Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: סדרה חשבונית וסכומה, סדרה הנדסית וסכומה, שלושה איברים עוקבים, והסכום האינסופי. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

בסדרה הנדסית a1=5a_1 = 5 ו-q=3q = 3. מהו a4a_4?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 135

Corrigé :

a4=5⋅33a_4 = 5 \cdot 3^{3}

שלושה צעדים של כפל

=5⋅27=135= 5 \cdot 27 = 135

החזקה היא n−1n-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בסדרה הנדסית אינסופית a1=10a_1 = 10 ו-q=0.2q = 0.2. מהו סכום הסדרה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12.5

Corrigé :

∣q∣=0.2<1|q| = 0.2 < 1

הסכום קיים

S=101−0.2=100.8\begin{aligned}S &= \frac{10}{1 - 0.2} \\ &= \frac{10}{0.8}\end{aligned}
=12.5= 12.5

קודם בודקים את התנאי, אחר כך מציבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לאיזו מהסדרות ההנדסיות האינסופיות יש סכום סופי?

  1. 6−3+1.5−…6 - 3 + 1.5 - \ldots
  2. 3+3+3+…3 + 3 + 3 + \ldots
  3. 1+1.5+2.25+…1 + 1.5 + 2.25 + \ldots
  4. 2−4+8−…2 - 4 + 8 - \ldots
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 6−3+1.5−…6 - 3 + 1.5 - \ldots

Corrigé :

q=−36=−0.5  ∣q∣<1\begin{aligned}q &= \frac{-3}{6} \\ &= -0.5 \ \\ \ |q| < 1\end{aligned}

מתכנסת

S=61−(−0.5)=4\begin{aligned}S &= \frac{6}{1 - (-0.5)} \\ &= 4\end{aligned}

מנה שלילית לא פוסלת — התנאי הוא על ∣q∣|q|. בשאר הסדרות q=1.5 , q=1q = 1.5 \ , \ q = 1 ו-q=−2q = -2.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

בסדרה חשבונית a1=−12a_1 = -12 ו-d=4d = 4. כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי שהסכום יהיה 00?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

an=−12+4(n−1)=4n−16\begin{aligned}a_n &= -12 + 4(n-1) \\ &= 4n - 16\end{aligned}
Sn=(−12+4n−16)⋅n2=0\begin{aligned}S_n &= \frac{(-12 + 4n - 16) \cdot n}{2} \\ &= 0\end{aligned}
4n−28=0⇒n=7\begin{aligned}4n - 28 &= 0 \Rightarrow n \\ &= 7\end{aligned}

n=0n = 0 נפסל

הסדרה −12,−8,…,8,12-12, -8, \ldots, 8, 12 — הראשון והאחרון מבטלים זה את זה, וכך כל זוג.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בסדרה הנדסית a1=4a_1 = 4 ו-q=2q = 2. מהו S7S_7?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 508

Corrigé :

S7=4⋅27−12−1S_7 = 4 \cdot \frac{2^7 - 1}{2 - 1}
=4⋅127=508= 4 \cdot 127 = 508

בסכום ההנדסי החזקה היא nn, לא n−1n-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הסדרה an=3⋅2na_n = 3 \cdot 2^{n} היא סדרה הנדסית שבה a1=3a_1 = 3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

a1=3⋅21=6\begin{aligned}a_1 &= 3 \cdot 2^1 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים n=1n = 1

an+1an=2\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2

היא אכן הנדסית

הנדסית עם q=2q = 2, אבל a1=6a_1 = 6. החזקה כאן היא nn, לא n−1n-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בחודש הראשון לפתיחתה נרשמו לספרייה חדשה בירושלים 120 קוראים, ובכל חודש נרשמו 15 קוראים יותר מבחודש הקודם. כמה קוראים נרשמו בשנה הראשונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2430

Corrigé :

a1=120  d=15  n=12\begin{aligned}a_1 &= 120 \ \\ \ d &= 15 \ \\ \ n &= 12\end{aligned}

סדרה חשבונית

a12=120+11⋅15=285\begin{aligned}a_{12} &= 120 + 11 \cdot 15 \\ &= 285\end{aligned}
S12=(120+285)⋅122=2430\begin{aligned}S_{12} &= \frac{(120 + 285) \cdot 12}{2} \\ &= 2430\end{aligned}

2430 קוראים בשנה הראשונה.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

האיברים x , x+4 , 9xx \ , \ x+4 \ , \ 9x הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ו-x>0x > 0. מהו xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

(x+4)2=x⋅9x(x+4)^2 = x \cdot 9x

האמצעי בריבוע שווה למכפלת השכנים

x+4=3xx + 4 = 3x

שני האגפים חיוביים

x=2x = 2

האיברים 2,6,182, 6, 18 — המנה 33. בלי התנאי x>0x > 0 גם x=−1x = -1 מתאים: −1,3,−9-1, 3, -9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כדור נופל מגובה 8 מטרים. בכל פעם שהוא פוגע ברצפה הוא קופץ חזרה לגובה של 34\frac{3}{4} מהגובה הקודם, וממשיך כך בלי סוף. מהי הדרך הכוללת (במטרים) שהכדור עובר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 56

Corrigé :

88

הנפילה הראשונה

6+4.5+…=61−0.75=24\begin{aligned}6 + 4.5 + \ldots &= \frac{6}{1 - 0.75} \\ &= 24\end{aligned}

גובהי הקפיצות

8+2⋅24=568 + 2 \cdot 24 = 56

כל קפיצה — עלייה וירידה

הנפילה הראשונה נספרת פעם אחת, וכל קפיצה פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית הוא 2424, והאיבר השני שלה הוא a2=6a_2 = 6. מהי המנה qq?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

a1=6qa_1 = \frac{6}{q}

מהאיבר השני

6q(1−q)=24\frac{6}{q(1-q)} = 24

מציבים בנוסחת הסכום

4q2−4q+1=04q^2 - 4q + 1 = 0
(2q−1)2=0⇒q=0.5\begin{aligned}(2q - 1)^2 &= 0 \Rightarrow q \\ &= 0.5\end{aligned}

a1=12a_1 = 12, והסדרה 12+6+3+…=2412 + 6 + 3 + \ldots = 24.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe