Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: נוסחאות הסכום וההפרש, זווית כפולה, סכום למכפלה ומשוואה פשוטה. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: איזו נוסחה מתאימה לצורה שמולי? ביטוי ארוך של סינוסים וקוסינוסים הוא לעתים קרובות נוסחה שנקראת מימין לשמאל.

Exercices

Exercice 1

חשבו בלי מחשבון: sin⁡40∘cos⁡20∘+cos⁡40∘sin⁡20∘\sin 40^\circ\cos 20^\circ+\cos 40^\circ\sin 20^\circ.

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. sin⁡20∘\sin 20^\circ
  3. 11
  4. 12\frac{1}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 32\frac{\sqrt{3}}{2}

Corrigé :

sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α+β)\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)

סינוס של סכום, מימין לשמאל

sin⁡60∘=32\sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}

זווית מיוחדת

הנכונה: 32\frac{\sqrt{3}}{2}. sin⁡20∘\sin 20^\circ מתקבל עם הנוסחה של הפרש, ו-12\frac{1}{2} הוא cos⁡60∘\cos 60^\circ, לא sin⁡60∘\sin 60^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו בלי מחשבון: cos⁡50∘cos⁡10∘−sin⁡50∘sin⁡10∘\cos 50^\circ\cos 10^\circ-\sin 50^\circ\sin 10^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α+β)\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)

המינוס באמצע: קוסינוס של סכום

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}

זווית מיוחדת

המינוס באמצע אומר «סכום», לא «הפרש». מי שחישב cos⁡40∘\cos 40^\circ התבלבל בסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את cos⁡275∘−sin⁡275∘\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.87

Corrigé :

cos⁡2α−sin⁡2α=cos⁡2α\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha

זווית כפולה

cos⁡150∘=−32≈−0.87\cos 150^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx -0.87

הרביע השני: קוסינוס שלילי

150∘150^\circ ברביע השני, ולכן התוצאה שלילית. בדיקה: sin⁡75∘>cos⁡75∘\sin 75^\circ>\cos 75^\circ, ולכן ההפרש שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון sin⁡α=0.28\sin\alpha=0.28. חשבו את cos⁡2α\cos 2\alpha.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8432

Corrigé :

cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha

הצורה עם sin⁡α\sin\alpha בלבד

=1−2⋅0.0784=0.8432=1-2\cdot 0.0784=0.8432

On remplace (מציבים)

אין צורך לדעת את cos⁡α\cos\alpha או את הרביע: הצורה 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha משתמשת רק בנתון. מי שקיבל 0.440.44 כתב 1−2sin⁡α1-2\sin\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

באיזה ביטוי אפשר להחליף את cos⁡2α\cos 2\alpha כך שיישאר רק sin⁡α\sin\alpha?

  1. 2sin⁡2α−12\sin^2\alpha-1
  2. 1−2sin⁡α1-2\sin\alpha
  3. 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha
  4. 1−sin⁡2α1-\sin^2\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha

Corrigé :

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α\begin{aligned}\cos 2\alpha &= \cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\ &= (1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\end{aligned}

מחליפים cos⁡2α\cos^2\alpha

=1−2sin⁡2α=1-2\sin^2\alpha

מכנסים

הנכונה: 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha. 2sin⁡2α−12\sin^2\alpha-1 הפוך בסימן. 1−sin⁡2α1-\sin^2\alpha הוא cos⁡2α\cos^2\alpha, לא cos⁡2α\cos 2\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: לכל α\alpha מתקיים sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

α=90∘: sin⁡180∘=02sin⁡90∘=2\begin{aligned}\alpha &= 90^\circ: \ \sin 180^\circ \\ &= 0 \\ \quad 2\sin 90^\circ &= 2\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה אינה נכונה. הנכון: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha. השוויון מתקיים רק כש-sin⁡α=0\sin\alpha=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לאיזה ביטוי שווה sin⁡7x+sin⁡3x\sin 7x+\sin 3x?

  1. 2sin⁡5xcos⁡2x2\sin 5x\cos 2x
  2. 2cos⁡5xsin⁡2x2\cos 5x\sin 2x
  3. 2sin⁡10xcos⁡4x2\sin 10x\cos 4x
  4. sin⁡10x\sin 10x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2sin⁡5xcos⁡2x2\sin 5x\cos 2x

Corrigé :

7x+3x2=5x7x−3x2=2x\begin{aligned}\frac{7x+3x}{2} &= 5x \\ \quad \frac{7x-3x}{2} &= 2x\end{aligned}

הזווית האמצעית וחצי ההפרש

2sin⁡5xcos⁡2x2\sin 5x\cos 2x

סכום סינוסים

הנכונה: 2sin⁡5xcos⁡2x2\sin 5x\cos 2x. 2cos⁡5xsin⁡2x2\cos 5x\sin 2x הוא ההפרש sin⁡7x−sin⁡3x\sin 7x-\sin 3x. 2sin⁡10xcos⁡4x2\sin 10x\cos 4x לא חילק ב-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון tan⁡α=3\tan\alpha=3 ו-tan⁡β=12\tan\beta=\frac{1}{2}. חשבו את tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

tan⁡(α+β)=3+121−3⋅12\tan(\alpha+\beta)=\frac{3+\frac{1}{2}}{1-3\cdot\frac{1}{2}}

נוסחת הטנגנס של סכום

=3.5−0.5=−7=\frac{3.5}{-0.5}=-7

On calcule

המכנה שלילי, ולכן התוצאה שלילית אף ששני הטנגנסים חיוביים. מי שענה 3.53.5 חיבר טנגנסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה פתרונות יש למשוואה cos⁡2x=0\cos 2x=0 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

2x=90∘+180∘k2x=90^\circ+180^\circ k

הפתרון הכללי של cos⁡θ=0\cos\theta=0

x=45∘+90∘k: 45∘ 135∘ 225∘ 315∘\begin{aligned}x &= 45^\circ+90^\circ k: \ 45^\circ \\ \ 135^\circ \\ \ 225^\circ \\ \ 315^\circ\end{aligned}

מחלקים ב-22 גם את המחזור

ארבעה. הזווית 2x2x מסתובבת פעמיים כש-xx מסתובב פעם אחת, ולכן יש פי שניים פתרונות. מי שענה 22 לא חילק את המחזור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהו הערך המדויק של sin⁡165∘\sin 165^\circ?

  1. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
  2. 3−12\frac{\sqrt{3}-1}{2}
  3. 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
  4. −6−24-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

Corrigé :

sin⁡165∘=sin⁡(180∘−15∘)=sin⁡15∘\begin{aligned}\sin 165^\circ &= \sin(180^\circ-15^\circ) \\ &= \sin 15^\circ\end{aligned}

אותו גובה על המעגל

sin⁡(45∘−30∘)=64−24\sin(45^\circ-30^\circ)=\tfrac{\sqrt{6}}{4}-\tfrac{\sqrt{2}}{4}

סינוס של הפרש

הנכונה: 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. ברביע השני הסינוס חיובי, ולכן האפשרות עם המינוס נפסלת. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} הוא sin⁡75∘\sin 75^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe