Tangente verticale et dérivée seconde

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הגרף של f(x)=2x+4−xf(x)=2\sqrt{x+4}-x מתחיל בנקודה (−4, 4)(-4,\,4). הסתכלו איך הוא עוזב את הנקודה הזו: לא בשיפוע רגיל, אלא כמעט ישר למעלה.

y = 2√(x + 4) − x
x = −4(−3, 5)-4-3-2-101234567-1123456xy
בקצה x=−4x=-4 הגרף משיק לישר האנכי x=−4x=-4. אחר כך הוא מגיע למקסימום (−3, 5)(-3,\,5) ויורד.

f′(x)=1x+4−1f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x+4}}-1. חשבו את f′(−3.99)f'(-3.99) ואת f′(−3.9999)f'(-3.9999). מה המספרים אומרים?

Voir la réponse et le corrigé

f′(−3.99)=10.1−1=9f'(-3.99)=\frac{1}{0.1}-1=9 ו-f′(−3.9999)=10.01−1=99f'(-3.9999)=\frac{1}{0.01}-1=99. ככל שמתקרבים ל-−4-4 השיפוע גדל בלי גבול: המשיק נעשה אנכי.

מתי יש משיק אנכי

אם ff מוגדרת בקצה x=ax=a, והנגזרת שואפת שם ל-+∞+\infty או ל-−∞-\infty, הגרף משיק לישר האנכי x=ax=a. זה קורה בדרך כלל כשהשורש מופיע במכנה של f′f' ולא מצטמצם.

f(a) מוגדרת,∣f′(x)∣→x→a∞f(a) \ \text{מוגדרת} \quad , \quad |f'(x)| \xrightarrow[x \to a]{} \infty

שני התנאים יחד: הישר x=ax=a משיק אנכי.

x−2\sqrt{x-2}

f(2)=0f(2)=0 ו-f′=12x−2→∞f'=\frac{1}{2\sqrt{x-2}} \to \infty: משיק אנכי x=2x=2

(x−2)x−2(x-2)\sqrt{x-2}

f′=32x−2→0f'=\frac{3}{2}\sqrt{x-2} \to 0: הגרף יוצא שטוח, בלי משיק אנכי

1x−2\frac{1}{\sqrt{x-2}}

f(2)f(2) לא מוגדרת: זו אסימפטוטה, לא משיק

לאילו ישרים אנכיים משיק הגרף של f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}?

Voir la réponse et le corrigé

התחום −3≤x≤3-3 \leq x \leq 3, ו-f′(x)=−x9−x2f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}. בשני הקצוות המונה ∓3≠0\mp 3 \neq 0 והמכנה 00. לכן הישרים x=−3x=-3 ו-x=3x=3 משיקים לגרף. זה חצי מעגל, ולקוטר שלו יש משיקים אנכיים בקצוות.

הנגזרת השנייה: לאיזה צד הגרף מתעקל

f′′(x)>0f''(x)>0

ff קעורה כלפי מעלה (∪\cup) בקטע

f′′(x)<0f''(x)<0

ff קעורה כלפי מטה (∩\cap) בקטע

f′′: +→− או −→+f'' : \ + \to - \ \text{או} \ - \to +

f′′f'' מחליפה סימן: נקודת פיתול, אם ff מוגדרת שם

לשורש יש נגזרת שנייה פשוטה: (x)′′=(12x−12)′=−14x−32<0\left(\sqrt{x}\right)''=\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)'=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}<0. לכן x\sqrt{x} קעורה כלפי מטה בכל התחום. גם f(x)=2x+4−xf(x)=2\sqrt{x+4}-x: f′′(x)=−12(x+4)−32<0f''(x)=-\frac{1}{2}(x+4)^{-\frac{3}{2}}<0, ולכן אין לה נקודת פיתול.

פיתול ב-f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

מצאו את תחומי הקעירות ואת נקודת הפיתול.

f(x)=x(x2+1)−12f(x)=x(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}

כותבים כחזקה: קל יותר לגזור פעמיים

f′(x)=(x2+1)−12−x2(x2+1)−32=(x2+1)−32\begin{aligned}f'(x) &= (x^2+1)^{-\frac{1}{2}}-x^2(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} \\ &= (x^2+1)^{-\frac{3}{2}}\end{aligned}

מכנה משותף: (x2+1)−x2=1(x^2+1)-x^2=1

f′′(x)=−32(x2+1)−52⋅2x=−3x(x2+1)2x2+1\begin{aligned}f''(x) &= -\frac{3}{2}(x^2+1)^{-\frac{5}{2}} \cdot 2x \\ &= \frac{-3x}{(x^2+1)^{2}\sqrt{x^2+1}}\end{aligned}

כלל השרשרת

x<0: f′′>0 (∪)x>0: f′′<0 (∩)x<0: \ f''>0 \ (\cup) \qquad x>0: \ f''<0 \ (\cap)

המכנה חיובי. הסימן של −3x-3x

(0, 0)(0,\,0)

הסימן מתחלף ו-f(0)=0f(0)=0: נקודת פיתול

ב-f(x)=(x−3)x+3f(x)=(x-3)\sqrt{x+3} הנגזרת היא f′(x)=3x+32x+3f'(x)=\frac{3x+3}{2\sqrt{x+3}}. האם גם שם יש משיק אנכי ב-x=−3x=-3?

Voir la réponse et le corrigé

כן. ב-x=−3x=-3 המונה הוא −6≠0-6 \neq 0, והמכנה 00. משיק אנכי נעלם רק כשגם המונה של f′f' מתאפס בקצה, כמו ב-(x+3)x+3(x+3)\sqrt{x+3}.

שלוש טעויות במשיק אנכי ובנגזרת השנייה.

y=1x−2 : x=2 משיק\begin{aligned}y &= \frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x \\ &= 2 \ \text{משיק}\end{aligned}
x=2 אסימפטוטהx=2 \ \text{אסימפטוטה}

ב-x=2x=2 הפונקציה לא מוגדרת. אין נקודה שבה ישר יכול להשיק. זו אסימפטוטה.

(x−12)′=−12x12\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)'=-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}
(x−12)′=−12x−32\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)'=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}

מורידים 11 מהחזקה: −12−1=−32-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}. הטעות הזו הופכת את כל הסימן של f′′f''.

f′′(0)=0 ⇒ פיתולf''(0)=0 \ \Rightarrow \ \text{פיתול}
f′′: +→− או −→+f'' : \ + \to - \ \text{או} \ - \to +

ב-x2+4\sqrt{x^2+4}: f′′(x)=4(x2+4)x2+4>0f''(x)=\frac{4}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}>0 תמיד. אבל גם כש-f′′f'' מתאפסת, צריך לבדוק שהסימן מתחלף.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=6−2x+xf(x)=\sqrt{6-2x}+x. באיזה ישר אנכי הגרף משיק?

  1. x=2.5x=2.5
  2. x=3x=3
  3. x=0x=0
  4. אין משיק אנכי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=3x=3

Corrigé :

6−2x≥0 ⇒ x≤36-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

תחום; f(3)=3f(3)=3 מוגדרת

f′(x)=−16−2x+1f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{6-2x}}+1

כלל השרשרת

x→3−: f′(x)→−∞x \to 3^{-}: \ f'(x) \to -\infty

משיק אנכי x=3x=3

הנכונה: x=3x=3. ב-x=2.5x=2.5 מתקיים f′=0f'=0: שם יש מקסימום ומשיק אופקי. אל תבלבלו בין השניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הוכיחו או הפריכו: הישר x=−1x=-1 משיק לגרף של f(x)=(x+1)x+1f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=(x+1)32f(x)=(x+1)^{\frac{3}{2}}

חזקה

f′(x)=32(x+1)12→0f'(x)=\frac{3}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}} \to 0

השיפוע שואף ל-00

הטענה לא נכונה. הגרף יוצא מ-(−1, 0)(-1,\,0) שטוח, והמשיק שם הוא y=0y=0. הגורם x+1x+1 מבטל את השורש שבמכנה של f′f'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=4xf(x)=4\sqrt{x}. חשבו את f′′(4)f''(4).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.125

Corrigé :

f′(x)=2x−12f'(x)=2x^{-\frac{1}{2}}

נגזרת ראשונה

f′′(x)=−x−32f''(x)=-x^{-\frac{3}{2}}

נגזרת שנייה

f′′(4)=−18=−0.125\begin{aligned}f''(4) &= -\frac{1}{8} \\ &= -0.125\end{aligned}

432=84^{\frac{3}{2}}=8

−0.125-0.125. הסימן השלילי אומר שהגרף קעור כלפי מטה. מי שקיבל −12-\frac{1}{2} חישב 4124^{\frac{1}{2}} במקום 4324^{\frac{3}{2}}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מה נכון לגבי הקעירות של f(x)=x+5f(x)=\sqrt{x+5}?

  1. קעורה כלפי מעלה ב-x<0x<0 וכלפי מטה ב-x>0x>0
  2. יש נקודת פיתול ב-x=−5x=-5
  3. קעורה כלפי מטה (∩\cap) בכל x>−5x>-5
  4. קעורה כלפי מעלה (∪\cup) בכל x>−5x>-5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C קעורה כלפי מטה (∩\cap) בכל x>−5x>-5

Corrigé :

f′(x)=12(x+5)−12f'(x)=\frac{1}{2}(x+5)^{-\frac{1}{2}}

נגזרת ראשונה

f′′(x)=−14(x+5)−32<0f''(x)=-\frac{1}{4}(x+5)^{-\frac{3}{2}}<0

שלילית בכל התחום

הנכונה: קעורה כלפי מטה. x=−5x=-5 הוא קצה התחום, ושם אין «צד שמאל». נקודת פיתול דורשת החלפת סימן בתוך התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=xx2+4f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}. מצאו את נקודת הפיתול ואת שיפוע המשיק בה.

נקודת הפיתול: x=x= ____ , y=y= ____ ; שיפוע המשיק שם: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נקודת הפיתול: x=x= 0 , y=y= 0 ; שיפוע המשיק שם: 0.5

Corrigé :

f′(x)=(x2+4)−x2(x2+4)x2+4=4(x2+4)32\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+4)-x^2}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}} \\ &= \frac{4}{(x^2+4)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}

נגזרת ראשונה

f′′(x)=4⋅(−32)(x2+4)−52⋅2x=−12x(x2+4)52\begin{aligned}f''(x) &= 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)(x^2+4)^{-\frac{5}{2}} \cdot 2x \\ &= \frac{-12x}{(x^2+4)^{\frac{5}{2}}}\end{aligned}

נגזרת שנייה

x=0: +→−x=0: \ + \to -

הסימן מתחלף: פיתול (0, 0)(0,\,0)

f′(0)=48=0.5\begin{aligned}f'(0) &= \frac{4}{8} \\ &= 0.5\end{aligned}

השיפוע

(0, 0)(0,\,0) ושיפוע 0.50.5. בנקודת הפיתול הזו השיפוע הוא הגדול ביותר: f′f' עולה עד x=0x=0 ויורדת אחריו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x2−9f(x)=\sqrt{x^2-9}. לכמה ישרים אנכיים הגרף של ff משיק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2−9≥0 ⇒ x≤−3 או x≥3x^2-9 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 3

Domaine de définition

f′(x)=xx2−9f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}

נגזרת

x→3+: 30+→∞x→−3−: −30+→−∞x \to 3^{+}: \ \frac{3}{0^{+}} \to \infty \qquad x \to -3^{-}: \ \frac{-3}{0^{+}} \to -\infty

בשני הקצוות

שני ישרים, x=−3x=-3 ו-x=3x=3. בשני הקצוות f=0f=0 מוגדרת והשיפוע אינסופי. מי שענה 11 שכח את הענף השמאלי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מיינו: לאילו פונקציות יש משיק אנכי בקצה השמאלי של התחום?

  • יש משיק אנכי
  • אין משיק אנכי
  • (x−1)x−1(x-1)\sqrt{x-1}
  • (x−1)2x−1(x-1)^2\sqrt{x-1}
  • x−1+x\sqrt{x-1}+x
  • x−1\sqrt{x-1}
  • xx−1x\sqrt{x-1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x−1\sqrt{x-1} — יש משיק אנכי · xx−1x\sqrt{x-1} — יש משיק אנכי · x−1+x\sqrt{x-1}+x — יש משיק אנכי · (x−1)x−1(x-1)\sqrt{x-1} — אין משיק אנכי · (x−1)2x−1(x-1)^2\sqrt{x-1} — אין משיק אנכי

Corrigé :

(xx−1)′=3x−22x−1→10+\left(x\sqrt{x-1}\right)'=\frac{3x-2}{2\sqrt{x-1}} \to \frac{1}{0^{+}}

המונה 1≠01 \neq 0

((x−1)x−1)′=32x−1→0\left((x-1)\sqrt{x-1}\right)'=\frac{3}{2}\sqrt{x-1} \to 0

יוצא שטוח

((x−1)52)′=52(x−1)32→0\left((x-1)^{\frac{5}{2}}\right)'=\frac{5}{2}(x-1)^{\frac{3}{2}} \to 0

גם כן שטוח

השאלה היא מה קורה למונה של f′f' בקצה. אם הוא 00 כי ff מכילה את הגורם x−1x-1, השורש נעלם מהמכנה ואין משיק אנכי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=x+4−xf(x)=\sqrt{x}+\sqrt{4-x} בתחום 0≤x≤40 \leq x \leq 4. מה נכון?

  1. ff קעורה כלפי מטה, ואין לה משיקים אנכיים
  2. יש ל-ff נקודת פיתול ב-x=2x=2
  3. ff קעורה כלפי מעלה בכל 0<x<40<x<4
  4. ff קעורה כלפי מטה בכל 0<x<40<x<4, ויש לה משיקים אנכיים ב-x=0x=0 וב-x=4x=4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ff קעורה כלפי מטה בכל 0<x<40<x<4, ויש לה משיקים אנכיים ב-x=0x=0 וב-x=4x=4

Corrigé :

f′(x)=12x−124−xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}

נגזרת ראשונה

f′′(x)=−14x−32−14(4−x)−32<0f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}(4-x)^{-\frac{3}{2}}<0

שני מחוברים שליליים

x→0+: f′→+∞x→4−: f′→−∞x \to 0^{+}: \ f' \to +\infty \qquad x \to 4^{-}: \ f' \to -\infty

בשני הקצוות

הנכונה: קעורה כלפי מטה, ושני משיקים אנכיים. ב-x=2x=2 יש מקסימום (f′=0f'=0), לא פיתול: f′′(2)<0f''(2)<0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=xx2+af(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}, כאשר a>0a>0. המשיק לגרף בנקודת הפיתול של ff מקביל לישר y=13xy=\frac{1}{3}x. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

f′(x)=a(x2+a)32f'(x)=\frac{a}{(x^2+a)^{\frac{3}{2}}}

מכנה משותף: (x2+a)−x2=a(x^2+a)-x^2=a

f′′(x)=−3ax(x2+a)52f''(x)=\frac{-3ax}{(x^2+a)^{\frac{5}{2}}}

פיתול ב-x=0x=0

f′(0)=aa32=1a=13\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{a^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

משיק מקביל: שיפוע שווה

a=3 ⇒ a=9\begin{aligned}\sqrt{a} &= 3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 9\end{aligned}

On résout

a=9a=9. מי שכתב a=3a=3 שכח שבסוף מתקבל 1a\frac{1}{\sqrt{a}}, ולכן צריך להעלות בחזקת 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=4x+1−xf(x)=4\sqrt{x+1}-x. השלימו.

מקסימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; f′′(3)=f''(3)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: x=x= 3 , y=y= 5 ; f′′(3)=f''(3)= -0.125

Corrigé :

f′(x)=2x+1−1=0 ⇒ x+1=2 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{\sqrt{x+1}}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x+1} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

נקודה חשודה

f(3)=4⋅2−3=5\begin{aligned}f(3) &= 4 \cdot 2-3 \\ &= 5\end{aligned}

הגובה

f′′(x)=−(x+1)−32 ⇒ f′′(3)=−18\begin{aligned}f''(x) &= -(x+1)^{-\frac{3}{2}} \ \Rightarrow \ f''(3) \\ &= -\frac{1}{8}\end{aligned}

נגזרת שנייה

f′′(3)<0f''(3)<0

מאשר: מקסימום

(3, 5)(3,\,5) ו-f′′(3)=−0.125f''(3)=-0.125. f′′<0f''<0 בנקודה שבה f′=0f'=0 אומר מקסימום, בלי טבלת סימנים. ובקצה x=−1x=-1 יש משיק אנכי, כי f′→∞f' \to \infty.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe