Série 1 — facile · Étude des fonctions trigonométriques · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: גזירה עם ארגומנט ליניארי, מחזור, זוגיות, אפסים בקטע, אינטגרל מיידי ומהירות מרבית. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים ערך ( $f$ ), שיפוע ( $f'$ ), מקום ( $x$ ) או שטח? ובכל משוואה טריגונומטרית: כמה פתרונות יש בקטע?

Exercices

Exercice 1

מהי הנגזרת של $f(x)=\cos 5x$ ?

$-5\sin 5x$
$-\sin 5x$
$-5\cos 5x$
$5\sin 5x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $-5\sin 5x$

Corrigé :

(\cos u)'=-\sin u\cdot u'

שרשרת

\begin{aligned}u &= 5x \Rightarrow u' \\ &= 5\end{aligned}

הנכונה: $-5\sin 5x$ . שני דברים יוצאים החוצה: המינוס של הקוסינוס והמקדם $5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x)=\sin x+\cos x$ . חשבו את $f'(\pi)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

f'(x)=\cos x-\sin x

גוזרים כל מחובר

\begin{aligned}f'(\pi) &= -1-0 \\ &= -1\end{aligned}

$f'(\pi)=-1$ . מי שכתב $f'(x)=\cos x+\sin x$ שכח את המינוס, אבל כאן $\sin\pi=0$ מסתיר את הטעות. בדקו את הנוסחה, לא רק את המספר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו המחזור של $f(x)=\cos\frac{x}{3}$ ? כתבו אותו בצורה $T=k\pi$ .

$T=$ ____ $\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $T=$ 6 $\pi$

Corrigé :

\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{|a|} \\ \quad a &= \tfrac13\end{aligned}

נוסחת המחזור

\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{1/3} \\ &= 6\pi\end{aligned}

$T=6\pi$ . המקדם $\frac13$ מאט את הגל, ולכן המחזור גדל. מי שכופל במקום לחלק מקבל $\frac{2\pi}{3}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה $f(x)=x\cos x$ אי-זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}f(-x) &= (-x)\cos(-x) \\ &= -x\cos x \\ &= -f(x)\end{aligned}

מציבים $-x$

הטענה נכונה. $x$ אי-זוגית ו- $\cos x$ זוגית, והמכפלה שלהן אי-זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמה פתרונות יש למשוואה $\cos x=0$ בקטע $0\le x\le 3\pi$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x=\tfrac{\pi}{2}+n\pi

כל הפתרונות

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2} \\ \ \tfrac{5\pi}{2}\end{aligned}

אלה שבקטע

שלושה פתרונות. $\frac{7\pi}{2}>3\pi$ , ולכן הוא מחוץ לקטע. כל פתרון נבדק מול הקטע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו $\int\cos 3x\,dx$ ?

$\sin 3x+C$
$3\sin 3x+C$
$\frac13\sin 3x+C$
$-\frac13\sin 3x+C$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac13\sin 3x+C$

Corrigé :

\int\cos(ax)\,dx=\tfrac{1}{a}\sin(ax)+C

אינטגרל מיידי

\begin{aligned}\left(\tfrac13\sin 3x\right)' &= \tfrac13\cdot 3\cos 3x \\ &= \cos 3x\end{aligned}

בדיקה בגזירה

הנכונה: $\frac13\sin 3x+C$ . $3\sin 3x$ היא טעות של גזירה במקום אינטגרל. ואין מינוס: המינוס שייך ל- $\int\sin$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו: $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}[-\cos x]_0^{\pi} &= -\cos\pi+\cos 0 \\ &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

$2$ . הטעות הנפוצה היא $[\cos x]_0^{\pi}=-2$ : שלילי מתחת לגרף שכולו מעל הציר. סימן כזה מעיד על מינוס שנשכח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

גוף נע לפי $x(t)=3\sin(2t)$ ס״מ, $t$ בשניות. מהי המהירות הגדולה ביותר שלו (בס״מ לשנייה)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

v(t)=6\cos 2t

גוזרים

v_{\max}=6

$A\omega=3\cdot 2$

$6$ ס״מ לשנייה. $3$ הוא המרחק הגדול ביותר, לא המהירות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה $f(x)=\tan x$ . חשבו את $f'\left(\frac{\pi}{3}\right)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}

הנוסחה

\begin{aligned}\cos\tfrac{\pi}{3} &= \tfrac12 \Rightarrow f' \\ &= \frac{1}{1/4} \\ &= 4\end{aligned}

$4$ . מי שמציב $\cos\frac{\pi}{3}$ בלי ריבוע מקבל $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה $f(x)=2\sin x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . באיזה $x$ מקבלת $f$ את ערכה הגדול ביותר?

$x=\frac{3\pi}{2}$
$x=\frac{\pi}{2}$
$x=2$
$x=\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x=\frac{\pi}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= 2 \\ \quad f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= -2\end{aligned}

משווים

הנכונה: $x=\frac{\pi}{2}$ . $2$ הוא הערך הגדול ביותר, לא המקום שבו הוא מתקבל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev