Série 3 — vers le bagrout · Étude des fonctions trigonométriques · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח שאלת הפונקציה הטריגונומטרית בבגרות, מחולקות לסעיפים. כל תרגיל הוא סעיף אחד, עם אותה פתיחה. חקירה עם נקודה שבה $f'=0$ בלי קיצון ומספר פתרונות; פרמטר, זוגיות וערכים קיצוניים; ותנועה הרמונית עם אינטגרל של המהירות.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. אחרי שמצאתם פרמטר, הציבו אותו ובדקו אותו בנתון לפני שממשיכים. ובכל קטע סגור, הקצוות נכנסים להשוואה.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ , בצורה $x=k\pi$ .

$x=$ ____ $\pi$ , $x=$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x=$ 0.5 $\pi$ , $x=$ 1.5 $\pi$ (מהקטן לגדול)

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= 2\sin x\cos x+2\cos x \\ &= 2\cos x(\sin x+1)\end{aligned}

מפרקים לגורמים

\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}\sin x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

אותה נקודה שוב

שתי נקודות: $\frac{\pi}{2}$ ו- $\frac{3\pi}{2}$ . $\frac{3\pi}{2}$ מופיעה פעמיים, מכל גורם, אבל היא נקודה אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון הפנימיות של $f$ וקבעו את סוגן.

מינימום $\left(\frac{\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מקסימום $\left(\frac{5\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$
מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מינימום $\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , ומקסימום $\left(\frac{3\pi}{2},0\right)$
מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ ומינימום $\left(\frac{3\pi}{2},0\right)$
מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מינימום $\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , ואין קיצון ב- $\frac{3\pi}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מינימום $\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , ואין קיצון ב- $\frac{3\pi}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos 2x-2\sin x \\ &= -2(2\sin x-1)(\sin x+1)\end{aligned}

$\cos 2x=1-2\sin^2x$

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{5\pi}{6} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

\sin x+1\ge 0

הגורם הזה אינו שלילי, ולכן הסימן של $f'$ נקבע לפי $1-2\sin x$

+\ |\ -\ |\ +\ |\ +

ב- $\frac{3\pi}{2}$ אין החלפת סימן

הנכונה: מקסימום ב- $\frac{\pi}{6}$ , מינימום ב- $\frac{5\pi}{6}$ , ואין קיצון ב- $\frac{3\pi}{2}$ . $f'\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$ , אבל הפונקציה עולה לפני הנקודה ואחריה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ג. הוכיחו או הפריכו: ציר ה- $x$ משיק לגרף של $f$ בנקודה שבה $x=\frac{3\pi}{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= \sin 3\pi+2\cos\tfrac{3\pi}{2} \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה על ציר ה- $x$

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= 2\cos 3\pi-2\sin\tfrac{3\pi}{2} \\ &= -2+2 \\ &= 0\end{aligned}

שיפוע $0$

y=0

המשיק הוא ציר ה- $x$

הטענה נכונה. זו נקודה שבה המשיק אופקי והגרף חוצה אותו: אין שם קיצון, אבל ציר ה- $x$ עדיין משיק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

y = f(x)

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ד. היעזרו בסקיצה שבשרטוט. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ פתרון אחד בלבד בקטע?

$2<k<\frac{3\sqrt3}{2}$
$k=\frac{3\sqrt3}{2}$ בלבד
$k=\frac{3\sqrt3}{2}$ או $k=-\frac{3\sqrt3}{2}$
$k=0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $k=\frac{3\sqrt3}{2}$ או $k=-\frac{3\sqrt3}{2}$

Corrigé :

2\nearrow\tfrac{3\sqrt3}{2}\searrow-\tfrac{3\sqrt3}{2}\nearrow 2

ערכי הפונקציה לאורך הקטע

k=\pm\tfrac{3\sqrt3}{2}

הישר נוגע רק בקיצון

\begin{aligned}k &= 0:\ x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

שני פתרונות

הנכונה: $k=\pm\frac{3\sqrt3}{2}$ . ב- $k=0$ יש שני פתרונות, כי הגרף ממשיך לעלות אחרי $\frac{3\pi}{2}$ . ב- $2<k<\frac{3\sqrt3}{2}$ יש שניים: אחד בעלייה הראשונה ואחד בירידה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x-\cos^2 x$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{3}$ . א. מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= -a\sin x+2\cos x\sin x \\ &= \sin x(2\cos x-a)\end{aligned}

שרשרת על $\cos^2 x$

\begin{aligned}\sin\tfrac{\pi}{3}\neq 0 \Rightarrow 2\cdot\tfrac12-a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

$a=1$ . $(\cos^2 x)'=-2\cos x\sin x$ , ולכן מינוס כפול מינוס נותן $+2\cos x\sin x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x-\cos^2 x$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{3}$ . ב. הציבו $a=1$ . איזה נימוק מוכיח ש- $f$ זוגית?

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ ו- $f'\left(-\frac{\pi}{3}\right)=0$
$f(\pi)=f(-\pi)=-2$
$f(-x)=\cos(-x)-\cos^2(-x)=\cos x-\cos^2 x=f(x)$ לכל $x$
$f(0)=0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $f(-x)=\cos(-x)-\cos^2(-x)=\cos x-\cos^2 x=f(x)$ לכל $x$

Corrigé :

\cos(-x)=\cos x

הקוסינוס זוגי

f(-x)=f(x)

לכל $x$ בקטע הסימטרי

הנכונה: ההצבה של $-x$ . ערכים בשתי נקודות אינם הוכחה, גם כשהם שווים: זוגיות היא טענה על כל $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x-\cos^2 x$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{3}$ . ג. הציבו $a=1$ . מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f$ בקטע.

הגדול ביותר: ____ ; הקטן ביותר: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הגדול ביותר: 0.25 ; הקטן ביותר: -2

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \sin x(2\cos x-1) \\ &= 0\end{aligned}

$\sin x=0$ או $\cos x=\frac12$

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \pm\tfrac{\pi}{3} \\ \ \pm\pi\end{aligned}

נקודות חשודות וקצוות

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f\left(\pm\tfrac{\pi}{3}\right) &= \tfrac12-\tfrac14 \\ &= \tfrac14 \\ \quad f(\pm\pi) &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

משווים

הגדול ביותר $\frac14$ והקטן ביותר $-2$ , בקצוות. ב- $x=0$ יש מינימום מקומי בגובה $0$ : הוא אינו הערך הקטן ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

גוף נע על ישר, ומיקומו (במטרים) הוא $x(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ , כאשר $t$ בשניות ו- $0\le t\le 4$ . א. מהו זמן המחזור של התנועה (בשניות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{\omega} \\ &= \frac{2\pi}{\pi/2} \\ &= 4\end{aligned}

$\omega=\frac{\pi}{2}$

$T=4$ שניות: בקטע $0\le t\le 4$ יש מחזור שלם אחד. מי שעונה $\frac{\pi}{2}$ כתב את $\omega$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

גוף נע על ישר, ומיקומו (במטרים) הוא $x(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ , כאשר $t$ בשניות ו- $0\le t\le 4$ . ב. מהי המהירות הגדולה ביותר של הגוף (במטר לשנייה)? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.2832

Corrigé :

\begin{aligned}v(t) &= 4\cdot\tfrac{\pi}{2}\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right) \\ &= 2\pi\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\end{aligned}

גוזרים

v_{\max}=2\pi\approx 6.28

ב- $t=0$ וב- $t=4$ , כשהגוף ב- $x=0$

$2\pi\approx 6.28$ . מי שעונה $4$ נתן את האמפליטודה, ומי שעונה $\frac{\pi}{2}$ שכח אותה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גוף נע על ישר, ומיקומו (במטרים) הוא $x(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ , כאשר $t$ בשניות ו- $0\le t\le 4$ . ג. חשבו את $\int_0^1 v(t)\,dt$ , והסבירו מה המספר מתאר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\int_0^1 v(t)\,dt=x(1)-x(0)

האינטגרל של המהירות הוא שינוי המיקום

\begin{aligned}x(1) &= 4\sin\tfrac{\pi}{2} \\ &= 4 \\ \quad x(0) &= 0\end{aligned}

4-0=4

$4$ מטר: הגוף עבר מ- $x=0$ לקצה $x=4$ . כאן $v\ge 0$ כל הזמן, ולכן שינוי המיקום שווה לדרך. ב- $\int_0^2$ היה יוצא $0$ , אף שהגוף עבר $8$ מטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev