Série 3 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח שאלה 5 של הבגרות, כל אחת מפורקת לסעיפים: משולש חסום עם זווית כפולה, טרפז חסום, גליל, ותיכון במשולש שווה שוקיים. כל סעיף הוא תרגיל, והפתיח חוזר בכל סעיף.

סעיף א כמעט תמיד «הביעו באמצעות». סעיף ב או ג משתמש בביטוי מסעיף א כדי לבנות משוואה ב-α\alpha. אם לא הצלחתם בסעיף א, אל תוותרו על ב: הביטוי מופיע בפתרון.

Exercices

Exercice 1

Rα2αABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠ABC=α\angle ABC = \alpha ו-∠ACB=2α\angle ACB = 2\alpha. (א) הביעו את ABAB ואת ACAC באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. AB=Rsin⁡2αAB=R\sin 2\alpha , AC=Rsin⁡αAC=R\sin\alpha
  2. AB=2Rsin⁡αAB=2R\sin\alpha , AC=2Rsin⁡2αAC=2R\sin 2\alpha
  3. AB=2Rcos⁡αAB=2R\cos\alpha , AC=2Rsin⁡αAC=2R\sin\alpha
  4. AB=2Rsin⁡2αAB=2R\sin 2\alpha , AC=2Rsin⁡αAC=2R\sin\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D AB=2Rsin⁡2αAB=2R\sin 2\alpha , AC=2Rsin⁡αAC=2R\sin\alpha

Corrigé :

AB↔∠C=2αAB \leftrightarrow \angle C=2\alpha

ABAB עומדת מול הקודקוד CC

AB=2Rsin⁡2αAC=2Rsin⁡α\begin{aligned}AB &= 2R\sin 2\alpha \\ \quad AC &= 2R\sin\alpha\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

הנכונה: AB=2Rsin⁡2αAB=2R\sin 2\alpha, AC=2Rsin⁡αAC=2R\sin\alpha. האפשרות ההפוכה מצמידה לכל צלע את הזווית שבקצה שלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Rα2αABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠ABC=α\angle ABC = \alpha ו-∠ACB=2α\angle ACB = 2\alpha. (ב) הביעו את שטח המשולש באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. 2R2sin⁡αsin⁡2α2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha
  2. 2R2sin⁡αsin⁡2αsin⁡3α2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha
  3. R2sin⁡αsin⁡2αsin⁡3αR^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha
  4. 2R2sin⁡αsin⁡2αcos⁡3α2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\cos 3\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 2R2sin⁡αsin⁡2αsin⁡3α2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha

Corrigé :

∠A=180∘−3α\angle A=180^\circ-3\alpha

סכום הזוויות

S=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡∠AS=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle A

ABAB ו-ACAC נפגשות ב-AA

S=12⋅2Rsin⁡2α⋅2Rsin⁡α⋅sin⁡3αS=\frac{1}{2}\cdot 2R\sin 2\alpha\cdot 2R\sin\alpha\cdot\sin 3\alpha

sin⁡(180∘−3α)=sin⁡3α\sin(180^\circ-3\alpha)=\sin 3\alpha

הנכונה: 2R2sin⁡αsin⁡2αsin⁡3α2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha. עם cos⁡3α\cos 3\alpha הוחלף הסינוס של הזווית המשלימה בקוסינוס שלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Rα2αABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠ABC=α\angle ABC = \alpha ו-∠ACB=2α\angle ACB = 2\alpha. (ג) נתון AB=1.6 ACAB = 1.6\,AC. מצאו את ∠BAC\angle BAC, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 69.39

Corrigé :

ABAC=sin⁡2αsin⁡α=2cos⁡α\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2\cos\alpha\end{aligned}

מסעיף א, וזווית כפולה

2cos⁡α=1.6 ⇒ cos⁡α=0.8 ⇒ α≈36.87∘\begin{aligned}2\cos\alpha &= 1.6 \ \Rightarrow \ \cos\alpha \\ &= 0.8 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 36.87^\circ\end{aligned}

On résout

∠BAC=180∘−3α≈69.39∘\angle BAC=180^\circ-3\alpha \approx 69.39^\circ

סכום הזוויות

שאלו על ∠BAC\angle BAC, לא על α\alpha. ובדיקה: 3α≈110.6∘<180∘3\alpha \approx 110.6^\circ<180^\circ, ולכן המשולש קיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

αABCD

בטרפז שווה שוקיים ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC) נתון AD=DC=CB=kAD = DC = CB = k ו-∠DAB=α\angle DAB = \alpha. (א) הביעו את האלכסון ACAC באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. k(1+2cos⁡α)k(1+2\cos\alpha)
  2. 2kcos⁡α2k\cos\alpha
  3. 2kcos⁡α22k\cos\frac{\alpha}{2}
  4. 2ksin⁡α22k\sin\frac{\alpha}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2kcos⁡α22k\cos\frac{\alpha}{2}

Corrigé :

∠ADC=180∘−α\angle ADC=180^\circ-\alpha

זוויות חד-צדדיות בין מקבילים

AC2=2k2−2k2cos⁡(180∘−α)=2k2(1+cos⁡α)\begin{aligned}AC^2 &= 2k^2-2k^2\cos(180^\circ-\alpha) \\ &= 2k^2(1+\cos\alpha)\end{aligned}

משפט הקוסינוסים ב-△ADC\triangle ADC

1+cos⁡α=2cos⁡2α2 ⇒ AC=2kcos⁡α2\begin{aligned}1+\cos\alpha &= 2\cos^2\frac{\alpha}{2} \ \Rightarrow \ AC \\ &= 2k\cos\frac{\alpha}{2}\end{aligned}

זהות של חצי זווית

הנכונה: 2kcos⁡α22k\cos\frac{\alpha}{2}. k(1+2cos⁡α)k(1+2\cos\alpha) הוא אורך הבסיס ABAB, לא האלכסון. ו-2ksin⁡α22k\sin\frac{\alpha}{2} נובע מ-cos⁡(180∘−α)=+cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha)=+\cos\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

αABCD

בטרפז שווה שוקיים ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC) נתון AD=DC=CB=kAD = DC = CB = k ו-∠DAB=α\angle DAB = \alpha. (ב) הטרפז חסום במעגל. הביעו את רדיוס המעגל באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. k2sin⁡α\frac{k}{2\sin\alpha}
  2. 2ksin⁡α22k\sin\frac{\alpha}{2}
  3. ksin⁡α2\frac{k}{\sin\frac{\alpha}{2}}
  4. k2sin⁡α2\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D k2sin⁡α2\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}

Corrigé :

∠DAC=∠DCA=α2\begin{aligned}\angle DAC &= \angle DCA \\ &= \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

△ADC\triangle ADC שווה שוקיים עם זווית ראש 180∘−α180^\circ-\alpha

DCsin⁡∠DAC=2R\frac{DC}{\sin\angle DAC}=2R

משפט הסינוסים ב-△ADC\triangle ADC, החסום באותו מעגל

R=k2sin⁡α2R=\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}

מבודדים

הנכונה: k2sin⁡α2\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}. בחרנו משולש שבו צלע ידועה (DC=kDC=k) עומדת מול זווית ידועה. k2sin⁡α\frac{k}{2\sin\alpha} לוקחת את ∠DAB\angle DAB, שאינה מול DCDC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

αABCD

בטרפז שווה שוקיים ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC) נתון AD=DC=CB=kAD = DC = CB = k ו-∠DAB=α\angle DAB = \alpha. (ג) נתון AC=1.8kAC = 1.8k. מצאו את α\alpha, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 51.68

Corrigé :

2kcos⁡α2=1.8k2k\cos\frac{\alpha}{2}=1.8k

מסעיף א

cos⁡α2=0.9 ⇒ α2≈25.84∘\cos\frac{\alpha}{2}=0.9 \ \Rightarrow \ \frac{\alpha}{2} \approx 25.84^\circ

On résout

α≈51.68∘\alpha \approx 51.68^\circ

כופלים ב-22

הפתרון הוא α2\frac{\alpha}{2}, ולא α\alpha. מי שעצר ב-25.84∘25.84^\circ שכח להכפיל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

αACB

בגליל ישר רדיוס הבסיס rr. ABAB הוא אלכסון של החתך הצירי, והוא יוצר עם בסיס הגליל זווית α\alpha. (א) הביעו את גובה הגליל באמצעות rr ו-α\alpha.

  1. 2rtan⁡α\frac{2r}{\tan\alpha}
  2. rtan⁡αr\tan\alpha
  3. 2rsin⁡α2r\sin\alpha
  4. 2rtan⁡α2r\tan\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 2rtan⁡α2r\tan\alpha

Corrigé :

AC=2rAC=2r

ההיטל של ABAB על הבסיס הוא קוטר

tan⁡α=BCAC ⇒ h=2rtan⁡α\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{BC}{AC} \ \Rightarrow \ h \\ &= 2r\tan\alpha\end{aligned}

△ACB\triangle ACB ישר זווית ב-CC

הנכונה: 2rtan⁡α2r\tan\alpha. rtan⁡αr\tan\alpha לוקחת רדיוס במקום קוטר, ו-2rsin⁡α2r\sin\alpha מתייחסת לקוטר כאילו הוא היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

αACB

בגליל ישר רדיוס הבסיס rr. ABAB הוא אלכסון של החתך הצירי, והוא יוצר עם בסיס הגליל זווית α\alpha. (ב) נתון r=3r = 3, ונפח הגליל 36π36\pi. מצאו את α\alpha, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 33.69

Corrigé :

π⋅9⋅h=36π ⇒ h=4\begin{aligned}\pi\cdot 9\cdot h &= 36\pi \ \Rightarrow \ h \\ &= 4\end{aligned}

נפח גליל

2⋅3tan⁡α=4 ⇒ tan⁡α=23\begin{aligned}2\cdot 3\tan\alpha &= 4 \ \Rightarrow \ \tan\alpha \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

מסעיף א

α≈33.69∘\alpha \approx 33.69^\circ

תשובה

הביטוי מסעיף א הופך את הנפח למשוואה ב-α\alpha. מי שהשתמש ב-rtan⁡αr\tan\alpha קיבל 53.13∘53.13^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

αABCM

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=α\angle BAC = \alpha. BMBM הוא התיכון לצלע ACAC. (א) הביעו את BMBM באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. k2−2cos⁡αk\sqrt{2-2\cos\alpha}
  2. k1−cos⁡αk\sqrt{1-\cos\alpha}
  3. k54−cos⁡αk\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}
  4. k54+cos⁡αk\sqrt{\frac{5}{4}+\cos\alpha}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C k54−cos⁡αk\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}

Corrigé :

AM=k2AM=\frac{k}{2}

MM אמצע ACAC

BM2=k2+k24−2⋅k⋅k2cos⁡αBM^2=k^2+\frac{k^2}{4}-2\cdot k\cdot\frac{k}{2}\cos\alpha

משפט הקוסינוסים ב-△ABM\triangle ABM

BM=k54−cos⁡αBM=k\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}

מוציאים kk

הנכונה: k54−cos⁡αk\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}. k2−2cos⁡αk\sqrt{2-2\cos\alpha} הוא הבסיס BCBC, לא התיכון: המשולש הנכון הוא ABMABM.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

αABCM

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=α\angle BAC = \alpha. BMBM הוא התיכון לצלע ACAC. (ב) נתון BM=kBM = k. מצאו את α\alpha, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 75.52

Corrigé :

k2(54−cos⁡α)=k2k^2\left(\frac{5}{4}-\cos\alpha\right)=k^2

מעלים בריבוע את הביטוי מסעיף א

cos⁡α=14\cos\alpha=\frac{1}{4}

k2k^2 מצטמצם

α≈75.52∘\alpha \approx 75.52^\circ

תשובה

גם כאן kk נעלם: שוויון בין שני אורכים קובע צורה, לא גודל. וכדאי לעבוד עם BM2BM^2, בלי שורשים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe