Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות: מרובע חסום, זווית שלישית דרך sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta), חוצה זווית, ביטויים בפרמטרים, כדור ופירמידה. כל שאלה מחברת שני כלים.

בכל שאלה כתבו קודם איזה משולש ואיזה משפט. בשאלה עם פרמטרים, בדקו את הביטוי שקיבלתם בערך נוח, כמו α=90∘\alpha=90^\circ.

Exercices

Exercice 1

110°ABCDO

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שרדיוסו 55, ו-∠ABC=110∘\angle ABC = 110^\circ. מצאו את האלכסון ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.4

Corrigé :

RABC=R=5\begin{aligned}R_{ABC} &= R \\ &= 5\end{aligned}

המשולש ABCABC חסום באותו מעגל, ולכן יורש את RR

AC=2Rsin⁡110∘=10sin⁡110∘≈9.4\begin{aligned}AC &= 2R\sin 110^\circ \\ &= 10\sin 110^\circ \approx 9.4\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

sin⁡110∘=sin⁡70∘\sin 110^\circ=\sin 70^\circ, ולכן אפשר גם דרך ∠ADC=70∘\angle ADC=70^\circ: אותו אלכסון משני הצדדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

40°80°ABC

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, ∠A=40∘\angle A = 40^\circ ו-∠B=80∘\angle B = 80^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.37

Corrigé :

∠C=60∘\angle C=60^\circ

סכום הזוויות

ACsin⁡80∘=10sin⁡60∘\frac{AC}{\sin 80^\circ}=\frac{10}{\sin 60^\circ}

משפט הסינוסים: ABAB מול ∠C\angle C

AC≈11.37AC \approx 11.37

מבודדים

הצלע הנתונה ABAB עומדת מול הזווית השלישית, שצריך לחשב קודם. מי שחילק ב-sin⁡40∘\sin 40^\circ קיבל 15.3215.32.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

αk2kABC

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, AC=2kAC = 2k ו-∠BAC=α\angle BAC = \alpha. הביעו את BCBC.

  1. k3−4cos⁡αk\sqrt{3-4\cos\alpha}
  2. k5−2cos⁡αk\sqrt{5-2\cos\alpha}
  3. k5−4cos⁡αk\sqrt{5-4\cos\alpha}
  4. k5+4cos⁡αk\sqrt{5+4\cos\alpha}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C k5−4cos⁡αk\sqrt{5-4\cos\alpha}

Corrigé :

BC2=k2+4k2−2⋅k⋅2kcos⁡αBC^2=k^2+4k^2-2\cdot k\cdot 2k\cos\alpha

משפט הקוסינוסים

BC2=k2(5−4cos⁡α)BC^2=k^2(5-4\cos\alpha)

מוציאים k2k^2

הנכונה: k5−4cos⁡αk\sqrt{5-4\cos\alpha}. המקדם של cos⁡α\cos\alpha הוא 2⋅1⋅2=42\cdot 1\cdot 2=4. בדיקה: ב-α=90∘\alpha=90^\circ מקבלים k5k\sqrt{5}, כמו בפיתגורס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

60°ABCD

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, AC=15AC = 15 ו-∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. ADAD חוצה את הזווית AA (DD על BCBC). מצאו את ADAD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.39

Corrigé :

12⋅10⋅15sin⁡60∘=12⋅10⋅ADsin⁡30∘+12⋅15⋅ADsin⁡30∘\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 15\sin 60^\circ=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot AD\sin 30^\circ+\frac{1}{2}\cdot 15\cdot AD\sin 30^\circ

סכום השטחים

75sin⁡60∘=12⋅25⋅AD⋅12=6.25 AD\begin{aligned}75\sin 60^\circ &= \frac{1}{2}\cdot 25\cdot AD\cdot\frac{1}{2} \\ &= 6.25\,AD\end{aligned}

מכנסים; sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\frac{1}{2}

AD=75sin⁡60∘6.25=63≈10.39\begin{aligned}AD &= \frac{75\sin 60^\circ}{6.25} \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

מבודדים

הזוויות בשני המשולשים הקטנים הן 30∘30^\circ, חצי מ-60∘60^\circ. מי ששם sin⁡60∘\sin 60^\circ גם בהם קיבל AD=6AD=6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

αOO'A

כדור שמרכזו OO ורדיוסו 1010 נחתך במישור, ושטח החתך העגול הוא 36π36\pi. AA נקודה על שפת החתך, ו-O′O' מרכז החתך. מצאו את הזווית שבין OAOA למישור החתך, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 53.13

Corrigé :

πρ2=36π ⇒ ρ=O′A=6\begin{aligned}\pi\rho^2 &= 36\pi \ \Rightarrow \ \rho \\ &= O'A \\ &= 6\end{aligned}

רדיוס החתך

cos⁡α=O′AOA=610\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{O'A}{OA} \\ &= \frac{6}{10}\end{aligned}

△OO′A\triangle OO'A ישר זווית ב-O′O'

α≈53.13∘\alpha \approx 53.13^\circ

תשובה

הזווית היא בין OAOA למישור, והיא יושבת ב-AA. מי שחישב את הזווית ב-OO קיבל 36.87∘36.87^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

αABCOT

בפירמידה משולשת ישרה TABCTABC הבסיס משולש שווה צלעות שצלעו 66, והגובה TO=4TO = 4 (OO מרכז המעגל החוסם את הבסיס). מצאו את הזווית שבין המקצוע TATA לבסיס, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 49.11

Corrigé :

AO=62sin⁡60∘=23\begin{aligned}AO &= \frac{6}{2\sin 60^\circ} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

משפט הסינוסים בבסיס

tan⁡α=TOAO=423\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{TO}{AO} \\ &= \frac{4}{2\sqrt{3}}\end{aligned}

△TOA\triangle TOA ישר זווית ב-OO

α≈49.11∘\alpha \approx 49.11^\circ

תשובה

ההיטל AOAO הוא רדיוס המעגל החוסם, לא הגובה של הבסיס ולא חצי צלע. עם AO=3AO=3 מקבלים 53.13∘53.13^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

β2βABC

במשולש ABCABC נתון ∠C=2∠B\angle C = 2\angle B. הוכיחו או הפריכו: AB=2 ACcos⁡∠BAB = 2\,AC\cos\angle B.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

ABsin⁡2β=ACsin⁡β\frac{AB}{\sin 2\beta}=\frac{AC}{\sin\beta}

משפט הסינוסים: ABAB מול ∠C\angle C, ACAC מול ∠B\angle B

AB=AC⋅2sin⁡βcos⁡βsin⁡β=2 ACcos⁡β\begin{aligned}AB &= \frac{AC\cdot 2\sin\beta\cos\beta}{\sin\beta} \\ &= 2\,AC\cos\beta\end{aligned}

זווית כפולה

הטענה נכונה. זה הקשר שכל שאלה עם «זווית כפולה» בנויה עליו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 66. הזוויות ∠A\angle A ו-∠B\angle B חדות, cos⁡∠A=0.8\cos\angle A = 0.8 ו-cos⁡∠B=0.28\cos\angle B = 0.28. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.23

Corrigé :

sin⁡A=0.6sin⁡B=0.96\begin{aligned}\sin A &= 0.6 \\ \quad \sin B &= 0.96\end{aligned}

sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1

sin⁡C=sin⁡(A+B)=0.6⋅0.28+0.8⋅0.96=0.936\begin{aligned}\sin C &= \sin(A+B) \\ &= 0.6\cdot 0.28+0.8\cdot 0.96 \\ &= 0.936\end{aligned}

סינוס של סכום

AB=2Rsin⁡C=12⋅0.936≈11.23\begin{aligned}AB &= 2R\sin C \\ &= 12\cdot 0.936 \approx 11.23\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

ABAB עומדת מול ∠C\angle C, הזווית שלא נתונה. הזהות נותנת את הסינוס שלה בלי לחשב אותה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

αACB

האלכסון של החתך הצירי של גליל ישר הוא dd, והוא יוצר עם הבסיס זווית α\alpha. תלמיד הביע את נפח הגליל. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

h=dsin⁡αh=d\sin\alpha
r=dcos⁡αr=d\cos\alpha
V=πr2hV=\pi r^2 h
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : r=dcos⁡αr=d\cos\alpha → r=dcos⁡α2r=\frac{d\cos\alpha}{2}

Corrigé :

AC=dcos⁡αAC=d\cos\alpha

ההיטל של האלכסון הוא קוטר הבסיס

V=π4d3cos⁡2αsin⁡αV=\frac{\pi}{4}d^3\cos^2\alpha\sin\alpha

התוצאה הנכונה

ההיטל של אלכסון החתך הצירי עובר מקצה לקצה של הבסיס: זה קוטר. בלי החצי, הנפח גדל פי 44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

45°60°ABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 55. זוויות המשולש הן 45∘45^\circ, 60∘60^\circ ו-75∘75^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 29.58

Corrigé :

a=2Rsin⁡A b=2Rsin⁡B\begin{aligned}a &= 2R\sin A \\ \ b &= 2R\sin B\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

S=12absin⁡C=2R2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}ab\sin C \\ &= 2R^2\sin A\sin B\sin C\end{aligned}

נוסחת השטח

S=50sin⁡45∘sin⁡60∘sin⁡75∘≈29.58S=50\sin 45^\circ\sin 60^\circ\sin 75^\circ \approx 29.58

On remplace (מציבים)

הביטוי 2R2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C2R^2\sin A\sin B\sin C סימטרי: לא משנה איזו זווית נקראת AA. מי שקיבל כפליים שכח את ה-12\frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe