש- $x \to -\infty$ : $y=$ -2

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+12)-x(ax+12)}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}} \\ &= \frac{12a-12x}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}}\end{aligned}

גוזרים עם $a$

\begin{aligned}12a-24 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

מציבים $x=2$

\begin{aligned}f(2) &= \frac{16}{\sqrt{16}} \\ &= 4\end{aligned}

La valeur

x \to -\infty: \ \frac{2x}{-x}=-2

משמאל $|x|=-x$

$a=2$ , מקסימום $(2,\,4)$ , ומשמאל $y=-2$ . מי שכתב $y=2$ גם משמאל השתמש ב- $\sqrt{x^2}=x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+12}$ . מהן נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם הישר $y=2x$ ?

$(2,\,4)$ ו- $(-2,\,-4)$
אין נקודות חיתוך
$(-2,\,-4)$ בלבד
$(2,\,4)$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $(2,\,4)$ בלבד

Corrigé :

\begin{aligned}\sqrt{x^2+12} &= 2x \ \Rightarrow \ x^2+12 \\ &= 4x^2\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שני מועמדים

\begin{aligned}x &= -2: \ 2x \\ &= -4<0\end{aligned}

נפסל: שורש אינו שלילי

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

הנקודה $(2,\,4)$

הנכונה: $(2,\,4)$ בלבד. $(-2,\,-4)$ מתקבלת מהמשוואה $\sqrt{x^2+12}=-2x$ , לא מהמשוואה שלנו. הגרף של $f$ כולו מעל ציר ה- $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=\sqrt{ax-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=8$ משיק לגרף של $f$ . השלימו.

$a=$ ____ ; הערך המקסימלי: ____ ; $f''(4)=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a=$ 8 ; הערך המקסימלי: 4 ; $f''(4)=$ -0.25

Corrigé :

\begin{aligned}8a-64 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

המשיק האנכי בקצה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4-x}{\sqrt{8x-x^2}} \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ f(4) &= 4\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{-(8x-x^2)-(4-x)^2}{(8x-x^2)^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{-16}{(8x-x^2)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}

כמו בשאלה 3

\begin{aligned}f''(4) &= \frac{-16}{64} \\ &= -0.25\end{aligned}

$16^{\frac{3}{2}}=64$

$a=8$ , מקסימום $4$ ו- $f''(4)=-0.25$ . זה חצי מעגל ברדיוס $4$ . מי שמחפש את $a$ מ- $f'(8)=0$ מבלבל משיק אנכי עם משיק אופקי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף של $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ יש משיק ששיפועו $1$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f'(x)=\frac{4}{(x^2+4)^{\frac{3}{2}}}

נגזרת

(x^2+4)^{\frac{3}{2}} \geq 8 \ \Rightarrow \ f'(x) \leq \frac{1}{2}

החסם, ב- $x=0$

1>\frac{1}{2}

לא ניתן

הטענה לא נכונה. השיפוע הגדול ביותר הוא $\frac{1}{2}$ . את «האם ייתכן» לא עונים בניסוי של נקודה אחת: מוצאים את הערך הגדול ביותר של $f'$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של הגרף עם הישר $y=3-x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x^2+3=9-6x+x^2

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}6x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

ה- $x^2$ מתבטל

\begin{aligned}\sqrt{4} &= 2 \\ &= 3-1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

$x=1$ , והבדיקה עוברת. גם כשיש מועמד אחד, בודקים: עם $y=x-3$ אותו חישוב היה נותן $x=1$ , ושם $x-3=-2$ והוא נפסל.

Vérifier la réponse sur elev

1 — פרמטר מנקודת קיצון, ושתי אסימפטוטות

2 — האם הישר חותך את הגרף?

3 — משיק אנכי, משיק רגיל וקעירות

4 — «האם ייתכן?»: שיפוע גדול מדי

Exercices

La suite se pratique sur elev