Deux asymptotes horizontales différentes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בפונקציה רציונלית יש לכל היותר אסימפטוטה אופקית אחת: אותו ישר מימין ומשמאל. עם שורש זה משתנה. הנה הגרף של f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. הסתכלו על שני הקצוות שלו.

y = x / √(x² + 1)
y = 1y = −1-8-6-4-202468-1.5-1-0.50.511.5xy
מימין הגרף נצמד ל-y=1y=1, ומשמאל ל-y=−1y=-1. שתי אסימפטוטות אופקיות שונות לאותה פונקציה.

לפי הגרף: האם f(x)f(x) מקבלת אי פעם את הערך 11? ולמה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. לכל xx מתקיים x2+1>x2=∣x∣\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|. לכן המונה xx קטן בערכו המוחלט מהמכנה, ו-−1<f(x)<1-1<f(x)<1.

המפתח: x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|

כש-xx רחוק מאוד מ-00, בתוך x2+1\sqrt{x^2+1} ה-11 כמעט לא משנה, ו-x2+1≈x2=∣x∣\sqrt{x^2+1} \approx \sqrt{x^2}=|x|. אבל ∣x∣|x| תלוי בכיוון: מימין הוא xx, ומשמאל הוא −x-x.

x2+1=∣x∣1+1x2\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}
x→+∞: xx2+1≈xx=1x \to +\infty: \ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \approx \frac{x}{x}=1

∣x∣=x|x|=x: האסימפטוטה y=1y=1

x→−∞: xx2+1≈x−x=−1x \to -\infty: \ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \approx \frac{x}{-x}=-1

∣x∣=−x|x|=-x: האסימפטוטה y=−1y=-1

מהן האסימפטוטות האופקיות של f(x)=2x−1x2+3f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+3}}?

Voir la réponse et le corrigé

רחוק מ-00: 2x∣x∣\frac{2x}{|x|}. מימין y=2y=2, ומשמאל y=−2y=-2. ה-−1-1 וה-33 לא משנים את הגבול.

ארבע צורות שכדאי להכיר

xx2+1\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

y=1y=1 מימין, y=−1y=-1 משמאל

x2+1x\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}

גם כאן y=1y=1 ו-y=−1y=-1, ובנוסף אסימפטוטה אנכית x=0x=0

3x2+1\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}

y=0y=0 בשני הכיוונים: המונה קבוע

x2x2+1\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}

אין אסימפטוטה אופקית: המונה גדל כמו x2x^2, המכנה רק כמו ∣x∣|x|

חקירה מלאה של f(x)=x+3x2+3f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+3}}

מצאו תחום, אסימפטוטות, נקודות קיצון, והאם הגרף חוצה את האסימפטוטה האופקית הימנית.

x2+3>0x^2+3>0

תחום: כל xx. אין אסימפטוטה אנכית

x→+∞: y=1x→−∞: y=−1\begin{aligned}x \to +\infty: \ y &= 1 \qquad x \to -\infty: \ y \\ &= -1\end{aligned}

x∣x∣\frac{x}{|x|} בכל כיוון

f′(x)=x2+3−(x+3)xx2+3x2+3=3−3x(x2+3)x2+3\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x^2+3}-(x+3)\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3} \\ &= \frac{3-3x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}\end{aligned}

נגזרת של מנה, ומכנה משותף במונה

3−3x=0 ⇒ x=1f(1)=42=2\begin{aligned}3-3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \quad f(1) &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

המכנה חיובי. הסימן של f′f' הוא הסימן של 3−3x3-3x

x+3=x2+3 ⇒ x2+6x+9=x2+3 ⇒ x=−1\begin{aligned}x+3 &= \sqrt{x^2+3} \ \Rightarrow \ x^2+6x+9 \\ &= x^2+3 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1\end{aligned}

חוצה את y=1y=1? פותרים f(x)=1f(x)=1

x=−1: 24=1 ✓\begin{aligned}x &= -1: \ \frac{2}{\sqrt{4}} \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: הגרף חוצה את y=1y=1 בנקודה (−1, 1)(-1,\,1)

היעזרו בטבלה ובאסימפטוטות. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1.5f(x)=1.5? ולמשוואה f(x)=−1f(x)=-1?

Voir la réponse et le corrigé

f(x)=1.5f(x)=1.5: שני פתרונות, אחד בעלייה (x<1x<1) ואחד בירידה (x>1x>1), כי מימין הגרף יורד רק עד 11. f(x)=−1f(x)=-1: אין פתרון. −1-1 הוא האסימפטוטה השמאלית, והגרף רק מתקרב אליה.

אסימפטוטה אופקית מתארת מה קורה רחוק. באמצע הגרף מותר לחצות אותה: ראינו ש-ff חוצה את y=1y=1 ב-x=−1x=-1. כדי לבדוק, פותרים f(x)=kf(x)=k, וזו משוואה אי-רציונלית: מבודדים, מעלים בחזקת 2, ובודקים.

שלוש טעויות באסימפטוטות אופקיות.

x2=x\sqrt{x^2}=x
x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|

ב-x=−3x=-3: 9=3\sqrt{9}=3, לא −3-3. שורש אינו שלילי לעולם.

x→−∞: xx2+1→1x \to -\infty: \ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \to 1
x→−∞: xx2+1→−1x \to -\infty: \ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \to -1

משמאל המונה שלילי והמכנה חיובי. שבר כזה לא מתקרב למספר חיובי.

x2x2+1→1\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \to 1
x2x2+1→∞\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \to \infty

«אותה חזקה למעלה ולמטה» מטעה כאן. השורש מוריד את החזקה: x2\sqrt{x^2} הוא בחזקה ראשונה.

Exercices

Exercice 1

מהן האסימפטוטות האופקיות של f(x)=3xx2+4f(x)=\frac{3x}{\sqrt{x^2+4}}?

  1. y=3y=3 כש-x→+∞x \to +\infty, ו-y=−3y=-3 כש-x→−∞x \to -\infty
  2. y=32y=\frac{3}{2} ו-y=−32y=-\frac{3}{2}
  3. y=0y=0 בשני הכיוונים
  4. y=3y=3 בשני הכיוונים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=3y=3 כש-x→+∞x \to +\infty, ו-y=−3y=-3 כש-x→−∞x \to -\infty

Corrigé :

x2+4≈∣x∣\sqrt{x^2+4} \approx |x|

רחוק מ-00

3x∣x∣→3 (x→+∞),→−3 (x→−∞)\frac{3x}{|x|} \to 3 \ (x \to +\infty) ,\quad \to -3 \ (x \to -\infty)

לפי הכיוון

הנכונה: y=3y=3 ו-y=−3y=-3. «y=3y=3 בשני הכיוונים» הוא הכלל של פונקציה רציונלית. כאן x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x| הופך את הסימן משמאל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=4x+1x2+5f(x)=\frac{4x+1}{\sqrt{x^2+5}}. מהי האסימפטוטה האופקית של הגרף כש-x→−∞x \to -\infty? כתבו את ערך ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

x<0: x2+5≈∣x∣=−xx<0: \ \sqrt{x^2+5} \approx |x|=-x

משמאל

4x−x=−4\frac{4x}{-x}=-4

הגבול

y=−4y=-4. מי שכתב 44 לקח את הכיוון הימני. מי שכתב 45\frac{4}{\sqrt{5}} הציב x=1x=1 במקום לחשוב על xx רחוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=4x2+1x−2f(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x-2}. השלימו את האסימפטוטות האופקיות.

כש-x→+∞x \to +\infty: y=y= ____ , כש-x→−∞x \to -\infty: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כש-x→+∞x \to +\infty: y=y= 2 , כש-x→−∞x \to -\infty: y=y= -2

Corrigé :

4x2+1≈4x2=2∣x∣\sqrt{4x^2+1} \approx \sqrt{4x^2}=2|x|

המונה, רחוק מ-00

x→+∞: 2xx=2x \to +\infty: \ \frac{2x}{x}=2

מימין

x→−∞: −2xx=−2x \to -\infty: \ \frac{-2x}{x}=-2

משמאל

4x2=2∣x∣\sqrt{4x^2}=2|x| ולא 4∣x∣4|x|: השורש חל גם על ה-44. והפעם השורש במונה: משמאל המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן −2-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף של f(x)=5x2+9f(x)=\frac{5}{\sqrt{x^2+9}} יש שתי אסימפטוטות אופקיות שונות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x→±∞: x2+9→∞x \to \pm\infty: \ \sqrt{x^2+9} \to \infty

המכנה גדל בלי גבול

5x2+9→0\frac{5}{\sqrt{x^2+9}} \to 0

בשני הכיוונים

הטענה לא נכונה. יש אסימפטוטה אחת, y=0y=0. אסימפטוטות שונות מופיעות רק כשיש xx במונה מול x2\sqrt{x^2} במכנה, והסימן של xx נשאר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. פתרו את המשוואה f(x)=0.6f(x)=0.6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

x=0.6x2+1x=0.6\sqrt{x^2+1}

On multiplie par le dénominateur (מכנה)

x2=0.36x2+0.36 ⇒ 0.64x2=0.36\begin{aligned}x^2 &= 0.36x^2+0.36 \ \Rightarrow \ 0.64x^2 \\ &= 0.36\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=0.75 או x=−0.75\begin{aligned}x &= 0.75 \ \text{או} \ x \\ &= -0.75\end{aligned}

שני מועמדים

x=−0.75: f<0≠0.6x=-0.75: \ f<0 \neq 0.6

נפסל: אגף שמאל xx חייב להיות חיובי

x=0.75x=0.75 בלבד. ההעלאה בחזקת 2 הוסיפה את −0.75-0.75: שם f(−0.75)=−0.6f(-0.75)=-0.6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לאיזו פונקציה יש אסימפטוטה y=2y=2 כש-x→+∞x \to +\infty ו-y=−2y=-2 כש-x→−∞x \to -\infty?

  1. 4x2+1\sqrt{4x^2+1}
  2. 2x+1x+3\frac{2x+1}{x+3}
  3. 2xx2+1\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}
  4. 2x2x2+1\frac{2x^2}{x^2+1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2xx2+1\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}

Corrigé :

2xx2+1≈2x∣x∣\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}} \approx \frac{2x}{|x|}

הסימן מתהפך משמאל

2x2x2+1→2,2x+1x+3→2\frac{2x^2}{x^2+1} \to 2 ,\quad \frac{2x+1}{x+3} \to 2

רציונליות: אותו ישר בשני הכיוונים

4x2+1→∞\sqrt{4x^2+1} \to \infty

אין אסימפטוטה אופקית

הנכונה: 2xx2+1\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}. שתי הרציונליות נותנות y=2y=2 בשני הכיוונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מיינו את הפונקציות לפי האסימפטוטות האופקיות שלהן.

  • שתי אסימפטוטות שונות
  • אותה אסימפטוטה בשני הכיוונים
  • x2+1x\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}
  • 1x2+1\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}
  • 3xx+1\dfrac{3x}{x+1}
  • x−1x2+1\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}
  • xx2+2\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}
  • xx2+1\dfrac{x}{x^2+1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : xx2+2\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}} — שתי אסימפטוטות שונות · x−1x2+1\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+1}} — שתי אסימפטוטות שונות · x2+1x\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x} — שתי אסימפטוטות שונות · 1x2+1\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} — אותה אסימפטוטה בשני הכיוונים · xx2+1\dfrac{x}{x^2+1} — אותה אסימפטוטה בשני הכיוונים · 3xx+1\dfrac{3x}{x+1} — אותה אסימפטוטה בשני הכיוונים

Corrigé :

x−1x2+1→±1\frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}} \to \pm 1

xx במונה מול ∣x∣|x|

x2+1x≈∣x∣x=±1\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \approx \frac{|x|}{x}=\pm 1

גם כשהשורש במונה

xx2+1→0,3xx+1→3\frac{x}{x^2+1} \to 0 ,\quad \frac{3x}{x+1} \to 3

בלי שורש: ישר אחד

החוק: ∣x∣|x| מול xx נותן שני ישרים. בלי שורש, או כשהשבר כולו שואף ל-00, יש ישר אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=ax+1x2+3f(x)=\frac{ax+1}{\sqrt{x^2+3}}, ו-aa פרמטר. האסימפטוטה האופקית של הגרף כש-x→−∞x \to -\infty היא y=−2y=-2. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x→−∞: ax−x=−ax \to -\infty: \ \frac{ax}{-x}=-a

משמאל ∣x∣=−x|x|=-x

−a=−2 ⇒ a=2\begin{aligned}-a &= -2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

משווים

x→+∞: y=2x \to +\infty: \ y=2

בדיקה: מימין האסימפטוטה y=2y=2

a=2a=2. מי שכתב a=−2a=-2 השתמש ב-x2=x\sqrt{x^2}=x גם משמאל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x+9x2+27f(x)=\frac{x+9}{\sqrt{x^2+27}}. מצאו את נקודת המקסימום, ואת הנקודה שבה הגרף חוצה את האסימפטוטה y=1y=1.

מקסימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; הגרף חוצה את y=1y=1 ב-x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: x=x= 3 , y=y= 2 ; הגרף חוצה את y=1y=1 ב-x=x= -3

Corrigé :

f′(x)=(x2+27)−x(x+9)(x2+27)x2+27=27−9x(x2+27)x2+27\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+27)-x(x+9)}{(x^2+27)\sqrt{x^2+27}} \\ &= \frac{27-9x}{(x^2+27)\sqrt{x^2+27}}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

x=3: +→−f(3)=126=2\begin{aligned}x &= 3: \ + \to - \\ \quad f(3) &= \frac{12}{6} \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום

x+9=x2+27 ⇒ 18x+81=27 ⇒ x=−3\begin{aligned}x+9 &= \sqrt{x^2+27} \ \Rightarrow \ 18x+81 \\ &= 27 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3\end{aligned}

f(x)=1f(x)=1

x=−3: 636=1 ✓\begin{aligned}x &= -3: \ \frac{6}{\sqrt{36}} \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

(3, 2)(3,\,2) ו-x=−3x=-3. אסימפטוטה אופקית איננה «קיר»: באמצע הגרף מותר לחצות אותה. מה שלא קורה הוא רק ההתקרבות רחוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהו תחום הערכים (הטווח) של f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}?

  1. −1≤y≤1-1 \leq y \leq 1
  2. כל yy
  3. −1<y<1-1<y<1
  4. y>0y>0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −1<y<1-1<y<1

Corrigé :

∣x∣<x2+1|x|<\sqrt{x^2+1}

המכנה גדול בערכו המוחלט מהמונה

−1<f(x)<1-1<f(x)<1

לכן

f′(x)=1(x2+1)x2+1>0f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}>0

ff עולה, ומתקרבת ל-±1\pm 1 רחוק

הנכונה: −1<y<1-1<y<1. הערכים ±1\pm 1 הם אסימפטוטות: הגרף מתקרב אליהם ולא מגיע. מי שבחר ≤\leq הכניס אותם.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe