Série 3 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: משולש שווה שוקיים ושטח בזווית כפולה, פונקציה שהופכת לפרבולה ב-sin⁡x\sin x, ביטוי שמתגלה כקבוע, ומשוואה עם סכום למכפלה.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. ובסוף כל משוואה בודקים שני דברים: שהערך של sin⁡\sin או cos⁡\cos בין −1-1 ל-11, ושהפתרון בתחום ההגדרה של הביטוי המקורי.

Exercices

Exercice 1

ABCD
AB=AC=kAB=AC=k, ∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, והגובה ADAD חוצה את הזווית.

במשולש שווה שוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB=AC=k ו-∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ. ADAD הוא הגובה לבסיס BCBC. א. הביעו את BCBC באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. BC=2kcos⁡αBC=2k\cos\alpha
  2. BC=ksin⁡2αBC=k\sin 2\alpha
  3. BC=2ksin⁡αBC=2k\sin\alpha
  4. BC=ksin⁡αBC=k\sin\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C BC=2ksin⁡αBC=2k\sin\alpha

Corrigé :

∠BAD=α\angle BAD=\alpha

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש

BD=ksin⁡αBD=k\sin\alpha

במשולש ישר הזווית ABDABD: הניצב שמול α\alpha שווה ליתר כפול sin⁡α\sin\alpha

BC=2BD=2ksin⁡α\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\sin\alpha\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

הנכונה: 2ksin⁡α2k\sin\alpha. 2kcos⁡α2k\cos\alpha הוא 2AD2AD — הניצב שליד α\alpha. ksin⁡2αk\sin 2\alpha מערבב את הזווית הכפולה עם הצלע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCD
AB=AC=kAB=AC=k, ∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, והגובה ADAD חוצה את הזווית.

במשולש שווה שוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB=AC=k ו-∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ. ADAD הוא הגובה לבסיס BCBC. ב. הראו כי שטח המשולש הוא S=12k2sin⁡2αS=\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha, וחשבו אותו כאשר k=6k=6 ו-α=15∘\alpha=15^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

S=12⋅BC⋅AD=12⋅2ksin⁡α⋅kcos⁡α\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AD \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 2k\sin\alpha\cdot k\cos\alpha\end{aligned}

נוסחת שטח משולש: בסיס כפול גובה חלקי 2, עם AD=kcos⁡αAD=k\cos\alpha

=k2sin⁡αcos⁡α=12k2sin⁡2α=k^2\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

זהות הזווית הכפולה

12⋅36⋅sin⁡30∘=9\tfrac{1}{2}\cdot 36\cdot\sin 30^\circ=9

מציבים k=6k=6, 2α=30∘2\alpha=30^\circ

אותה תוצאה מתקבלת מנוסחת השטח 12AB⋅AC⋅sin⁡∠BAC\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin\angle BAC — כי הזווית בראש היא 2α2\alpha. מי שהציב sin⁡15∘\sin 15^\circ שכח שהזווית כפולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCD
AB=AC=kAB=AC=k, ∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, והגובה ADAD חוצה את הזווית.

במשולש שווה שוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB=AC=k ו-∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ. ADAD הוא הגובה לבסיס BCBC. ג. נתון ששטח המשולש הוא k24\frac{k^2}{4}. מצאו את שני הערכים האפשריים של α\alpha, במעלות, מהקטן לגדול.

α=\alpha= ____ או α=\alpha= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= 15 או α=\alpha= 75

Corrigé :

12k2sin⁡2α=k24 ⇒ sin⁡2α=12\begin{aligned}\tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha &= \tfrac{k^2}{4} \ \Rightarrow \ \sin 2\alpha \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

השטח מסעיף ב, ומחלקים ב-k2>0k^2>0

0∘<2α<180∘ ⇒ 2α=30∘ או 2α=150∘\begin{aligned}0^\circ<2\alpha<180^\circ \ \Rightarrow \ 2\alpha &= 30^\circ \ \text{או} \ 2\alpha \\ &= 150^\circ\end{aligned}

לסינוס שתי זוויות בחצי המעגל העליון

α=15∘ או α=75∘\begin{aligned}\alpha &= 15^\circ \ \text{או} \ \alpha \\ &= 75^\circ\end{aligned}

שתיהן בתחום

שני משולשים שונים עם אותו שטח: זווית ראש של 30∘30^\circ או של 150∘150^\circ. מי שמצא רק 15∘15^\circ שכח את הזווית הקהה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x)=\cos 2x+2\sin x בתחום 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. א. הראו כי f(x)=−2sin⁡2x+2sin⁡x+1f(x)=-2\sin^2 x+2\sin x+1. כמה נקודות חיתוך יש לגרף של ff עם ציר ה-xx בתחום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x

הצורה עם sin⁡x\sin x

2s2−2s−1=0 s=sin⁡x ⇒ s=1±32\begin{aligned}2s^2-2s-1 &= 0 \\ \ s &= \sin x \ \Rightarrow \ s \\ &= \tfrac{1\pm\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

משוואה ריבועית

1+32≈1.37>1 נפסלsin⁡x=1−32≈−0.37\begin{aligned}\tfrac{1+\sqrt{3}}{2}\approx 1.37>1 \ \text{נפסל} \\ \qquad \sin x &= \tfrac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.37\end{aligned}

רק ערך אחד בין −1-1 ל-11

sin⁡x≈−0.37: שתי זוויות, ברביע השלישי וברביע הרביעי\sin x\approx -0.37: \ \text{שתי זוויות, ברביע השלישי וברביע הרביעי}

ישר אופקי שלילי פוגש את המעגל פעמיים

שתיים. הערך 1+32\frac{1+\sqrt{3}}{2} גדול מ-11 ונפסל. מי שספר ארבע לא בדק אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x)=\cos 2x+2\sin x בתחום 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. ב. מצאו את הערך המקסימלי של ff בתחום. (היעזרו בצורה מסעיף א.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

h(s)=−2s2+2s+1−1≤s≤1\begin{aligned}h(s) &= -2s^2+2s+1 \\ \quad -1\le s\le 1\end{aligned}

ff כפונקציה של s=sin⁡xs=\sin x

s0=−22⋅(−2)=12\begin{aligned}s_0 &= -\tfrac{2}{2\cdot(-2)} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

קודקוד הפרבולה, והוא בתוך הקטע

h(12)=−12+1+1=32\begin{aligned}h\left(\tfrac{1}{2}\right) &= -\tfrac{1}{2}+1+1 \\ &= \tfrac{3}{2}\end{aligned}

הערך המקסימלי

בלי נגזרת: ff היא פרבולה הפוכה ב-sin⁡x\sin x. מי שהציב sin⁡x=1\sin x=1 קיבל 11 — אבל הקודקוד נמצא ב-12\frac{1}{2}, לא בקצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x)=\cos 2x+2\sin x בתחום 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. ג. באילו ערכי xx בתחום מקבלת ff את הערך המקסימלי?

  1. x=π6x=\frac{\pi}{6} בלבד
  2. x=π3x=\frac{\pi}{3} ו-x=2π3x=\frac{2\pi}{3}
  3. x=π2x=\frac{\pi}{2}
  4. x=π6x=\frac{\pi}{6} ו-x=5π6x=\frac{5\pi}{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x=π6x=\frac{\pi}{6} ו-x=5π6x=\frac{5\pi}{6}

Corrigé :

sin⁡x=12\sin x=\tfrac{1}{2}

המקסימום מסעיף ב

x=π6 5π6\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{5\pi}{6}\end{aligned}

שתי זוויות ב-0≤x≤2π0\le x\le 2\pi

הנכונה: π6\frac{\pi}{6} ו-5π6\frac{5\pi}{6}. ff מקבלת את המקסימום פעמיים. π2\frac{\pi}{2} הוא המקום שבו sin⁡x\sin x מקסימלי, לא ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון הביטוי g(x)=sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡xg(x)=\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\cos 3x}{\cos x}, המוגדר לכל xx שבו sin⁡x≠0\sin x\neq 0 ו-cos⁡x≠0\cos x\neq 0. א. הוכיחו או הפריכו: g(x)=2g(x)=2 לכל xx בתחום ההגדרה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

g(x)=sin⁡3xcos⁡x−cos⁡3xsin⁡xsin⁡xcos⁡xg(x)=\frac{\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x}{\sin x\cos x}

מכנה משותף

sin⁡3xcos⁡x−cos⁡3xsin⁡x=sin⁡(3x−x)=sin⁡2x\begin{aligned}\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x &= \sin(3x-x) \\ &= \sin 2x\end{aligned}

סינוס של הפרש, מימין לשמאל

sin⁡2xsin⁡xcos⁡x=2sin⁡xcos⁡xsin⁡xcos⁡x=2\begin{aligned}\frac{\sin 2x}{\sin x\cos x} &= \frac{2\sin x\cos x}{\sin x\cos x} \\ &= 2\end{aligned}

זווית כפולה

הטענה נכונה. הביטוי נראה תלוי ב-xx, אבל הוא קבוע. המפתח: המונה אחרי מכנה משותף הוא נוסחת הפרש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון הביטוי g(x)=sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡xg(x)=\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\cos 3x}{\cos x}, המוגדר לכל xx שבו sin⁡x≠0\sin x\neq 0 ו-cos⁡x≠0\cos x\neq 0. ב. כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=2cos⁡xg(x)=2\cos x בתחום 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

2=2cos⁡x ⇒ cos⁡x=1\begin{aligned}2 &= 2\cos x \ \Rightarrow \ \cos x \\ &= 1\end{aligned}

לפי סעיף א

x=0 2π\begin{aligned}x &= 0 \\ \ 2\pi\end{aligned}

הפתרונות בתחום

sin⁡0=sin⁡2π=0\begin{aligned}\sin 0 &= \sin 2\pi \\ &= 0\end{aligned}

שם gg אינה מוגדרת: שני הפתרונות נפסלים

אין פתרון. cos⁡x=1\cos x=1 דווקא בנקודות שבהן sin⁡x=0\sin x=0, ושם gg לא מוגדרת. תמיד בודקים את התחום של הביטוי המקורי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה המשוואה sin⁡5x−sin⁡x=sin⁡2x\sin 5x-\sin x=\sin 2x. א. מהו הפתרון הכללי של המשוואה?

  1. x=πk2x=\frac{\pi k}{2}
  2. x=πk2x=\frac{\pi k}{2} או x=±π9+2πk3x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}
  3. x=πkx=\pi k או x=±π9+2πk3x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}
  4. x=±π9+2πk3x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=πk2x=\frac{\pi k}{2} או x=±π9+2πk3x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}

Corrigé :

sin⁡5x−sin⁡x=2cos⁡3xsin⁡2x\sin 5x-\sin x=2\cos 3x\sin 2x

הפרש סינוסים

sin⁡2x (2cos⁡3x−1)=0\sin 2x\,(2\cos 3x-1)=0

גורם משותף — לא מחלקים

sin⁡2x=0 ⇒ x=πk2\begin{aligned}\sin 2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi k}{2}\end{aligned}

2x=πk2x=\pi k

cos⁡3x=12 ⇒ 3x=±π3+2πk ⇒ x=±π9+2πk3\begin{aligned}\cos 3x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ 3x \\ &= \pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\tfrac{\pi}{9}+\tfrac{2\pi k}{3}\end{aligned}

מחלקים ב-33 גם את המחזור

הנכונה: x=πk2x=\frac{\pi k}{2} או x=±π9+2πk3x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}. x=πkx=\pi k שכח לחלק ב-22 ומאבד את π2\frac{\pi}{2}. בלי המשפחה πk2\frac{\pi k}{2} חילקו ב-sin⁡2x\sin 2x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה המשוואה sin⁡5x−sin⁡x=sin⁡2x\sin 5x-\sin x=\sin 2x. ב. כמה פתרונות יש למשוואה בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

x=πk2: 0 π2 π\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi k}{2}: \ 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi\end{aligned}

שלושה, עם הקצוות

x=π9+2πk3: π9 7π9\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{9}+\tfrac{2\pi k}{3}: \ \tfrac{\pi}{9} \\ \ \tfrac{7\pi}{9}\end{aligned}

k=0,1k=0,1

x=−π9+2πk3: 5π9x=-\tfrac{\pi}{9}+\tfrac{2\pi k}{3}: \ \tfrac{5\pi}{9}

k=1k=1; עם k=0k=0 שלילי

שישה: 0,π9,π2,5π9,7π9,π0, \frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \pi. במשפחה עם −π9-\frac{\pi}{9}, k=0k=0 נותן מספר שלילי — מתחילים מ-k=1k=1.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe