Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות ברמה בינונית: סימנים לפי רביעים, משוואה ריבועית אחרי זהות, פתרון כללי ברדיאנים, הוכחת זהות, ושרשרת של זוויות כפולות. בכל שאלה שני צעדים לפחות.

בכל משוואה: לא מחלקים בביטוי שעלול להיות 00 — מוציאים אותו כגורם משותף. ובכל ערך נתון: קודם הרביע, ורק אחר כך הסימן.

Exercices

Exercice 1

נתון sin⁡α=1213\sin\alpha=\frac{12}{13} ו-90∘<α<180∘90^\circ<\alpha<180^\circ. נתון cos⁡β=0.6\cos\beta=0.6 ו-270∘<β<360∘270^\circ<\beta<360^\circ. חשבו את cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.97

Corrigé :

cos⁡α=−513sin⁡β=−0.8\begin{aligned}\cos\alpha &= -\tfrac{5}{13} \\ \quad \sin\beta &= -0.8\end{aligned}

הסימנים לפי הרביעים

cos⁡(α−β)=(−513)(0.6)+1213(−0.8)\cos(\alpha-\beta)=\left(-\tfrac{5}{13}\right)(0.6)+\tfrac{12}{13}(-0.8)

קוסינוס של הפרש: פלוס באמצע

=−3−9.613=−12.613≈−0.97=\frac{-3-9.6}{13}=-\frac{12.6}{13}\approx -0.97

On calcule

שני סימנים שליליים, מרביעים שונים. מי ששכח אחד מהם קיבל 0.510.51 או −0.51-0.51.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון cos⁡α=−0.6\cos\alpha=-0.6 ו-90∘<α<180∘90^\circ<\alpha<180^\circ. השלימו.

sin⁡2α=\sin 2\alpha= ____ , cos⁡2α=\cos 2\alpha= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡2α=\sin 2\alpha= -0.96 , cos⁡2α=\cos 2\alpha= -0.28

Corrigé :

sin⁡α=0.8\sin\alpha=0.8

ברביע השני הסינוס חיובי

sin⁡2α=2⋅0.8⋅(−0.6)=−0.96\begin{aligned}\sin 2\alpha &= 2\cdot 0.8\cdot(-0.6) \\ &= -0.96\end{aligned}

זווית כפולה

cos⁡2α=2⋅0.36−1=−0.28\begin{aligned}\cos 2\alpha &= 2\cdot 0.36-1 \\ &= -0.28\end{aligned}

הצורה עם cos⁡α\cos\alpha

שני הערכים שליליים: 180∘<2α<360∘180^\circ<2\alpha<360^\circ, ו-2α2\alpha ברביע השלישי. בדיקה: 0.962+0.282=10.96^2+0.28^2=1 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו את המשוואה cos⁡2x+3sin⁡x−2=0\cos 2x+3\sin x-2=0 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ. מהו סכום כל הפתרונות, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 270

Corrigé :

1−2sin⁡2x+3sin⁡x−2=0 ⇒ 2sin⁡2x−3sin⁡x+1=0\begin{aligned}1-2\sin^2 x+3\sin x-2 &= 0 \ \Rightarrow \ 2\sin^2 x-3\sin x+1 \\ &= 0\end{aligned}

זווית כפולה עם sin⁡x\sin x

(2sin⁡x−1)(sin⁡x−1)=0(2\sin x-1)(\sin x-1)=0

Décomposition

x=30∘ 150∘ 90∘\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 150^\circ \\ \ 90^\circ\end{aligned}

sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} או sin⁡x=1\sin x=1

30∘+150∘+90∘=270∘30^\circ+150^\circ+90^\circ=270^\circ

הסכום

sin⁡x=1\sin x=1 נותן זווית אחת בסיבוב. מי שקיבל 180∘180^\circ שכח את 90∘90^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו הפתרון הכללי של המשוואה sin⁡2x+sin⁡x=0\sin 2x+\sin x=0?

  1. x=πkx=\pi k או x=±2π3+2πkx=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k
  2. x=πkx=\pi k או x=±π3+2πkx=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k
  3. x=2πkx=2\pi k
  4. x=±2π3+2πkx=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x=πkx=\pi k או x=±2π3+2πkx=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k

Corrigé :

2sin⁡xcos⁡x+sin⁡x=0 ⇒ sin⁡x (2cos⁡x+1)=0\begin{aligned}2\sin x\cos x+\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ \sin x\,(2\cos x+1) \\ &= 0\end{aligned}

זווית כפולה וגורם משותף

sin⁡x=0 ⇒ x=πk\begin{aligned}\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pi k\end{aligned}

המשפחה הראשונה

cos⁡x=−12 ⇒ x=±2π3+2πk\begin{aligned}\cos x &= -\tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k\end{aligned}

המשפחה השנייה

הנכונה: x=πkx=\pi k או x=±2π3+2πkx=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k. ±π3\pm\frac{\pi}{3} מתאים ל-cos⁡x=+12\cos x=+\frac{1}{2} — הסימן נשכח. בלי x=πkx=\pi k חילקו ב-sin⁡x\sin x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו כי sin⁡2xsin⁡x−cos⁡2xcos⁡x=1cos⁡x\frac{\sin 2x}{\sin x}-\frac{\cos 2x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x} לכל xx שבו sin⁡x≠0\sin x\neq 0 ו-cos⁡x≠0\cos x\neq 0.

  • sin⁡x≠0\sin x\neq 0 ו-cos⁡x≠0\cos x\neq 0
  • sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x
  • cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=2\cos^2 x-1

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡2xcos⁡x=1cos⁡x\frac{\sin 2x}{\sin x}-\frac{\cos 2x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}

Voir la réponse et le corrigé
  1. sin⁡2xsin⁡x=2cos⁡x\frac{\sin 2x}{\sin x}=2\cos x — זווית כפולה, וצמצום ב-sin⁡x\sin x
  2. cos⁡2xcos⁡x=2cos⁡2x−1cos⁡x\frac{\cos 2x}{\cos x}=\frac{2\cos^2 x-1}{\cos x} — הצורה עם cos⁡x\cos x
  3. 2cos⁡x−2cos⁡2x−1cos⁡x=2cos⁡2x−2cos⁡2x+1cos⁡x2\cos x-\frac{2\cos^2 x-1}{\cos x}=\frac{2\cos^2 x-2\cos^2 x+1}{\cos x} — מכנה משותף cos⁡x\cos x
  4. sin⁡2xsin⁡x−cos⁡2xcos⁡x=1cos⁡x\frac{\sin 2x}{\sin x}-\frac{\cos 2x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x} — האיברים ±2cos⁡2x\pm 2\cos^2 x מתבטלים

Corrigé :

2cos⁡x−2cos⁡2x−1cos⁡x=1cos⁡x2\cos x-\frac{2\cos^2 x-1}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}

מכנה משותף

בחירת הצורה של cos⁡2x\cos 2x היא העיקר: 2cos⁡2x−12\cos^2 x-1 מתאימה למכנה cos⁡x\cos x. המלכודת: לצמצם את cos⁡2x\cos 2x עם cos⁡x\cos x כאילו הם «אותו קוסינוס».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חשבו בלי מחשבון: cos⁡20∘cos⁡40∘cos⁡80∘\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ. (רמז: כפלו וחלקו ב-sin⁡20∘\sin 20^\circ.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.125

Corrigé :

sin⁡20∘cos⁡20∘=12sin⁡40∘\sin 20^\circ\cos 20^\circ=\tfrac{1}{2}\sin 40^\circ

זווית כפולה, פעם ראשונה

12sin⁡40∘cos⁡40∘=14sin⁡80∘\tfrac{1}{2}\sin 40^\circ\cos 40^\circ=\tfrac{1}{4}\sin 80^\circ

פעם שנייה

14sin⁡80∘cos⁡80∘=18sin⁡160∘=18sin⁡20∘\begin{aligned}\tfrac{1}{4}\sin 80^\circ\cos 80^\circ &= \tfrac{1}{8}\sin 160^\circ \\ &= \tfrac{1}{8}\sin 20^\circ\end{aligned}

פעם שלישית, ו-sin⁡160∘=sin⁡20∘\sin 160^\circ=\sin 20^\circ

18sin⁡20∘sin⁡20∘=18\frac{\frac{1}{8}\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ}=\frac{1}{8}

מחלקים ב-sin⁡20∘\sin 20^\circ

הזווית מוכפלת בכל שלב: 20∘,40∘,80∘,160∘20^\circ, 40^\circ, 80^\circ, 160^\circ. הצעד האחרון עובד כי sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: cos⁡15∘−sin⁡15∘=22\cos 15^\circ-\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

cos⁡15∘=6+24sin⁡15∘=6−24\begin{aligned}\cos 15^\circ &= \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\ \quad \sin 15^\circ &= \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{aligned}

הערכים המדויקים

6+2−6+24=224=22\begin{aligned}\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} &= \tfrac{2\sqrt{2}}{4} \\ &= \tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

ההפרש

הטענה נכונה. דרך נוספת: (cos⁡15∘−sin⁡15∘)2=1−sin⁡30∘=12(\cos 15^\circ-\sin 15^\circ)^2=1-\sin 30^\circ=\frac{1}{2}, וההפרש חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בפתרון של sin⁡2x=cos⁡x\sin 2x=\cos x בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2sin⁡xcos⁡x=cos⁡x2\sin x\cos x=\cos x
2sin⁡x=12\sin x=1
x=30∘ 150∘\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 150^\circ\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2sin⁡x=12\sin x=1 → cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos x\,(2\sin x-1)=0

Corrigé :

cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos x\,(2\sin x-1)=0

גורם משותף במקום חילוק

cos⁡x=0: x=90∘ 270∘\begin{aligned}\cos x &= 0: \ x \\ &= 90^\circ \\ \ 270^\circ\end{aligned}

הפתרונות שאבדו

x=30∘ 90∘ 150∘ 270∘\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 90^\circ \\ \ 150^\circ \\ \ 270^\circ\end{aligned}

ארבעה פתרונות

השורה השנייה מחלקת ב-cos⁡x\cos x, ומאבדת את 90∘90^\circ ואת 270∘270^\circ. בדיקה: ב-x=90∘x=90^\circ שני האגפים 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה פתרונות יש למשוואה cos⁡3x+cos⁡x=0\cos 3x+\cos x=0 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ\le x\le 180^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2cos⁡2xcos⁡x=02\cos 2x\cos x=0

סכום קוסינוסים

cos⁡2x=0: x=45∘ 135∘\begin{aligned}\cos 2x &= 0: \ x \\ &= 45^\circ \\ \ 135^\circ\end{aligned}

x=45∘+90∘kx=45^\circ+90^\circ k

cos⁡x=0: x=90∘\begin{aligned}\cos x &= 0: \ x \\ &= 90^\circ\end{aligned}

אחד בתחום

שלושה: 45∘,90∘,135∘45^\circ, 90^\circ, 135^\circ. חצי תחום נותן חצי מששת הפתרונות של סיבוב שלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון tan⁡α=2\tan\alpha=2 ו-tan⁡(α+β)=1\tan(\alpha+\beta)=1. מצאו את tan⁡β\tan\beta. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.33

Corrigé :

2+t1−2t=1t=tan⁡β\begin{aligned}\frac{2+t}{1-2t} &= 1 \\ \quad t &= \tan\beta\end{aligned}

נוסחת הטנגנס של סכום

2+t=1−2t ⇒ 3t=−1\begin{aligned}2+t &= 1-2t \ \Rightarrow \ 3t \\ &= -1\end{aligned}

כפל במכנה

t=−13≈−0.33t=-\tfrac{1}{3}\approx -0.33

On résout

דרך נוספת: tan⁡β=tan⁡((α+β)−α)=1−21+2=−13\tan\beta=\tan((\alpha+\beta)-\alpha)=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}. אותה תוצאה, בנוסחת ההפרש.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe