On résout ensemble · Identités trigonométriques · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: סכום של שתי זוויות, משוואה שבאה בסוף שאלה בגאומטריה, פונקציה שמתפשטת בעזרת זהות, ומשוואה עם סכום למכפלה ברדיאנים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם איזו זהות אתם הייתם בוחרים, ולמה. הבחירה היא חצי מהפתרון.

1 — סכום של שתי זוויות לא מיוחדות

Activité interactive

נתון $\tan\alpha=\frac{1}{2}$ ו- $\tan\beta=\frac{1}{3}$ , כאשר $\alpha$ ו- $\beta$ זוויות חדות. א. חשבו את $\tan(\alpha+\beta)$ . ב. הוכיחו כי $\alpha+\beta=45^\circ$ .

\begin{aligned}\tan\alpha &= \tfrac{1}{2} \\ \quad \tan\beta &= \tfrac{1}{3} \\ \quad 0^\circ<\alpha \\ \beta<90^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». אף אחת מהזוויות אינה מיוחדת, אבל הסכום שלהן כן.

א. הנוסחה

\tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}

נוסחת הטנגנס של סכום.

א. חישוב

=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1

המונה והמכנה שווים.

ב. תחום

\tan\alpha<1 ,\ \tan\beta<1 \ \Rightarrow \ \alpha<45^\circ ,\ \beta<45^\circ

בזוויות חדות הטנגנס עולה, ו- $\tan 45^\circ=1$ .

ב. מסקנה

\begin{aligned}0^\circ<\alpha+\beta<90^\circ \\ \ \tan(\alpha+\beta) &= 1 \ \Rightarrow \ \alpha+\beta \\ &= 45^\circ\end{aligned}

בתחום הזה רק זווית אחת שהטנגנס שלה $1$ .

בלי סעיף ב, $\tan(\alpha+\beta)=1$ היה מתאים גם ל- $225^\circ$ . התחום של הסכום הוא מה שמכריע.

Faire l'activité sur elev

ומה היה משתנה אם $\tan\alpha=2$ ו- $\tan\beta=3$ , ושתיהן חדות?

Voir la réponse et le corrigé

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{5}{1-6}=-1$ . עכשיו $\alpha,\beta>45^\circ$ , ולכן $90^\circ<\alpha+\beta<180^\circ$ . הזווית היחידה שם עם טנגנס $-1$ היא $135^\circ$ .

השאלות התאומות: שאלה 1 ושאלה 5 ברשימה למטה.

2 — משוואה בסוף שאלה בגאומטריה

Activité interactive

שני שטחים ומשוואה ב- $\alpha$

בסוף שאלה בגאומטריה הגעתם לשני שטחים באמצעות $R$ ו- $\alpha$ : $S_1=\frac{1}{2}R^2\sin 2\alpha$ ו- $S_2=\frac{1}{2}R^2\sin\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<90^\circ$ . נתון $S_1=\sqrt{2}\,S_2$ . מצאו את $\alpha$ .

$\alpha=45^\circ$

$\alpha=30^\circ$

$\alpha=60^\circ$

$\alpha=0^\circ$ או $\alpha=45^\circ$

מה עושים קודם?

מבטלים את $\frac{1}{2}R^2$ משני האגפים

Voir la réponse et le corrigé

$R>0$ , ולכן מותר לחלק.

מציבים $R=1$

Voir la réponse et le corrigé

התוצאה נכונה, אבל הנימוק חסר: צריך לומר שמחלקים ב- $R^2\neq 0$ .

\sin 2\alpha=\sqrt{2}\sin\alpha

משוואה עם שתי זוויות: $2\alpha$ ו- $\alpha$ .

איזו זהות?

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

Voir la réponse et le corrigé

מגיעים לזווית אחת, $\alpha$ .

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha$

Voir la réponse et le corrigé

זו אינה זהות. ב- $\alpha=60^\circ$ : $0.87$ מול $1.73$ .

\begin{aligned}2\sin\alpha\cos\alpha-\sqrt{2}\sin\alpha &= 0 \ \Rightarrow \ \sin\alpha\,(2\cos\alpha-\sqrt{2}) \\ &= 0\end{aligned}

גורם משותף.

מה עם $\sin\alpha=0$ ?

נפסל: $0^\circ<\alpha<90^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

זווית במשולש אינה $0^\circ$ .

$\alpha=0^\circ$ הוא פתרון

Voir la réponse et le corrigé

$0^\circ$ אינו בתחום, והשטחים היו $0$ .

\begin{aligned}\cos\alpha &= \tfrac{\sqrt{2}}{2} \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

הזווית החדה היחידה.

Voir la réponse et le corrigé

$\alpha=45^\circ$ . בדיקה: $\sin 90^\circ=1$ ו- $\sqrt{2}\sin 45^\circ=1$ ✓. החילוק ב- $\sin\alpha$ מותר כאן, אבל רק אחרי שמנמקים ש- $\sin\alpha\neq 0$ בתחום.

Faire l'activité sur elev

ואם היה נתון $S_1=2S_2$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha$ , כלומר $\cos\alpha=1$ ו- $\alpha=0^\circ$ — מחוץ לתחום. אין זווית כזו: תמיד $S_1<2S_2$ , כי $\cos\alpha<1$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פונקציה שמתפשטת: «האם הפונקציה מקבלת את הערך?»

Activité interactive

נתונה $f(x)=\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ . א. מצאו את הנקודות שבהן $f$ אינה מוגדרת. ב. הראו כי $f(x)=\cos x+\sin x$ בכל תחום ההגדרה. ג. הראו כי $f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ . ד. האם $f$ מקבלת את הערך $\sqrt{2}$ ?

\begin{aligned}f(x) &= \frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x} \\ \quad 0\le x\le 2\pi\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המכנה קודם: הוא יכריע את סעיף ד.

א.

\begin{aligned}\cos x-\sin x &= 0 \iff \tan x \\ &= 1 \iff x \\ &= \tfrac{\pi}{4} \\ \ \tfrac{5\pi}{4}\end{aligned}

בשתי הנקודות האלה $f$ אינה מוגדרת.

ב.

\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x}=\cos x+\sin x

$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ , הפרש ריבועים, וצמצום.

ג.

\sqrt{2}\left(\sin x\cos\tfrac{\pi}{4}+\cos x\sin\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)

סינוס של סכום, ו- $\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

ד. היכן

\begin{aligned}\sin\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right) &= 1 \iff x \\ &= \tfrac{\pi}{4}+2\pi k\end{aligned}

בתחום: רק $x=\frac{\pi}{4}$ .

ד. מסקנה

x=\tfrac{\pi}{4} \notin D_f

לא. הנקודה היחידה שבה הביטוי שווה ל- $\sqrt{2}$ היא «חור» בגרף.

הגרף של $f$ הוא גל של $\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ עם שני חורים — ושניהם בדיוק בשיא ובשפל. לכן $f$ אינה מקבלת את $\sqrt{2}$ ולא את $-\sqrt{2}$ .

Faire l'activité sur elev

האם $f$ מקבלת את הערך $-\sqrt{2}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$ רק ב- $x=\frac{5\pi}{4}$ , וגם זו נקודה שבה $f$ אינה מוגדרת. כל ערך אחר בין $-\sqrt{2}$ ל- $\sqrt{2}$ מתקבל.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — סכום למכפלה, פתרון כללי ותחום

Activité interactive

פתרו $\sin 3x+\sin x=\cos x$

פתרו את המשוואה $\sin 3x+\sin x=\cos x$ . כתבו פתרון כללי ברדיאנים, ומצאו את הפתרונות בתחום $0\le x\le\pi$ .

$\frac{\pi}{12} ,\ \frac{5\pi}{12} ,\ \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{12} ,\ \frac{5\pi}{12}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{6} ,\ \frac{\pi}{2} ,\ \frac{5\pi}{6}$

מה עושים עם אגף שמאל?

סכום למכפלה

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{3x+x}{2}=2x$ , $\frac{3x-x}{2}=x$ , ומופיע $\cos x$ — כמו באגף ימין.

$\sin 3x+\sin x=\sin 4x$

Voir la réponse et le corrigé

סכום סינוסים אינו סינוס של סכום.

2\sin 2x\cos x=\cos x

אותו $\cos x$ בשני האגפים.

ועכשיו?

מעבירים אגף ומוציאים $\cos x$

Voir la réponse et le corrigé

כך לא מאבדים פתרונות.

מחלקים ב- $\cos x$

Voir la réponse et le corrigé

מאבדים את $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ .

\cos x\,(2\sin 2x-1)=0

שתי משוואות בסיסיות.

מה הפתרון הכללי של $\sin 2x=\frac{1}{2}$ ?

$x=\frac{\pi}{12}+\pi k$ או $x=\frac{5\pi}{12}+\pi k$

Voir la réponse et le corrigé

$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ או $2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ , ומחלקים הכל ב- $2$ .

$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ או $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$

Voir la réponse et le corrigé

זה הפתרון של $\sin x=\frac{1}{2}$ . הזווית כאן היא $2x$ .

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2}+\pi k \quad \text{או} \quad x \\ &= \tfrac{\pi}{12}+\pi k \quad \text{או} \quad x \\ &= \tfrac{5\pi}{12}+\pi k\end{aligned}

הפתרון הכללי, עם $\cos x=0$ .

אילו פתרונות בתחום $0\le x\le\pi$ ?

$k=0$ בכל משפחה

Voir la réponse et le corrigé

עם $k=1$ כל המשפחות יוצאות מעל $\pi$ .

$k=0$ ו- $k=1$ בכל משפחה

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{13\pi}{12}>\pi$ .

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{12} \\ \ \tfrac{5\pi}{12} \\ \ \tfrac{\pi}{2}\end{aligned}

שלושה פתרונות.

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2}$ . מי שבחר רק שניים חילק ב- $\cos x$ . מי שבחר $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ שכח שהזווית היא $2x$ .

Faire l'activité sur elev

כמה פתרונות יש לאותה משוואה בתחום $0\le x\le 2\pi$ ?

Voir la réponse et le corrigé

שישה: $\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2}$ ועוד $\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{3\pi}{2}$ (עם $k=1$ ). מחזור $\pi$ בכל משפחה — שני סיבובים של חצי מעגל.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתון $\tan\alpha=2$ ו- $\tan\beta=3$ , כאשר $\alpha$ ו- $\beta$ זוויות חדות. מצאו את $\alpha+\beta$ במעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 135

Corrigé :

\begin{aligned}\tan(\alpha+\beta) &= \frac{2+3}{1-6} \\ &= -1\end{aligned}

נוסחת הטנגנס של סכום

\tan\alpha>1 ,\ \tan\beta>1 \ \Rightarrow \ 90^\circ<\alpha+\beta<180^\circ

כל זווית גדולה מ- $45^\circ$

\alpha+\beta=135^\circ

הזווית היחידה בתחום עם טנגנס $-1$

מי שענה $45^\circ$ לקח את הזווית של המחשבון בלי לבדוק את התחום. הטנגנס שלילי, והסכום קהה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בסוף שאלה בגאומטריה הגעתם לשטחים $S_1=R^2\sin 2\alpha$ ו- $S_2=R^2\cos\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<90^\circ$ . נתון $S_1=S_2$ . מצאו את $\alpha$ במעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

2\sin\alpha\cos\alpha=\cos\alpha

מחלקים ב- $R^2>0$ , וזווית כפולה

\cos\alpha\,(2\sin\alpha-1)=0

גורם משותף

\begin{aligned}\cos\alpha\neq 0 \ \Rightarrow \ \sin\alpha &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 30^\circ\end{aligned}

בתחום $\cos\alpha>0$ ; ו- $150^\circ$ אינו חד

שני פתרונות נפסלים בתחום: $\alpha=90^\circ$ (מ- $\cos\alpha=0$ ) ו- $\alpha=150^\circ$ . כותבים את הנימוק, לא רק את התשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=\frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x}$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ . הוכיחו או הפריכו: $f$ מקבלת את הערך $\sqrt{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= \cos x-\sin x \\ \quad \cos x+\sin x\neq 0\end{aligned}

הפרש ריבועים וצמצום

\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)

קוסינוס של סכום

\begin{aligned}\cos\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right) &= 1 \iff x \\ &= \tfrac{7\pi}{4}\end{aligned}

בתחום

\begin{aligned}\cos\tfrac{7\pi}{4}+\sin\tfrac{7\pi}{4} &= \tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 0\end{aligned}

שם המכנה $0$ : $f$ לא מוגדרת

הטענה אינה נכונה. הביטוי $\cos x-\sin x$ מגיע ל- $\sqrt{2}$ רק ב- $x=\frac{7\pi}{4}$ , ושם יש חור בגרף. הפישוט נכון רק בתחום ההגדרה של $f$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו את המשוואה $\sin 3x-\sin x=\cos 2x$ . כמה פתרונות יש לה בתחום $0\le x\le\pi$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

2\cos 2x\sin x=\cos 2x

הפרש סינוסים

\cos 2x\,(2\sin x-1)=0

גורם משותף — לא מחלקים

\begin{aligned}\cos 2x &= 0: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi k}{2} \ \Rightarrow \ \tfrac{\pi}{4} \\ \ \tfrac{3\pi}{4}\end{aligned}

$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k$

\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{1}{2}: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{5\pi}{6}\end{aligned}

שתי זוויות

ארבעה. מי שחילק ב- $\cos 2x$ קיבל רק את $\frac{\pi}{6}$ ו- $\frac{5\pi}{6}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו הערך המדויק של $\tan 15^\circ$ ?

$\sqrt{3}-2$
$\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
$2+\sqrt{3}$
$2-\sqrt{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2-\sqrt{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}\tan(45^\circ-30^\circ) &= \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}} \\ &= \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\end{aligned}

טנגנס של הפרש

\begin{aligned}\frac{(3-\sqrt{3})^2}{9-3} &= \frac{12-6\sqrt{3}}{6} \\ &= 2-\sqrt{3}\end{aligned}

מכפילים בצמוד

הנכונה: $2-\sqrt{3}\approx 0.27$ . $\sqrt{3}-2$ שלילי, אבל $15^\circ$ ברביע הראשון. $2+\sqrt{3}$ הוא $\tan 75^\circ$ . $\frac{\sqrt{3}}{3}-1$ חיסר טנגנסים.

Vérifier la réponse sur elev

1 — סכום של שתי זוויות לא מיוחדות

2 — משוואה בסוף שאלה בגאומטריה

3 — פונקציה שמתפשטת: «האם הפונקציה מקבלת את הערך?»

4 — סכום למכפלה, פתרון כללי ותחום

Exercices

La suite se pratique sur elev