Étude complète avec paramètre · Fonctions avec racines · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשאלת החקירה של הבגרות הפונקציה מגיעה כמעט תמיד עם פרמטר. נתון אחד קובע אותו: נקודה על הגרף, נקודת קיצון, שיפוע של משיק, או «אין אסימפטוטה». אחרי שמוצאים אותו, זו חקירה רגילה. הנה הגרף שנקבל בסוף הדוגמה.

y = x / √(x − 4)

אסימפטוטה אנכית

x=4

, מינימום

(8,\,4)

, ואחר כך עלייה בלי גבול. הישר

y=5

חותך את הגרף פעמיים.

לפי הגרף: כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=5$ ? ולמשוואה $f(x)=3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$f(x)=5$ : שני פתרונות, אחד משמאל למינימום ואחד מימינו. $f(x)=3$ : אין פתרון, כי $3$ קטן מהערך המינימלי $4$ .

חקירה מלאה עם פרמטר

Activité interactive

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-a}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ עובר בנקודה $(8,\,4)$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות. ג. מצאו את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה. ד. פתרו את המשוואה $f(x)=5$ .

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x}{\sqrt{x-a}} \\ \quad (8,\,4) \in f\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א פותח את השאלה: בלי $a$ אין תחום ואין נגזרת.

א. הנקודה

\begin{aligned}\frac{8}{\sqrt{8-a}} &= 4 \ \Rightarrow \ \sqrt{8-a} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

מציבים, מבודדים את השורש ומעלים בחזקת 2.

ב. תחום

x-4>0 \ \Rightarrow \ x>4

השורש במכנה: אי-שוויון חזק.

ב. אנכית

x \to 4^{+}: \ \frac{4}{0^{+}} \to +\infty

המונה $4 \neq 0$ : אסימפטוטה אנכית $x=4$ .

ב. אופקית

\frac{x}{\sqrt{x-4}} \approx \sqrt{x} \to \infty

המונה גדל מהר יותר מהמכנה: אין אסימפטוטה אופקית.

ג. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x-4}-\frac{x}{2\sqrt{x-4}}}{x-4} \\ &= \frac{x-8}{2(x-4)\sqrt{x-4}}\end{aligned}

מנה, ומכנה משותף במונה: $2(x-4)-x=x-8$ .

ג. סימן

4<x<8: \ f'<0 \qquad x>8: \ f'>0

מינימום $(8,\,4)$ . יורדת ב- $4<x<8$ , עולה ב- $x>8$ .

ד. משוואה

\begin{aligned}x &= 5\sqrt{x-4} \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 25x-100 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= 20\end{aligned}

מעלים בחזקת 2. שני מועמדים.

ד. בדיקה

\begin{aligned}\frac{5}{\sqrt{1}} &= 5 \ \checkmark \qquad \frac{20}{\sqrt{16}} \\ &= 5 \ \checkmark\end{aligned}

שניהם בתחום, ושניהם מקיימים את המשוואה המקורית.

סעיף ד מתאים לגרף: $5$ גדול מהמינימום $4$ , ולכן שני פתרונות. אם הבדיקה הייתה פוסלת אחד מהם, זה היה סימן לטעות.

Faire l'activité sur elev

באותה פונקציה, $f''(x)=\frac{16-x}{4(x-4)^{2}\sqrt{x-4}}$ . היכן $f$ קעורה כלפי מעלה, והיכן נקודת הפיתול?

Voir la réponse et le corrigé

המכנה חיובי בתחום. $f''>0$ כש- $4<x<16$ : קעורה כלפי מעלה ( $\cup$ ). $f''<0$ כש- $x>16$ : קעורה כלפי מטה ( $\cap$ ). פיתול ב- $x=16$ , אף שהגרף ממשיך לעלות.

פרמטר מנקודת קיצון

$f(x)=\frac{ax+3}{\sqrt{x^2+3}}$ עם קיצון ב- $x=1$

לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=1$ . מצאו את $a$ ואת האסימפטוטות האופקיות.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+3)-x(ax+3)}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}} \\ &= \frac{3a-3x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}\end{aligned}

גוזרים עם $a$ . האיברים $ax^2$ מתבטלים

\begin{aligned}f'(1) &= 0 \ \Rightarrow \ 3a-3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

En un extremum (נקודת קיצון), la dérivée (נגזרת) s’annule (מתאפסת)

x=1: \ + \to -

בדיקה: הסימן מתחלף, והנקודה היא באמת מקסימום

\begin{aligned}y &= 1 \ (x \to +\infty) \\ \quad y &= -1 \ (x \to -\infty)\end{aligned}

$\frac{x}{|x|}$

עם $a=1$ זו הפונקציה $\frac{x+3}{\sqrt{x^2+3}}$ , שהמקסימום שלה $(1,\,2)$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=k$ כש- $1<k<2$ ? וכש- $k=1$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$1<k<2$ : שניים, אחד בכל צד של המקסימום. $k=1$ : אחד בלבד, $x=-1$ . מימין הגרף רק מתקרב ל- $1$ ולא מגיע אליו.

אחרי שמוצאים פרמטר, מציבים ובודקים את הנתון. « $f'(1)=0$ » נותן רק נקודה חשודה. צריך לוודא שהסימן מתחלף, ושהנקודה בתחום.

שלוש טעויות בשאלה עם פרמטר.

\begin{aligned}\sqrt{8-a} &= 2 \ \Rightarrow \ 8-a \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}\sqrt{8-a} &= 2 \ \Rightarrow \ 8-a \\ &= 4\end{aligned}

שכחו להעלות בחזקת 2. בדיקה: עם $a=6$ מתקבל $\frac{8}{\sqrt{2}} \neq 4$ .

\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x-4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 7\end{aligned}

x=7

$x+2=x^2-8x+16$ נותן $x=2$ ו- $x=7$ . אבל ב- $x=2$ אגף ימין הוא $-2$ , ושורש אינו שלילי: $x=2$ נפסל.

f(x)=k \ : \ k \geq 4

k>4

ב- $k=4$ הישר נוגע במינימום בנקודה אחת בלבד. «שני פתרונות» דורש $k$ גדול מהמינימום.

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-a}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ עובר בנקודה $(10,\,5)$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\frac{10}{\sqrt{10-a}}=5

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}\sqrt{10-a} &= 2 \ \Rightarrow \ 10-a \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

a=6

בדיקה: $\frac{10}{\sqrt{4}}=5$ ✓

$a=6$ . מי שכתב $a=8$ שכח להעלות בחזקת 2: $10-a=2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-9}}$ . השלימו.

אסימפטוטה אנכית: $x=$ ____ ; מינימום: $x=$ ____ , $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אסימפטוטה אנכית: $x=$ 9 ; מינימום: $x=$ 18 , $y=$ 6

Corrigé :

x>9

תחום; המונה $9 \neq 0$ ב- $x=9$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-9)-x}{2(x-9)\sqrt{x-9}} \\ &= \frac{x-18}{2(x-9)\sqrt{x-9}}\end{aligned}

נגזרת

\begin{aligned}x &= 18: \ - \to + \\ \quad f(18) &= \frac{18}{3} \\ &= 6\end{aligned}

מינימום

$x=9$ ו- $(18,\,6)$ . המינימום של $\frac{x}{\sqrt{x-a}}$ תמיד ב- $x=2a$ . מי שמחפש מינימום ב- $x=9$ מחפש אותו על האסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-9}}$ . פתרו את המשוואה $f(x)=10$ .

הפתרון הקטן: ____ , הפתרון הגדול: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הפתרון הקטן: 10 , הפתרון הגדול: 90

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 10\sqrt{x-9} \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 100x-900\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}x^2-100x+900 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10 \\ \ x &= 90\end{aligned}

On résout

\begin{aligned}\frac{10}{\sqrt{1}} &= 10 \ \checkmark \qquad \frac{90}{\sqrt{81}} \\ &= 10 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

$10$ ו- $90$ . $10$ גדול מהמינימום $6$ , ולכן שני פתרונות. גם כששניהם נכונים, הבדיקה חובה: רק היא אומרת את זה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה $f(x)=\frac{ax+2}{\sqrt{x^2+4}}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+4)-x(ax+2)}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}} \\ &= \frac{4a-2x}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}\end{aligned}

גוזרים עם $a$

\begin{aligned}4a-4 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

מציבים $x=2$ במונה

x=2: \ + \to -

בדיקה: מקסימום

$a=1$ . אין צורך לפתור עם המכנה: הוא חיובי תמיד, ורק המונה יכול להתאפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: נתונה $f(x)=\frac{ax+2}{\sqrt{x^2+4}}$ . אם $a=0$ , לגרף יש רק אסימפטוטה אופקית אחת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}a &= 0: \ f(x) \\ &= \frac{2}{\sqrt{x^2+4}}\end{aligned}

On remplace (מציבים)

x \to \pm\infty: \ f(x) \to 0

המונה קבוע

הטענה נכונה. לכל $a \neq 0$ יש שתי אסימפטוטות, $y=a$ ו- $y=-a$ . כש- $a=0$ הן מתלכדות ל- $y=0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה $f(x)=\sqrt{a-2x}+x$ , ו- $a$ פרמטר. הישר $x=3$ משיק לגרף של $f$ . מצאו את הערך המקסימלי של $f$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.5

Corrigé :

\begin{aligned}a-2 \cdot 3 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

המשיק האנכי בקצה התחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-1}{\sqrt{6-2x}}+1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{6-2x} \\ &= 1\end{aligned}

נקודה חשודה

\begin{aligned}x &= 2.5 \\ \quad f(2.5) &= 1+2.5 \\ &= 3.5\end{aligned}

המקסימום

f(3)=3<3.5

בקצה: ערך קטן יותר

$3.5$ . שלב א: משיק אנכי מופיע בקצה התחום, שם מה שמתחת לשורש הוא $0$ . מי שמחפש $f'(3)=0$ מבלבל משיק אנכי עם משיק אופקי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

y = x / √(x − 4)

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-4}}$ , שהמינימום שלה $(8,\,4)$ . לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ בדיוק שני פתרונות?

$0<k<4$
$k \geq 4$
$k>4$
$k>0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $k>4$

Corrigé :

4<x<8: \ +\infty \searrow 4

ענף שמאלי: יורד מהאסימפטוטה עד המינימום

x>8: \ 4 \nearrow \infty

ענף ימני: עולה בלי גבול

k>4: \ 1+1=2

פתרון אחד בכל ענף

הנכונה: $k>4$ . $k=4$ נותן פתרון אחד, המינימום. $0<k<4$ נותן אפס פתרונות: הגרף לא יורד מתחת ל- $4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בפתרון של המשוואה $\sqrt{x+5}=x-1$ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\sqrt{x+5}=x-1

x+5=x^2+1

x^2-3x-4=0

\begin{aligned}x &= 4 \ \\ \ x &= -1\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x+5=x^2+1$ → $x+5=x^2-2x+1$

Corrigé :

(x-1)^2=x^2-2x+1

נוסחת הכפל המקוצר

\begin{aligned}x^2-3x-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ x &= -1\end{aligned}

מכאן ההמשך נכון

\begin{aligned}x &= -1: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

ובבדיקה $x=-1$ נפסל

השורה השנייה: $(x-1)^2 \neq x^2+1$ . ובסוף, אחרי התיקון, נשאר רק $x=4$ : בדיקה פוסלת את $x=-1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה $f(x)=\frac{a}{\sqrt{x}}+x$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת מינימום ב- $x=4$ . השלימו.

$a=$ ____ , הערך המינימלי: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a=$ 16 , הערך המינימלי: 12

Corrigé :

f'(x)=-\frac{a}{2}x^{-\frac{3}{2}}+1

נגזרת

\begin{aligned}f'(4) &= -\frac{a}{16}+1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 16\end{aligned}

$4^{\frac{3}{2}}=8$

\begin{aligned}f(4) &= \frac{16}{2}+4 \\ &= 12\end{aligned}

La valeur

f''(x)=\frac{3a}{4}x^{-\frac{5}{2}}>0

בדיקה: מינימום

$a=16$ וערך מינימלי $12$ . הטעות הנפוצה: $4^{\frac{3}{2}}=6$ . נכון: $\left(\sqrt{4}\right)^3=8$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-4}}$ . מיינו את הטענות.

נכון
לא נכון

$(8,\,4)$ נקודת מינימום
$f$ עולה לכל $x>8$
$f$ קעורה כלפי מעלה ב- $4<x<16$
$x=4$ אסימפטוטה אנכית
הגרף חותך את ציר ה- $x$
לגרף יש אסימפטוטה אופקית

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x=4$ אסימפטוטה אנכית — נכון · $(8,\,4)$ נקודת מינימום — נכון · $f$ עולה לכל $x>8$ — נכון · $f$ קעורה כלפי מעלה ב- $4<x<16$ — נכון · לגרף יש אסימפטוטה אופקית — לא נכון · הגרף חותך את ציר ה- $x$ — לא נכון

Corrigé :

f'(x)=\frac{x-8}{2(x-4)\sqrt{x-4}}

נגזרת

f''(x)=\frac{16-x}{4(x-4)^{2}\sqrt{x-4}}

נגזרת שנייה

x>4 \ \Rightarrow \ f(x)>0

הגרף כולו מעל ציר ה- $x$

אין אסימפטוטה אופקית: $\frac{x}{\sqrt{x-4}}$ גדלה כמו $\sqrt{x}$ . ואין חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x=0$ מחוץ לתחום.

Vérifier la réponse sur elev

חקירה מלאה עם פרמטר

פרמטר מנקודת קיצון

Exercices

La suite se pratique sur elev