De la somme au produit

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שתי נקודות על מעגל היחידה: PP בזווית α=100∘\alpha=100^\circ ו-QQ בזווית β=20∘\beta=20^\circ. הגובה של האמצע MM הוא sin⁡α+sin⁡β2\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{2} — חצי סכום של סינוסים. הציור מראה שאפשר לכתוב אותו גם כמכפלה.

P בזווית 100°, Q בזווית 20°, ו-M אמצע הקטע PQ
PQMO60°-1-0.500.51-1-0.50.51xy
השיעורים של MM הם הממוצע של השיעורים של PP ושל QQ. והנקודה MM יושבת על הקרן של הזווית האמצעית, 100∘+20∘2=60∘\frac{100^\circ+20^\circ}{2}=60^\circ, במרחק cos⁡100∘−20∘2=cos⁡40∘\cos\frac{100^\circ-20^\circ}{2}=\cos 40^\circ מהראשית.

למה MM נמצאת על הקרן של 60∘60^\circ, ולמה OM=cos⁡40∘OM=\cos 40^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

OP=OQ=1OP=OQ=1, ולכן התיכון OMOM לבסיס PQPQ הוא גם חוצה הזווית וגם גובה. הזווית POQPOQ היא 80∘80^\circ, והחוצה יוצא בזווית 20∘+40∘=60∘20^\circ+40^\circ=60^\circ. בזווית הישרה שב-MM: OM=1⋅cos⁡40∘OM=1\cdot\cos 40^\circ.

הגובה של MM הוא OM⋅sin⁡60∘OM\cdot\sin 60^\circ. לכן sin⁡100∘+sin⁡20∘2=cos⁡40∘sin⁡60∘\frac{\sin 100^\circ+\sin 20^\circ}{2}=\cos 40^\circ\sin 60^\circ. כך נולדת הנוסחה הראשונה.

ארבע הנוסחאות

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

בכל הנוסחאות מופיעות הזווית האמצעית α+β2\frac{\alpha+\beta}{2} וחצי ההפרש α−β2\frac{\alpha-\beta}{2}. ולמה צריך אותן? מכפלה שווה ל-00 כשאחד הגורמים שווה ל-00. בסכום אין כלל כזה.

הפכו למכפלה ופשטו: sin⁡50∘−sin⁡10∘\sin 50^\circ-\sin 10^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

2cos⁡60∘2sin⁡40∘2=2cos⁡30∘sin⁡20∘=3sin⁡20∘2\cos\frac{60^\circ}{2}\sin\frac{40^\circ}{2}=2\cos 30^\circ\sin 20^\circ=\sqrt{3}\sin 20^\circ.

משוואה: מסכום למכפלה

פישוט שבר

פשטו את sin⁡5x+sin⁡xcos⁡5x+cos⁡x\frac{\sin 5x+\sin x}{\cos 5x+\cos x} לכל xx שבו המכנה אינו 00.

sin⁡5x+sin⁡x=2sin⁡3xcos⁡2x\sin 5x+\sin x=2\sin 3x\cos 2x

המונה: סכום סינוסים

cos⁡5x+cos⁡x=2cos⁡3xcos⁡2x\cos 5x+\cos x=2\cos 3x\cos 2x

המכנה: סכום קוסינוסים

2sin⁡3xcos⁡2x2cos⁡3xcos⁡2x=tan⁡3x\frac{2\sin 3x\cos 2x}{2\cos 3x\cos 2x}=\tan 3x

אותו גורם cos⁡2x\cos 2x למעלה ולמטה

שלוש הטעויות של סכום למכפלה.

sin⁡α+sin⁡β=sin⁡(α+β)\sin\alpha+\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)
sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

סכום סינוסים אינו סינוס של סכום. בדיקה: α=β=90∘\alpha=\beta=90^\circ נותן 22 מול 00.

cos⁡α−cos⁡β=2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

רק בנוסחה הזו יש מינוס בחזית. בדיקה: cos⁡0∘−cos⁡90∘=1>0\cos 0^\circ-\cos 90^\circ=1>0.

2sin⁡2xcos⁡x=0 ⇒ sin⁡2x=0\begin{aligned}2\sin 2x\cos x &= 0 \ \Rightarrow \ \sin 2x \\ &= 0\end{aligned}
sin⁡2x=0 או cos⁡x=0\begin{aligned}\sin 2x &= 0 \ \text{או} \ \cos x \\ &= 0\end{aligned}

חילוק בגורם שעלול להיות 00 מוחק פתרונות.

מתי הופכים למכפלה? כשבמשוואה יש סכום של שני סינוסים או שני קוסינוסים ששווה ל-00, או כשמופיעה אותה זווית גם במקום אחר. אחרי ההמרה מחפשים גורם משותף — ולא מחלקים בו.

Exercices

Exercice 1

לאיזה ביטוי שווה sin⁡5x+sin⁡3x\sin 5x+\sin 3x?

  1. 2sin⁡8xcos⁡2x2\sin 8x\cos 2x
  2. sin⁡8x\sin 8x
  3. 2sin⁡4xcos⁡x2\sin 4x\cos x
  4. 2cos⁡4xsin⁡x2\cos 4x\sin x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2sin⁡4xcos⁡x2\sin 4x\cos x

Corrigé :

5x+3x2=4x5x−3x2=x\begin{aligned}\frac{5x+3x}{2} &= 4x \\ \quad \frac{5x-3x}{2} &= x\end{aligned}

הזווית האמצעית וחצי ההפרש

sin⁡5x+sin⁡3x=2sin⁡4xcos⁡x\sin 5x+\sin 3x=2\sin 4x\cos x

סכום סינוסים

הנכונה: 2sin⁡4xcos⁡x2\sin 4x\cos x. 2sin⁡8xcos⁡2x2\sin 8x\cos 2x שכח לחלק ב-22. 2cos⁡4xsin⁡x2\cos 4x\sin x היא הנוסחה של הפרש סינוסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

לאיזה ביטוי שווה cos⁡7x−cos⁡3x\cos 7x-\cos 3x?

  1. 2sin⁡5xsin⁡2x2\sin 5x\sin 2x
  2. −2cos⁡5xcos⁡2x-2\cos 5x\cos 2x
  3. cos⁡4x\cos 4x
  4. −2sin⁡5xsin⁡2x-2\sin 5x\sin 2x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −2sin⁡5xsin⁡2x-2\sin 5x\sin 2x

Corrigé :

7x+3x2=5x7x−3x2=2x\begin{aligned}\frac{7x+3x}{2} &= 5x \\ \quad \frac{7x-3x}{2} &= 2x\end{aligned}

הזווית האמצעית וחצי ההפרש

cos⁡7x−cos⁡3x=−2sin⁡5xsin⁡2x\cos 7x-\cos 3x=-2\sin 5x\sin 2x

הפרש קוסינוסים: מינוס בחזית

הנכונה: −2sin⁡5xsin⁡2x-2\sin 5x\sin 2x. בלי המינוס הסימן הפוך. cos⁡4x\cos 4x מחסר זוויות במקום קוסינוסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו הערך המדויק של sin⁡75∘+sin⁡15∘\sin 75^\circ+\sin 15^\circ?

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. 11
  3. 62\frac{\sqrt{6}}{2}
  4. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 62\frac{\sqrt{6}}{2}

Corrigé :

2sin⁡90∘2cos⁡60∘2=2sin⁡45∘cos⁡30∘2\sin\frac{90^\circ}{2}\cos\frac{60^\circ}{2}=2\sin 45^\circ\cos 30^\circ

סכום סינוסים

=2⋅22⋅32=62=2\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{6}}{2}

זוויות מיוחדות

הנכונה: 62≈1.22\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1.22. 1=sin⁡90∘1=\sin 90^\circ — זה שוב סינוס של סכום במקום סכום של סינוסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו בלי מחשבון: cos⁡80∘+cos⁡40∘−cos⁡20∘\cos 80^\circ+\cos 40^\circ-\cos 20^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

cos⁡80∘+cos⁡40∘=2cos⁡60∘cos⁡20∘\cos 80^\circ+\cos 40^\circ=2\cos 60^\circ\cos 20^\circ

סכום קוסינוסים

2⋅12⋅cos⁡20∘=cos⁡20∘2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\cos 20^\circ=\cos 20^\circ

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\frac{1}{2}

cos⁡20∘−cos⁡20∘=0\cos 20^\circ-\cos 20^\circ=0

התוצאה

שני המחוברים הראשונים מתאחדים ל-cos⁡20∘\cos 20^\circ בדיוק. מספיק לזהות איזה זוג לחבר: הזוג 80∘80^\circ ו-40∘40^\circ נותן זווית אמצעית מיוחדת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡3x−sin⁡x=0\sin 3x-\sin x=0 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ\le x\le 180^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

2cos⁡2xsin⁡x=02\cos 2x\sin x=0

הפרש סינוסים

cos⁡2x=0 ⇒ x=45∘ 135∘\begin{aligned}\cos 2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 45^\circ \\ \ 135^\circ\end{aligned}

x=45∘+90∘kx=45^\circ+90^\circ k

sin⁡x=0 ⇒ x=0∘ 180∘\begin{aligned}\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0^\circ \\ \ 180^\circ\end{aligned}

שני הקצוות בתחום

ארבעה. הקצוות 0∘0^\circ ו-180∘180^\circ נכללים, כי התחום סגור. מי שחילק ב-sin⁡x\sin x קיבל רק שניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: לכל xx מתקיים sin⁡x+sin⁡3x=sin⁡4x\sin x+\sin 3x=\sin 4x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x=30∘: sin⁡30∘+sin⁡90∘=1.5\begin{aligned}x &= 30^\circ: \ \sin 30^\circ+\sin 90^\circ \\ &= 1.5\end{aligned}

אגף שמאל

sin⁡120∘=32≈0.87≠1.5\sin 120^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87 \neq 1.5

אגף ימין

הטענה אינה נכונה. הנכון: sin⁡x+sin⁡3x=2sin⁡2xcos⁡x\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x. שימו לב: ב-x=90∘x=90^\circ שני האגפים שווים (0=00=0). דוגמה שמתאימה אינה הוכחה; דוגמה נגדית אחת היא הפרכה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

התאימו לכל ביטוי את המכפלה השווה לו. כאן m=α+β2m=\frac{\alpha+\beta}{2} ו-d=α−β2d=\frac{\alpha-\beta}{2}.

  • sin⁡α+sin⁡β\sin\alpha+\sin\beta
  • sin⁡α−sin⁡β\sin\alpha-\sin\beta
  • cos⁡α+cos⁡β\cos\alpha+\cos\beta
  • cos⁡α−cos⁡β\cos\alpha-\cos\beta
  • −2sin⁡msin⁡d-2\sin m\sin d
  • 2cos⁡mcos⁡d2\cos m\cos d
  • 2cos⁡msin⁡d2\cos m\sin d
  • 2sin⁡mcos⁡d2\sin m\cos d
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡α+sin⁡β\sin\alpha+\sin\beta — 2sin⁡mcos⁡d2\sin m\cos d · sin⁡α−sin⁡β\sin\alpha-\sin\beta — 2cos⁡msin⁡d2\cos m\sin d · cos⁡α+cos⁡β\cos\alpha+\cos\beta — 2cos⁡mcos⁡d2\cos m\cos d · cos⁡α−cos⁡β\cos\alpha-\cos\beta — −2sin⁡msin⁡d-2\sin m\sin d

Corrigé :

α=β: sin⁡α−sin⁡β=0=2cos⁡msin⁡0\begin{aligned}\alpha &= \beta: \ \sin\alpha-\sin\beta \\ &= 0 \\ &= 2\cos m\sin 0\end{aligned}

בדיקה: בהפרש חייב להופיע sin⁡d\sin d

α=β=0: cos⁡α+cos⁡β=2=2cos⁡0cos⁡0\begin{aligned}\alpha &= \beta \\ &= 0: \ \cos\alpha+\cos\beta \\ &= 2 \\ &= 2\cos 0\cos 0\end{aligned}

בדיקה בזווית אפס

דרך לזכור: בהפרש מופיע sin⁡d\sin d, כי כש-α=β\alpha=\beta ההפרש מתאפס. רק בהפרש הקוסינוסים יש מינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פשטו: sin⁡3x+sin⁡xcos⁡3x+cos⁡x=tan⁡(kx)\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}=\tan(kx), לכל xx שבו המכנה אינו 00. השלימו.

k=k= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k=k= 2

Corrigé :

2sin⁡2xcos⁡x2cos⁡2xcos⁡x\frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x}

סכום למכפלה במונה ובמכנה

=sin⁡2xcos⁡2x=tan⁡2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x

מצמצמים ב-2cos⁡x2\cos x

הזווית בטנגנס היא הזווית האמצעית 3x+x2=2x\frac{3x+x}{2}=2x, לא 4x4x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡5x+sin⁡x=0\sin 5x+\sin x=0 בתחום 0∘≤x<180∘0^\circ\le x<180^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

2sin⁡3xcos⁡2x=02\sin 3x\cos 2x=0

סכום סינוסים

sin⁡3x=0 ⇒ x=60∘k ⇒ 0∘ 60∘ 120∘\begin{aligned}\sin 3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 60^\circ k \ \Rightarrow \ 0^\circ \\ \ 60^\circ \\ \ 120^\circ\end{aligned}

3x=180∘k3x=180^\circ k

cos⁡2x=0 ⇒ x=45∘+90∘k ⇒ 45∘ 135∘\begin{aligned}\cos 2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 45^\circ+90^\circ k \ \Rightarrow \ 45^\circ \\ \ 135^\circ\end{aligned}

2x=90∘+180∘k2x=90^\circ+180^\circ k

חמישה: 0∘,45∘,60∘,120∘,135∘0^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 135^\circ. 180∘180^\circ אינו בתחום, כי הקצה פתוח. בכל גורם מחלקים גם את המחזור.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe