Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: נוסחאות הסכום וההפרש, זווית כפולה, סכום למכפלה, משוואות ופישוט. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

חשבו בלי מחשבון: sin⁡20∘cos⁡10∘+cos⁡20∘sin⁡10∘\sin 20^\circ\cos 10^\circ+\cos 20^\circ\sin 10^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

sin⁡(20∘+10∘)=sin⁡30∘\sin(20^\circ+10^\circ)=\sin 30^\circ

סינוס של סכום

=12=\tfrac{1}{2}

זווית מיוחדת

הביטוי הוא נוסחת הסכום כפי שהיא בדף הנוסחאות, רק הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו הערך המדויק של cos⁡75∘\cos 75^\circ?

  1. 2−64\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}
  2. 3−12\frac{\sqrt{3}-1}{2}
  3. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
  4. 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

Corrigé :

cos⁡(45∘+30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos 45^\circ\cos 30^\circ-\sin 45^\circ\sin 30^\circ

קוסינוס של סכום

=64−24=\tfrac{\sqrt{6}}{4}-\tfrac{\sqrt{2}}{4}

On remplace (מציבים)

הנכונה: 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} שכח את המינוס בקוסינוס של סכום. 2−64\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} שלילי, אבל 75∘75^\circ חדה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון cos⁡α=0.8\cos\alpha=0.8. חשבו את cos⁡2α\cos 2\alpha.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.28

Corrigé :

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1

הצורה עם cos⁡α\cos\alpha

=2⋅0.64−1=0.28=2\cdot 0.64-1=0.28

On remplace (מציבים)

מי שקיבל 0.60.6 כתב 2cos⁡α−12\cos\alpha-1, בלי הריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

חשבו את sin⁡105∘−sin⁡15∘\sin 105^\circ-\sin 15^\circ. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.71

Corrigé :

2cos⁡120∘2sin⁡90∘2=2cos⁡60∘sin⁡45∘2\cos\frac{120^\circ}{2}\sin\frac{90^\circ}{2}=2\cos 60^\circ\sin 45^\circ

הפרש סינוסים

=2⋅12⋅22=22≈0.71=2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.71

זוויות מיוחדות

התשובה המדויקת היא 22\frac{\sqrt{2}}{2}. בהפרש סינוסים הקוסינוס מקבל את הזווית האמצעית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו את המשוואה cos⁡2x=3cos⁡x−2\cos 2x=3\cos x-2 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ. מהו הפתרון הגדול, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 300

Corrigé :

2cos⁡2x−1=3cos⁡x−2 ⇒ 2cos⁡2x−3cos⁡x+1=0\begin{aligned}2\cos^2 x-1 &= 3\cos x-2 \ \Rightarrow \ 2\cos^2 x-3\cos x+1 \\ &= 0\end{aligned}

הצורה עם cos⁡x\cos x

(2cos⁡x−1)(cos⁡x−1)=0(2\cos x-1)(\cos x-1)=0

Décomposition

x=60∘ 300∘ 0∘\begin{aligned}x &= 60^\circ \\ \ 300^\circ \\ \ 0^\circ\end{aligned}

cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} או cos⁡x=1\cos x=1

הגדול הוא 300∘300^\circ, מ-cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} ברביע הרביעי. מי שענה 60∘60^\circ שכח את −60∘+360∘-60^\circ+360^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פשטו את 1+cos⁡2xsin⁡2x\frac{1+\cos 2x}{\sin 2x} לכל xx שבו sin⁡2x≠0\sin 2x\neq 0.

  1. tan⁡x\tan x
  2. cos⁡x\cos x
  3. 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}
  4. cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}

Corrigé :

1+cos⁡2x=2cos⁡2x1+\cos 2x=2\cos^2 x

הצורה 2cos⁡2x−12\cos^2 x-1

2cos⁡2x2sin⁡xcos⁡x=cos⁡xsin⁡x\frac{2\cos^2 x}{2\sin x\cos x}=\frac{\cos x}{\sin x}

מצמצמים

הנכונה: cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}. tan⁡x\tan x מתקבל כשה-1+cos⁡2x1+\cos 2x נמצא במכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: למשוואה sin⁡x+cos⁡x=1.5\sin x+\cos x=1.5 יש פתרון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(sin⁡x+cos⁡x)2=1+sin⁡2x≤2(\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x\le 2

זווית כפולה

sin⁡x+cos⁡x≤2≈1.41<1.5\sin x+\cos x\le\sqrt{2}\approx 1.41<1.5

הוצאת שורש

הטענה אינה נכונה. כל אחד מהמחוברים יכול להגיע ל-11, אבל לא באותה זווית. הערך הגדול ביותר של הסכום הוא 2\sqrt{2}.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

חשבו בלי מחשבון: tan⁡15∘+tan⁡75∘\tan 15^\circ+\tan 75^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

tan⁡15∘=2−3tan⁡75∘=2+3\begin{aligned}\tan 15^\circ &= 2-\sqrt{3} \\ \quad \tan 75^\circ &= 2+\sqrt{3}\end{aligned}

טנגנס של הפרש ושל סכום

(2−3)+(2+3)=4(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4

השורשים מתבטלים

דרך נוספת: sin⁡15∘cos⁡15∘+cos⁡15∘sin⁡15∘=1sin⁡15∘cos⁡15∘=2sin⁡30∘=4\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}+\frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}=\frac{1}{\sin 15^\circ\cos 15^\circ}=\frac{2}{\sin 30^\circ}=4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡4x+sin⁡2x=0\sin 4x+\sin 2x=0 בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

2sin⁡3xcos⁡x=02\sin 3x\cos x=0

סכום סינוסים

sin⁡3x=0: x=πk3 ⇒ 0 π3 2π3 π\begin{aligned}\sin 3x &= 0: \ x \\ &= \tfrac{\pi k}{3} \ \Rightarrow \ 0 \\ \ \tfrac{\pi}{3} \\ \ \tfrac{2\pi}{3} \\ \ \pi\end{aligned}

ארבעה

cos⁡x=0: x=π2\begin{aligned}\cos x &= 0: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2}\end{aligned}

אחד

חמישה. התחום סגור, ולכן 00 ו-π\pi נספרים. הפתרון π2\frac{\pi}{2} מגיע מהגורם cos⁡x\cos x בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון sin⁡2x=23\sin 2x=\frac{2}{3}. חשבו את sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x+\cos^4 x. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.78

Corrigé :

sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x

השלמה לריבוע

=1−12(2sin⁡xcos⁡x)2=1−12sin⁡22x=1-\tfrac{1}{2}(2\sin x\cos x)^2=1-\tfrac{1}{2}\sin^2 2x

זווית כפולה

=1−12⋅49=79≈0.78=1-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{9}=\tfrac{7}{9}\approx 0.78

On remplace (מציבים)

לא צריך לדעת את xx. הרעיון: a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2, ו-sin⁡2xcos⁡2x=14sin⁡22x\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe