Équations, preuves et simplifications

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

המשוואה cos⁡2x=sin⁡x\cos 2x=\sin x מערבת שתי זוויות ושתי פונקציות. זהות אחת הופכת אותה למשוואה ריבועית ב-sin⁡x\sin x, והפתרונות הם sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} ו-sin⁡x=−1\sin x=-1. אבל כמה זוויות זה? הישר על המעגל עונה.

פתרו את cos⁡2x=sin⁡x\cos 2x=\sin x בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

1−2sin⁡2x=sin⁡x1-2\sin^2 x=\sin x, כלומר 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^2 x+\sin x-1=0, ו-(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0(2\sin x-1)(\sin x+1)=0. sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} נותן 30∘30^\circ ו-150∘150^\circ. sin⁡x=−1\sin x=-1 נותן 270∘270^\circ. שלושה פתרונות.

השיטה: פונקציה אחת, זווית אחת

כמעט כל משוואה בפרק נפתרת באותו רעיון: להגיע למשוואה עם פונקציה אחת של זווית אחת, או למכפלה ששווה ל-00. הזהות נבחרת לפי מה שמופיע במשוואה.

cos⁡2x עם sin⁡x\cos 2x \ \text{עם} \ \sin x

מציבים cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x: משוואה ריבועית ב-sin⁡x\sin x

sin⁡2x=cos⁡x\sin 2x=\cos x

2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=02\sin x\cos x-\cos x=0: מוציאים גורם משותף cos⁡x\cos x, לא מחלקים בו

sin⁡3x+sin⁡x=0\sin 3x+\sin x=0

סכום למכפלה

sin⁡xcos⁡π6+cos⁡xsin⁡π6\sin x\cos\tfrac{\pi}{6}+\cos x\sin\tfrac{\pi}{6}

מזהים נוסחת סכום מימין לשמאל: sin⁡(x+π6)\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)

הפתרון הכללי ברדיאנים

ביחידה 5 כותבים את הפתרון גם ברדיאנים: 180∘=π180^\circ=\pi. סיבוב שלם הוא 2π2\pi, ולכן מוסיפים 2πk2\pi k במקום 360∘k360^\circ k. כאן kk הוא מספר שלם.

sin⁡x=a: x=x1+2πk או x=π−x1+2πk\begin{aligned}\sin x &= a: \ x \\ &= x_1+2\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \pi-x_1+2\pi k\end{aligned}

שתי משפחות: x1x_1 ו-π−x1\pi-x_1

cos⁡x=a: x=±x1+2πk\begin{aligned}\cos x &= a: \ x \\ &= \pm x_1+2\pi k\end{aligned}

שתי משפחות: x1x_1 ו-−x1-x_1

tan⁡x=a: x=x1+πk\begin{aligned}\tan x &= a: \ x \\ &= x_1+\pi k\end{aligned}

משפחה אחת, מחזור π\pi

גורם משותף, פתרון כללי ותחום

פתרו את sin⁡2x=cos⁡x\sin 2x=\cos x. כתבו פתרון כללי ברדיאנים, ומצאו את הפתרונות בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi.

2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=02\sin x\cos x-\cos x=0

זווית כפולה, והכל לאגף אחד

cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos x\,(2\sin x-1)=0

גורם משותף

cos⁡x=0 ⇒ x=π2+πk\begin{aligned}\cos x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2}+\pi k\end{aligned}

המשפחה הראשונה

sin⁡x=12 ⇒ x=π6+2πk או x=5π6+2πk\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{6}+2\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\end{aligned}

שתי משפחות נוספות

0≤x≤π: x=π6 π2 5π6\begin{aligned}0\le x\le\pi: \ x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{5\pi}{6}\end{aligned}

k=0k=0 בכל משפחה

למה אסור לחלק את 2sin⁡xcos⁡x=cos⁡x2\sin x\cos x=\cos x ב-cos⁡x\cos x?

Voir la réponse et le corrigé

כי ייתכן ש-cos⁡x=0\cos x=0, וזה בדיוק פתרון: ב-x=π2x=\frac{\pi}{2} שני האגפים שווים ל-00. החילוק מוחק את כל המשפחה x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k.

להוכיח זהות

זהות נכונה לכל xx שבו היא מוגדרת. מתחילים מאגף אחד, בדרך כלל המסובך, ומגיעים לאגף השני. אסור להציב זווית אחת ולהכריז שהוכח, ואסור «לפתור» את הזהות כאילו היא משוואה.

שלוש הטעויות שעולות נקודות.

2sin⁡xcos⁡x=cos⁡x ⇒ 2sin⁡x=1\begin{aligned}2\sin x\cos x &= \cos x \ \Rightarrow \ 2\sin x \\ &= 1\end{aligned}
cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos x\,(2\sin x-1)=0

החילוק ב-cos⁡x\cos x מוחק את x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k.

sin⁡x=12 ⇒ x=π6+2πk\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{6}+2\pi k\end{aligned}
x=π6+2πk או x=5π6+2πk\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6}+2\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\end{aligned}

שכחו את הזווית השנייה. הישר האופקי פוגש את המעגל פעמיים.

sin⁡2x=12 ⇒ x=π12+2πk\begin{aligned}\sin 2x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{12}+2\pi k\end{aligned}
x=π12+πk או x=5π12+πk\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{12}+\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \tfrac{5\pi}{12}+\pi k\end{aligned}

מחלקים ב-22 את כל הפתרון של 2x2x, גם את 2πk2\pi k.

סדר העבודה: (1) זהות שמשאירה פונקציה אחת או מכפלה. (2) פותרים משוואה בסיסית. (3) פתרון כללי. (4) רק בסוף מציבים kk ובוחרים את מה שבתחום. ובמשוואה ריבועית ב-sin⁡x\sin x: פוסלים כל ערך מחוץ ל-[−1,1][-1,1].

Exercices

Exercice 1

פתרו את המשוואה cos⁡2x=sin⁡x\cos 2x=\sin x בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ. מהו הפתרון הגדול, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 270

Corrigé :

1−2sin⁡2x=sin⁡x ⇒ 2sin⁡2x+sin⁡x−1=0\begin{aligned}1-2\sin^2 x &= \sin x \ \Rightarrow \ 2\sin^2 x+\sin x-1 \\ &= 0\end{aligned}

cos⁡2x\cos 2x בצורה עם sin⁡x\sin x

(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0(2\sin x-1)(\sin x+1)=0

Décomposition

x=30∘ 150∘ 270∘\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 150^\circ \\ \ 270^\circ\end{aligned}

sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} או sin⁡x=−1\sin x=-1

הגדול הוא 270∘270^\circ, מ-sin⁡x=−1\sin x=-1. מי שענה 150∘150^\circ איבד את הגורם sin⁡x+1\sin x+1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו הפתרון הכללי של המשוואה sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x=\sin x?

  1. x=πkx=\pi k או x=±π3+2πkx=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k
  2. x=πkx=\pi k
  3. x=±π3+2πkx=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k
  4. x=πkx=\pi k או x=±π6+2πkx=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x=πkx=\pi k או x=±π3+2πkx=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k

Corrigé :

2sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=0 ⇒ sin⁡x (2cos⁡x−1)=0\begin{aligned}2\sin x\cos x-\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ \sin x\,(2\cos x-1) \\ &= 0\end{aligned}

גורם משותף

sin⁡x=0 ⇒ x=πk\begin{aligned}\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pi k\end{aligned}

המשפחה הראשונה

cos⁡x=12 ⇒ x=±π3+2πk\begin{aligned}\cos x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\end{aligned}

הקוסינוס: פלוס-מינוס

הנכונה: x=πkx=\pi k או x=±π3+2πkx=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k. בלי x=πkx=\pi k חילקו ב-sin⁡x\sin x. ±π6\pm\frac{\pi}{6} הוא הזווית של sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2}, לא של cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כמה פתרונות יש למשוואה cos⁡2x+cos⁡x=0\cos 2x+\cos x=0 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2cos⁡2x−1+cos⁡x=02\cos^2 x-1+\cos x=0

cos⁡2x\cos 2x בצורה עם cos⁡x\cos x

(2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)=0(2\cos x-1)(\cos x+1)=0

Décomposition

cos⁡x=12: 60∘ 300∘cos⁡x=−1: 180∘\begin{aligned}\cos x &= \tfrac{1}{2}: \ 60^\circ \\ \ 300^\circ \qquad \cos x &= -1: \ 180^\circ\end{aligned}

הפתרונות בתחום

שלושה. cos⁡x=−1\cos x=-1 נותן נקודה אחת בסיבוב. אפשר גם בסכום למכפלה: 2cos⁡3x2cos⁡x2=02\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}=0, ומקבלים אותם שלושה פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x=\sin x בתחום 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

sin⁡x (2cos⁡x−1)=0\sin x\,(2\cos x-1)=0

גורם משותף

sin⁡x=0: x=0 π 2π\begin{aligned}\sin x &= 0: \ x \\ &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi\end{aligned}

שלושה, כולל שני הקצוות

cos⁡x=12: x=π3 5π3\begin{aligned}\cos x &= \tfrac{1}{2}: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{3} \\ \ \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

שניים

חמישה. התחום סגור, ולכן גם 00 וגם 2π2\pi נספרים. זה ההבדל מהתחום 0≤x<2π0\le x<2\pi, שבו יש ארבעה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: למשוואה sin⁡xcos⁡x=0.6\sin x\cos x=0.6 אין פתרון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin 2x

זווית כפולה

12sin⁡2x=0.6 ⇒ sin⁡2x=1.2>1\begin{aligned}\tfrac{1}{2}\sin 2x &= 0.6 \ \Rightarrow \ \sin 2x \\ &= 1.2>1\end{aligned}

אין סינוס כזה

הטענה נכונה. sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x נע בין −12-\frac{1}{2} ל-12\frac{1}{2} בלבד. בלי הזהות קשה לראות את זה, כי כל גורם לבד יכול להגיע ל-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו את המשוואה sin⁡xcos⁡20∘+cos⁡xsin⁡20∘=1\sin x\cos 20^\circ+\cos x\sin 20^\circ=1 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ. מהו xx, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 70

Corrigé :

sin⁡(x+20∘)=1\sin(x+20^\circ)=1

נוסחת הסכום מימין לשמאל

x+20∘=90∘+360∘kx+20^\circ=90^\circ+360^\circ k

לסינוס יש ערך 11 בנקודה אחת בסיבוב

x=70∘x=70^\circ

k=0k=0; עם k=1k=1 מקבלים 430∘430^\circ, מחוץ לתחום

אי אפשר לפתור את זה עם «סינוס של xx» לבד: צריך לזהות שכל אגף שמאל הוא סינוס אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

סדרו את שלבי הפתרון של cos⁡2x−5sin⁡x+2=0\cos 2x-5\sin x+2=0.

  • sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} או sin⁡x=−3\sin x=-3
  • x=π6+2πkx=\frac{\pi}{6}+2\pi k או x=5π6+2πkx=\frac{5\pi}{6}+2\pi k
  • מציבים cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x
  • מקבלים 2sin⁡2x+5sin⁡x−3=02\sin^2 x+5\sin x-3=0
  • פוסלים את sin⁡x=−3\sin x=-3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מציבים cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x · מקבלים 2sin⁡2x+5sin⁡x−3=02\sin^2 x+5\sin x-3=0 · sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} או sin⁡x=−3\sin x=-3 · פוסלים את sin⁡x=−3\sin x=-3 · x=π6+2πkx=\frac{\pi}{6}+2\pi k או x=5π6+2πkx=\frac{5\pi}{6}+2\pi k

Corrigé :

1−2sin⁡2x−5sin⁡x+2=0 ⇒ 2sin⁡2x+5sin⁡x−3=0\begin{aligned}1-2\sin^2 x-5\sin x+2 &= 0 \ \Rightarrow \ 2\sin^2 x+5\sin x-3 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב-−1-1

(2sin⁡x−1)(sin⁡x+3)=0(2\sin x-1)(\sin x+3)=0

Décomposition

sin⁡x=−3<−1\sin x=-3<-1

אין פתרון

הפסילה באה לפני הפתרון הכללי: sin⁡x=−3\sin x=-3 אינו נותן אף זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו כי לכל xx מתקיים sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x.

  • sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
  • sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x ו-cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x

sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x

Voir la réponse et le corrigé
  1. sin⁡3x=sin⁡2xcos⁡x+cos⁡2xsin⁡x\sin 3x=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x — סינוס של סכום, עם 3x=2x+x3x=2x+x
  2. sin⁡2xcos⁡x=2sin⁡xcos⁡2x\sin 2x\cos x=2\sin x\cos^2 x — זווית כפולה
  3. cos⁡2xsin⁡x=sin⁡x−2sin⁡3x\cos 2x\sin x=\sin x-2\sin^3 x — הצורה 1−2sin⁡2x1-2\sin^2 x
  4. 2sin⁡xcos⁡2x=2sin⁡x−2sin⁡3x2\sin x\cos^2 x=2\sin x-2\sin^3 x — הזהות היסודית: cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x=1-\sin^2 x
  5. sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x — מחברים

Corrigé :

(2sin⁡x−2sin⁡3x)+(sin⁡x−2sin⁡3x)=3sin⁡x−4sin⁡3x(2\sin x-2\sin^3 x)+(\sin x-2\sin^3 x)=3\sin x-4\sin^3 x

הסכום

כדי שיישאר רק sin⁡x\sin x, מחליפים כל cos⁡2x\cos^2 x ב-1−sin⁡2x1-\sin^2 x. המלכודת: לכתוב sin⁡3x=3sin⁡x\sin 3x=3\sin x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו הפתרון החיובי הקטן ביותר של המשוואה cos⁡2x=cos⁡x\cos 2x=\cos x, ברדיאנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.09

Corrigé :

2cos⁡2x−cos⁡x−1=0 ⇒ (2cos⁡x+1)(cos⁡x−1)=0\begin{aligned}2\cos^2 x-\cos x-1 &= 0 \ \Rightarrow \ (2\cos x+1)(\cos x-1) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב-cos⁡x\cos x

cos⁡x=1: x=2πkcos⁡x=−12: x=±2π3+2πk\begin{aligned}\cos x &= 1: \ x \\ &= 2\pi k \qquad \cos x \\ &= -\tfrac{1}{2}: \ x \\ &= \pm\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k\end{aligned}

שתי המשפחות

x=2π3≈2.09x=\tfrac{2\pi}{3}\approx 2.09

x=0x=0 אינו חיובי

הפתרון x=0x=0 אינו חיובי, ולכן הקטן ביותר הוא 2π3\frac{2\pi}{3}. מי שענה 1.051.05 לקח את π3\frac{\pi}{3}, הזווית של cos⁡x=+12\cos x=+\frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פשטו את sin⁡2x1−cos⁡2x\frac{\sin 2x}{1-\cos 2x} לכל xx שבו sin⁡x≠0\sin x\neq 0.

  1. 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}
  2. cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}
  3. 2cos⁡x2\cos x
  4. tan⁡x\tan x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}

Corrigé :

1−cos⁡2x=2sin⁡2x1-\cos 2x=2\sin^2 x

הצורה 1−2sin⁡2x1-2\sin^2 x

2sin⁡xcos⁡x2sin⁡2x=cos⁡xsin⁡x\frac{2\sin x\cos x}{2\sin^2 x}=\frac{\cos x}{\sin x}

מצמצמים

הנכונה: cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}. tan⁡x\tan x הוא ההפוך: הוא מתקבל מ-1−cos⁡2xsin⁡2x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}. בדיקה ב-x=π3x=\frac{\pi}{3}: הביטוי שווה ל-3/23/2=13\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}, ו-tan⁡π3=3\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3} לא מתאים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe