Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: גזירה, קיצון בקטע, זוגיות, מספר פתרונות, שטח ותנועה הרמונית. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡(2x+1)f(x)=\sin(2x+1)?

  1. 2cos⁡2x2\cos 2x
  2. 2cos⁡(2x+1)2\cos(2x+1)
  3. −2cos⁡(2x+1)-2\cos(2x+1)
  4. cos⁡(2x+1)\cos(2x+1)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 2cos⁡(2x+1)2\cos(2x+1)

Corrigé :

(sin⁡u)′=cos⁡u⋅u′u′=2\begin{aligned}(\sin u)' &= \cos u\cdot u' \\ \quad u' &= 2\end{aligned}

שרשרת

הנכונה: 2cos⁡(2x+1)2\cos(2x+1). הארגומנט נשאר כמו שהוא, 2x+12x+1, ורק הנגזרת הפנימית 22 יוצאת החוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=3cos⁡xf(x)=3\cos x. חשבו את f′(π2)f'\left(\frac{\pi}{2}\right).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f′(x)=−3sin⁡xf'(x)=-3\sin x
f′(π2)=−3f'\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-3

−3-3. מי שעונה 00 חישב את f(π2)f\left(\frac{\pi}{2}\right) ולא את f′f'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו: ∫0π/2cos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

[sin⁡x]0π/2=1−0=1\begin{aligned}[\sin x]_0^{\pi/2} &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

11. הפונקציה הקדומה של cos⁡x\cos x היא sin⁡x\sin x, בלי מינוס.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

מהו הערך הגדול ביותר של f(x)=3sin⁡x+cos⁡xf(x)=\sqrt3\sin x+\cos x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=3cos⁡x−sin⁡x=0⇒tan⁡x=3\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt3\cos x-\sin x \\ &= 0 \Rightarrow \tan x \\ &= \sqrt3\end{aligned}
x=π3: f=32+12=2\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{3}:\ f \\ &= \tfrac32+\tfrac12 \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום

22. לא 3+1\sqrt3+1: שני המחוברים אינם מקסימליים באותו xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x−2cos⁡xf(x)=x-2\cos x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. נקודות הקיצון הפנימיות הן ב-x=kπx=k\pi. מלאו את kk (אפשר לכתוב שבר).

מקסימום: x=x= ____ π\pi ; מינימום: x=x= ____ π\pi

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: x=x= 1.1666666666666667 π\pi ; מינימום: x=x= 1.8333333333333333 π\pi

Corrigé :

f′(x)=1+2sin⁡x=0⇒sin⁡x=−12\begin{aligned}f'(x) &= 1+2\sin x \\ &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= -\tfrac12\end{aligned}
x=7π6 11π6\begin{aligned}x &= \tfrac{7\pi}{6} \\ \ \tfrac{11\pi}{6}\end{aligned}

ברביע השלישי והרביעי

f′(3π2)=1−2<0f'\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=1-2<0

בין שתי הנקודות הפונקציה יורדת

מקסימום ב-7π6\frac{7\pi}{6} ומינימום ב-11π6\frac{11\pi}{6}. π6\frac{\pi}{6} ו-5π6\frac{5\pi}{6} פותרים sin⁡x=+12\sin x=+\frac12: הסימן של (cos⁡x)′(\cos x)' שוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=cos⁡xxf(x)=\dfrac{\cos x}{x} אי-זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=cos⁡(−x)−x=−cos⁡xx=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{\cos(-x)}{-x} \\ &= -\frac{\cos x}{x} \\ &= -f(x)\end{aligned}

הטענה נכונה. זוגית חלקי אי-זוגית היא אי-זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡2x=12\sin 2x=\frac12 בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

0≤2x≤4π0\le 2x\le 4\pi

שני סיבובים

2x=π65π613π617π6\begin{aligned}2x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \tfrac{5\pi}{6} \\ \tfrac{13\pi}{6} \\ \tfrac{17\pi}{6}\end{aligned}

שני פתרונות בכל סיבוב

ארבעה פתרונות. מי שעונה 22 פתר רק בסיבוב הראשון של 2x2x.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

מהו הערך הקטן ביותר של f(x)=cos⁡2x+4sin⁡xf(x)=\cos 2x+4\sin x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

f′(x)=−2sin⁡2x+4cos⁡x=4cos⁡x(1−sin⁡x)\begin{aligned}f'(x) &= -2\sin 2x+4\cos x \\ &= 4\cos x(1-\sin x)\end{aligned}

הנגזרת, מפורקת

x=π2 3π2\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

f(π2)=3f(3π2)=−1−4=−5f(0)=f(2π)=1\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= 3 \\ \quad f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= -1-4 \\ &= -5 \\ \quad f(0) &= f(2\pi) \\ &= 1\end{aligned}

משווים

−5-5, ב-x=3π2x=\frac{3\pi}{2}. דרך נוספת: f=1−2s2+4sf=1-2s^2+4s עם s=sin⁡xs=\sin x, ו-−1≤s≤1-1\le s\le 1. הערך הקטן ביותר מתקבל בקצה s=−1s=-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של y=sin⁡xy=\sin x ושל y=cos⁡xy=\cos x בקטע π4≤x≤5π4\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{5\pi}{4}. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.8284

Corrigé :

sin⁡x≥cos⁡x ב- π4≤x≤5π4\sin x\ge\cos x \ \text{ב-}\ \tfrac{\pi}{4}\le x\le\tfrac{5\pi}{4}

העליון הוא sin⁡x\sin x

∫π/45π/4(sin⁡x−cos⁡x) dx=[−cos⁡x−sin⁡x]π/45π/4\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx=[-\cos x-\sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4}
=2−(−2)=22≈2.83=\sqrt2-(-\sqrt2)=2\sqrt2\approx 2.83

22≈2.832\sqrt2\approx 2.83. הגרפים נחתכים בשני קצות הקטע, ולכן אין צורך לפצל. מי שמחסר cos⁡x−sin⁡x\cos x-\sin x מקבל −2.83-2.83, ושטח אינו שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גוף נע לפי x(t)=5cos⁡(2t)x(t)=5\cos(2t) ס״מ, tt בשניות. מהי התאוצה הגדולה ביותר שלו, בערך מוחלט (בס״מ לשנייה בריבוע)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

v(t)=−10sin⁡2ta(t)=−20cos⁡2t\begin{aligned}v(t) &= -10\sin 2t \\ \quad a(t) &= -20\cos 2t\end{aligned}

גוזרים פעמיים

∣a∣≤20|a|\le 20

ב-cos⁡2t=±1\cos 2t=\pm1, כלומר בקצוות x=±5x=\pm5

20=Aω220=A\omega^2. התאוצה הגדולה ביותר היא בקצוות התנועה, שם המהירות 00. מי שעונה 1010 עצר בנגזרת הראשונה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe