Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: משפט הסינוסים עם 2R2R, משפט הקוסינוסים, זהויות בתוך המשולש, צורות מורכבות וגופים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

150°ABCO

במשולש ABCABC נתון BC=7BC = 7 ו-∠BAC=150∘\angle BAC = 150^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

2R=7sin⁡150∘=14\begin{aligned}2R &= \frac{7}{\sin 150^\circ} \\ &= 14\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

R=7R=7

חצי

sin⁡150∘=12\sin 150^\circ=\frac{1}{2}: צלע מול זווית של 150∘150^\circ (או 30∘30^\circ) שווה לרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

αTOP

היוצר של חרוט ישר הוא 1212 ס״מ, והוא יוצר עם הבסיס זווית של 30∘30^\circ. מצאו את גובה החרוט.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

h=lsin⁡30∘=12⋅12=6\begin{aligned}h &= l\sin 30^\circ \\ &= 12\cdot\frac{1}{2} \\ &= 6\end{aligned}

△TOP\triangle TOP ישר זווית ב-OO; הגובה מול הזווית

הגובה מול הזווית: סינוס. 12cos⁡30∘≈10.3912\cos 30^\circ \approx 10.39 הוא הרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לכל זווית α\alpha בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ, למה שווה cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ-\alpha)?

  1. sin⁡α\sin\alpha
  2. −cos⁡α-\cos\alpha
  3. cos⁡α\cos\alpha
  4. −sin⁡α-\sin\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −cos⁡α-\cos\alpha

Corrigé :

cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha

זוויות משלימות

cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\begin{aligned}\cos 120^\circ &= -\cos 60^\circ \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: −cos⁡α-\cos\alpha. זה מה שהופך את הסימן במשפט הקוסינוסים בזווית קהה, ובזוויות הנגדיות של מרובע חסום.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

60°ABC

במשולש ABCABC נתון AB=5AB = 5, AC=8AC = 8 ו-∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.73

Corrigé :

BC2=25+64−40=49 ⇒ BC=7\begin{aligned}BC^2 &= 25+64-40 \\ &= 49 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 7\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

S=12⋅5⋅8sin⁡60∘=103p=10\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\sin 60^\circ \\ &= 10\sqrt{3} \\ \quad p &= 10\end{aligned}

שטח וחצי היקף

r=Sp=3≈1.73\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= \sqrt{3} \approx 1.73\end{aligned}

תשובה

שלושה כלים בשאלה אחת: משפט הקוסינוסים לצלע, נוסחת השטח, ו-r=Spr=\frac{S}{p}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

αABCDOT

בפירמידה ישרה TABCDTABCD הבסיס ריבוע שצלעו 66, והמקצוע הצדדי TA=7TA = 7. מצאו את הזווית שבין TATA לבסיס, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 52.69

Corrigé :

AO=32AO=3\sqrt{2}

חצי אלכסון הבסיס

cos⁡α=327\cos\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{7}

△TOA\triangle TOA ישר זווית ב-OO

α≈52.69∘\alpha \approx 52.69^\circ

תשובה

ההיטל הוא חצי אלכסון, 323\sqrt{2}, לא חצי צלע. עם 33 מקבלים 64.62∘64.62^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

25°50°ABC

במשולש ABCABC נתון ∠B=25∘\angle B = 25^\circ, ∠C=50∘\angle C = 50^\circ ו-AC=4AC = 4. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.25

Corrigé :

ABsin⁡50∘=4sin⁡25∘\frac{AB}{\sin 50^\circ}=\frac{4}{\sin 25^\circ}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

AB=4⋅2sin⁡25∘cos⁡25∘sin⁡25∘=8cos⁡25∘≈7.25\begin{aligned}AB &= \frac{4\cdot 2\sin 25^\circ\cos 25^\circ}{\sin 25^\circ} \\ &= 8\cos 25^\circ \approx 7.25\end{aligned}

50∘=2⋅25∘50^\circ=2\cdot 25^\circ: זווית כפולה

זווית אחת כפולה מהשנייה, ולכן AB=2 ACcos⁡∠BAB=2\,AC\cos\angle B. מחשבון נותן אותו מספר, אבל הזהות חוסכת את החישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

αABCDO

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שרדיוסו RR, ו-∠BAD=α\angle BAD = \alpha. הביעו את האלכסון BDBD.

  1. 2Rsin⁡α22R\sin\frac{\alpha}{2}
  2. Rsin⁡αR\sin\alpha
  3. 2Rsin⁡α2R\sin\alpha
  4. 2Rcos⁡α2R\cos\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2Rsin⁡α2R\sin\alpha

Corrigé :

RABD=RR_{ABD}=R

המשולש ABDABD חסום באותו מעגל, ולכן יורש את RR

BD=2Rsin⁡αBD=2R\sin\alpha

משפט הסינוסים: BDBD מול ∠A\angle A

הנכונה: 2Rsin⁡α2R\sin\alpha. 2Rsin⁡α22R\sin\frac{\alpha}{2} מבלבלת זווית היקפית עם זווית מרכזית.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

αABCD

בטרפז שווה שוקיים ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC) נתון AD=DC=CB=5AD = DC = CB = 5 ו-∠DAB=70∘\angle DAB = 70^\circ. מצאו את האלכסון ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.19

Corrigé :

∠ADC=110∘\angle ADC=110^\circ

זוויות חד-צדדיות

AC2=50−50cos⁡110∘=50(1+cos⁡70∘)=100cos⁡235∘\begin{aligned}AC^2 &= 50-50\cos 110^\circ \\ &= 50(1+\cos 70^\circ) \\ &= 100\cos^2 35^\circ\end{aligned}

משפט הקוסינוסים, וזהות חצי זווית

AC=10cos⁡35∘≈8.19AC=10\cos 35^\circ \approx 8.19

שורש

cos⁡110∘\cos 110^\circ שלילי, ולכן האלכסון ארוך מ-50\sqrt{50}. מי שקיבל 5.745.74 לקח cos⁡110∘\cos 110^\circ חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

60°TPQOI
חתך צירי: משולש שווה שוקיים, והמעגל החסום בו הוא חתך של הכדור.

בחרוט ישר רדיוס הבסיס 66, והיוצר יוצר עם הבסיס זווית של 60∘60^\circ. בתוך החרוט כדור שמשיק לבסיס ולמעטפת. מצאו את רדיוס הכדור (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.46

Corrigé :

QP=12∠P=∠Q=60∘\begin{aligned}QP &= 12 \\ \quad \angle P &= \angle Q \\ &= 60^\circ\end{aligned}

חתך צירי: משולש שווה שוקיים. הכדור נראה בו כמעגל החסום

∠IPO=30∘\angle IPO=30^\circ

PIPI חוצה את זווית הבסיס

ρ=OPtan⁡30∘=6tan⁡30∘=23≈3.46\begin{aligned}\rho &= OP\tan 30^\circ \\ &= 6\tan 30^\circ \\ &= 2\sqrt{3} \approx 3.46\end{aligned}

△IOP\triangle IOP ישר זווית ב-OO

הכדור «נעלם» בחתך הצירי והופך למעגל חסום. זו אותה חצי זווית של שאלה 3 בפותרים יחד. עם tan⁡60∘\tan 60^\circ מקבלים את גובה החרוט, לא את הרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Rα2αABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 44. נתון ∠A=α\angle A = \alpha, ∠B=2α\angle B = 2\alpha ו-AC=2 BCAC = \sqrt{2}\,BC. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.66

Corrigé :

ACBC=sin⁡2αsin⁡α=2cos⁡α=2\begin{aligned}\frac{AC}{BC} &= \frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2\cos\alpha \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}

משפט הסינוסים וזווית כפולה

α=45∘ ⇒ ∠C=180∘−135∘=45∘\begin{aligned}\alpha &= 45^\circ \ \Rightarrow \ \angle C \\ &= 180^\circ-135^\circ \\ &= 45^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות

AB=2Rsin⁡∠C=8sin⁡45∘=42≈5.66\begin{aligned}AB &= 2R\sin\angle C \\ &= 8\sin 45^\circ \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

ABAB מול ∠C\angle C

המשולש יוצא ישר זווית ב-BB: ACAC הוא קוטר, 88. בדיקה: AB=BC=42AB=BC=4\sqrt{2}, ו-(42)2⋅2=64=82(4\sqrt{2})^2 \cdot 2=64=8^2 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe