Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בדרגה בינונית: גזירת מכפלה ושורש, משוואת משיק, קיצון וערך מרבי, תחומי עלייה וירידה, פרמטר, שטח, זוגיות ותנועה. רוב השאלות דורשות שניים או שלושה צעדים.

בכל שאלת קיצון: פתרו את f′(x)=0f'(x)=0 בקטע כולו, וקבעו את סוג הקיצון לפי הסימן של f′f'. ערך הפונקציה בנקודה לבדו אינו אומר אם היא מקסימום.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=sin⁡2xcos⁡xf(x)=\sin^2 x\cos x. חשבו את f′(π4)f'\left(\frac{\pi}{4}\right). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3536

Corrigé :

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡x+sin⁡2x⋅(−sin⁡x)f'(x)=2\sin x\cos x\cdot\cos x+\sin^2 x\cdot(-\sin x)

כלל המכפלה, ובגורם הראשון שרשרת

=2sin⁡xcos⁡2x−sin⁡3x=2\sin x\cos^2 x-\sin^3 x
f′(π4)=2⋅22⋅12−24=24≈0.35\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{4}\right) &= 2\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac12-\tfrac{\sqrt2}{4} \\ &= \tfrac{\sqrt2}{4}\approx 0.35\end{aligned}

(22)3=24\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3=\frac{\sqrt2}{4}

24≈0.35\frac{\sqrt2}{4}\approx 0.35. מי שגוזר את sin⁡2x\sin^2 x ל-2sin⁡x2\sin x בלי cos⁡x\cos x מאבד את השרשרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x בנקודה שבה x=π2x=\frac{\pi}{2}. עגלו את המספר החופשי לשתי ספרות אחרי הנקודה.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= -2 x+x+ 3.1416

Corrigé :

f(π2)=sin⁡π=0\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= \sin\pi \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה (π2,0)\left(\frac{\pi}{2},0\right)

f′(x)=2cos⁡2x⇒f′(π2)=2cos⁡π=−2\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos 2x \Rightarrow f'\left(\tfrac{\pi}{2}\right) \\ &= 2\cos\pi \\ &= -2\end{aligned}

השיפוע

y=−2(x−π2)=−2x+π\begin{aligned}y &= -2\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \\ &= -2x+\pi\end{aligned}

y=−2x+πy=-2x+\pi, והמספר החופשי π≈3.14\pi\approx 3.14. מי שכותב y=−2xy=-2x שכח להכפיל את −2-2 ב-−π2-\frac{\pi}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=sin⁡x−cos⁡xf(x)=\sin x-\cos x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. היכן נקודות הקיצון הפנימיות?

  1. מקסימום ב-3π4\frac{3\pi}{4}, מינימום ב-7π4\frac{7\pi}{4}
  2. מקסימום ב-π4\frac{\pi}{4}, מינימום ב-5π4\frac{5\pi}{4}
  3. מקסימום ב-π2\frac{\pi}{2}, מינימום ב-3π2\frac{3\pi}{2}
  4. מינימום ב-3π4\frac{3\pi}{4}, מקסימום ב-7π4\frac{7\pi}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מקסימום ב-3π4\frac{3\pi}{4}, מינימום ב-7π4\frac{7\pi}{4}

Corrigé :

f′(x)=cos⁡x+sin⁡x=0⇒tan⁡x=−1\begin{aligned}f'(x) &= \cos x+\sin x \\ &= 0 \Rightarrow \tan x \\ &= -1\end{aligned}

מחלקים ב-cos⁡x≠0\cos x\neq 0

x=3π4 7π4\begin{aligned}x &= \tfrac{3\pi}{4} \\ \ \tfrac{7\pi}{4}\end{aligned}

הטנגנס שלילי ברביע השני והרביעי

f(3π4)=2f(7π4)=−2\begin{aligned}f\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) &= \sqrt2 \\ \quad f\left(\tfrac{7\pi}{4}\right) &= -\sqrt2\end{aligned}

סוג הקיצון

הנכונה: מקסימום ב-3π4\frac{3\pi}{4}, מינימום ב-7π4\frac{7\pi}{4}. π4\frac{\pi}{4} ו-5π4\frac{5\pi}{4} פותרים tan⁡x=+1\tan x=+1: מי שגזר (cos⁡x)′=sin⁡x(\cos x)'=\sin x מגיע לשם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו הערך הגדול ביותר של f(x)=sin⁡x−cos⁡xf(x)=\sin x-\cos x? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.4142

Corrigé :

x=3π4x=\tfrac{3\pi}{4}

נקודת המקסימום

f=22−(−22)=2≈1.41\begin{aligned}f &= \tfrac{\sqrt2}{2}-\left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right) \\ &= \sqrt2\approx 1.41\end{aligned}

2≈1.41\sqrt2\approx 1.41. זה יותר מ-11: כל מחובר לבדו מגיע ל-11, אבל לא באותו xx, והסכום מגיע רק ל-2\sqrt2 ולא ל-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=2+cos⁡xf(x)=\sqrt{2+\cos x}. חשבו את f′(π2)f'\left(\frac{\pi}{2}\right). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.3536

Corrigé :

f′(x)=−sin⁡x22+cos⁡xf'(x)=\frac{-\sin x}{2\sqrt{2+\cos x}}

שורש של פונקציה

f′(π2)=−122≈−0.35f'\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\frac{-1}{2\sqrt2}\approx-0.35

−122≈−0.35-\frac{1}{2\sqrt2}\approx-0.35. הסימן השלילי בא מ-(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x. מי שמאבד אותו עונה 0.350.35.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x+2cos⁡xf(x)=x+2\cos x. מיינו את התחומים: עולה או יורדת?

  • עולה
  • יורדת
  • π3<x<2π3\frac{\pi}{3}<x<\frac{2\pi}{3}
  • π6<x<5π6\frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6}
  • 5π6<x<2π\frac{5\pi}{6}<x<2\pi
  • 0<x<π60<x<\frac{\pi}{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0<x<π60<x<\frac{\pi}{6} — עולה · π6<x<5π6\frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6} — יורדת · π3<x<2π3\frac{\pi}{3}<x<\frac{2\pi}{3} — יורדת · 5π6<x<2π\frac{5\pi}{6}<x<2\pi — עולה

Corrigé :

f′(x)=1−2sin⁡xf'(x)=1-2\sin x

הנגזרת

f′<0  ⟺  sin⁡x>12  ⟺  π6<x<5π6f'<0 \iff \sin x>\tfrac12 \iff \tfrac{\pi}{6}<x<\tfrac{5\pi}{6}

יורדת

יורדת רק ב-π6<x<5π6\frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6}, וגם בכל תת-תחום שלו. f′=1−2sin⁡xf'=1-2\sin x: המחובר 11 מזיז את הגבול מ-00 ו-π\pi ל-π6\frac{\pi}{6} ו-5π6\frac{5\pi}{6}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לפונקציה f(x)=asin⁡x+cos⁡xf(x)=a\sin x+\cos x יש נקודת קיצון ב-x=π3x=\frac{\pi}{3}. מצאו את aa. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.7321

Corrigé :

f′(x)=acos⁡x−sin⁡xf'(x)=a\cos x-\sin x

הנגזרת

a2−32=0⇒a=3≈1.73\begin{aligned}\tfrac{a}{2}-\tfrac{\sqrt3}{2} &= 0 \Rightarrow a \\ &= \sqrt3\approx 1.73\end{aligned}

מציבים x=π3x=\frac{\pi}{3}

a=3≈1.73a=\sqrt3\approx 1.73. הנתון «קיצון» נותן משוואה על f′f'. מי שמשווה את f(π3)f\left(\frac{\pi}{3}\right) ל-00 פותר שאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=cos⁡xy=\cos x וציר ה-xx בקטע 0≤x≤π0\le x\le\pi.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

∫0π/2cos⁡x dx=1\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1

מעל הציר

∫π/2πcos⁡x dx=−1\int_{\pi/2}^{\pi}\cos x\,dx=-1

מתחת לציר

S=1+1=2\begin{aligned}S &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

השטח 22. ∫0πcos⁡x dx=0\int_0^{\pi}\cos x\,dx=0, אבל זה אינו השטח: חייבים לפצל ב-π2\frac{\pi}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הפונקציה f(x)=sin⁡xx2+1+xf(x)=\dfrac{\sin x}{x^2+1}+x היא:

  1. זוגית
  2. גם זוגית וגם אי-זוגית
  3. לא זוגית ולא אי-זוגית
  4. אי-זוגית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D אי-זוגית

Corrigé :

sin⁡(−x)(−x)2+1=−sin⁡xx2+1\frac{\sin(-x)}{(-x)^2+1}=-\frac{\sin x}{x^2+1}

המחובר הראשון

f(−x)=−sin⁡xx2+1−x=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= -\frac{\sin x}{x^2+1}-x \\ &= -f(x)\end{aligned}

הנכונה: אי-זוגית. x2+1x^2+1 זוגי ו-sin⁡x\sin x אי-זוגי, והמנה אי-זוגית. סכום של שתי פונקציות אי-זוגיות הוא אי-זוגי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גוף נע לפי x(t)=2cos⁡(πt)x(t)=2\cos(\pi t) מטר, tt בשניות. השלימו לגבי הרגע t=13t=\frac13. עגלו את המהירות לשתי ספרות אחרי הנקודה.

מיקום: ____ מטר ; מהירות: ____ מטר לשנייה

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מיקום: 1 מטר ; מהירות: -5.4414 מטר לשנייה

Corrigé :

x(13)=2cos⁡π3=1\begin{aligned}x\left(\tfrac13\right) &= 2\cos\tfrac{\pi}{3} \\ &= 1\end{aligned}

מיקום

v(t)=−2πsin⁡(πt)v(t)=-2\pi\sin(\pi t)

גוזרים

v(13)=−2π⋅32=−π3≈−5.44\begin{aligned}v\left(\tfrac13\right) &= -2\pi\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} \\ &= -\pi\sqrt3\approx-5.44\end{aligned}

x=1x=1 ו-v≈−5.44v\approx-5.44: הגוף נע לכיוון נקודת שיווי המשקל. מי שעונה −2sin⁡π3-2\sin\frac{\pi}{3} שכח את הנגזרת הפנימית π\pi.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe