L'angle double

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מכפילים את הזווית — האם גם הסינוס מוכפל? sin⁡(2⋅60∘)=sin⁡120∘≈0.87\sin(2\cdot 60^\circ)=\sin 120^\circ\approx 0.87, אבל 2sin⁡60∘≈1.732\sin 60^\circ\approx 1.73. הגרף מראה שזה לא מקרה.

y = sin 2x מול y = 2 sin x
04590135180225270315360-2-1012x°y
  • y = sin 2x
  • y = 2 sin x
y=2sin⁡xy=2\sin x מגיעה עד 22. y=sin⁡2xy=\sin 2x נשארת בין −1-1 ל-11, ומשלימה שני מחזורים באותו קטע. שני הגרפים נפגשים רק בשלוש הנקודות המסומנות.

לפי הגרף: לאילו xx בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ\le x\le 360^\circ מתקיים sin⁡2x=2sin⁡x\sin 2x=2\sin x?

Voir la réponse et le corrigé

רק ל-x=0∘x=0^\circ, 180∘180^\circ ו-360∘360^\circ. באלגברה: 2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡x2\sin x\cos x=2\sin x, כלומר sin⁡x(cos⁡x−1)=0\sin x(\cos x-1)=0. גם cos⁡x=1\cos x=1 נותן את אותן נקודות.

הנוסחאות: מציבים β=α\beta=\alpha

הזווית הכפולה היא מקרה פרטי של נוסחת הסכום: 2α=α+α2\alpha=\alpha+\alpha. מציבים β=α\beta=\alpha ומקבלים:

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\begin{aligned}\cos 2\alpha &= \cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\ &= 2\cos^2\alpha-1 \\ &= 1-2\sin^2\alpha\end{aligned}

שלוש הצורות של cos⁡2α\cos 2\alpha שוות זו לזו: עוברים ביניהן בעזרת sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. בוחרים את הצורה שמשאירה פונקציה אחת. אם בביטוי יש sin⁡x\sin x, בוחרים 1−2sin⁡2x1-2\sin^2 x. אם יש cos⁡x\cos x, בוחרים 2cos⁡2x−12\cos^2 x-1.

cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}

מבודדים מ-cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1

sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}

מבודדים מ-cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

מציבים β=α\beta=\alpha בנוסחת הטנגנס

חשבו את cos⁡215∘\cos^2 15^\circ בעזרת cos⁡30∘\cos 30^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

cos⁡215∘=1+cos⁡30∘2=1+322=2+34≈0.933\cos^2 15^\circ=\frac{1+\cos 30^\circ}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\approx 0.933.

מערך אחד לזווית הכפולה

פישוט בעזרת הזווית הכפולה

פשטו את הביטוי sin⁡2x1+cos⁡2x\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} (עבור cos⁡x≠0\cos x\neq 0).

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x

המונה

1+cos⁡2x=1+(2cos⁡2x−1)=2cos⁡2x\begin{aligned}1+\cos 2x &= 1+(2\cos^2 x-1) \\ &= 2\cos^2 x\end{aligned}

בוחרים את הצורה שמבטלת את ה-11

2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\begin{aligned}\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x} &= \frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \tan x\end{aligned}

מצמצמים

שלוש הטעויות של הזווית הכפולה.

sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

הגרף למעלה: 2sin⁡x2\sin x מגיע עד 22, ו-sin⁡2x\sin 2x לא.

cos⁡2α=2cos⁡α−1\cos 2\alpha=2\cos\alpha-1
cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1

הריבוע נעלם. בדיקה ב-α=60∘\alpha=60^\circ: cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}, אבל 2cos⁡60∘−1=02\cos 60^\circ-1=0.

90∘<α<180∘⇒cos⁡α=4590^\circ<\alpha<180^\circ \Rightarrow \cos\alpha=\tfrac{4}{5}
cos⁡α=−45\cos\alpha=-\tfrac{4}{5}

הרביע קובע את הסימן. טעות כאן הופכת את הסימן של sin⁡2α\sin 2\alpha.

sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin 2\alpha. כך הופכים מכפלה של סינוס וקוסינוס לביטוי אחד. זה חוזר בשאלות שטח ובחקירת פונקציות: sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x נע רק בין −12-\frac{1}{2} ל-12\frac{1}{2}.

Exercices

Exercice 1

נתון sin⁡α=0.6\sin\alpha=0.6 ו-α\alpha זווית חדה. חשבו את sin⁡2α\sin 2\alpha.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.96

Corrigé :

cos⁡α=1−0.36=0.8\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{1-0.36} \\ &= 0.8\end{aligned}

זווית חדה

sin⁡2α=2⋅0.6⋅0.8=0.96\begin{aligned}\sin 2\alpha &= 2\cdot 0.6\cdot 0.8 \\ &= 0.96\end{aligned}

זווית כפולה

מי שענה 1.21.2 כתב 2sin⁡α2\sin\alpha — וסינוס אינו גדול מ-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון cos⁡α=0.4\cos\alpha=0.4. חשבו את cos⁡2α\cos 2\alpha.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.68

Corrigé :

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1

הצורה עם cos⁡α\cos\alpha בלבד

=2⋅0.16−1=−0.68=2\cdot 0.16-1=-0.68

On remplace (מציבים)

לא צריך לדעת את sin⁡α\sin\alpha, וגם לא את הרביע: הצורה 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha-1 משתמשת רק בנתון. מי שקיבל −0.2-0.2 כתב 2cos⁡α−12\cos\alpha-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

איזה מהביטויים אינו שווה ל-cos⁡2α\cos 2\alpha לכל α\alpha?

  1. cos⁡2α−sin⁡2α\cos^2\alpha-\sin^2\alpha
  2. 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha-1
  3. 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha
  4. 2sin⁡2α−12\sin^2\alpha-1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 2sin⁡2α−12\sin^2\alpha-1

Corrigé :

2sin⁡2α−1=−(1−2sin⁡2α)=−cos⁡2α\begin{aligned}2\sin^2\alpha-1 &= -(1-2\sin^2\alpha) \\ &= -\cos 2\alpha\end{aligned}

הסימן הפוך

α=0∘: 2⋅0−1=−1≠1=cos⁡0∘\begin{aligned}\alpha &= 0^\circ: \ 2\cdot 0-1 \\ &= -1 \neq 1 \\ &= \cos 0^\circ\end{aligned}

בדיקה בזווית אחת מספיקה כדי לפסול

הנכונה: 2sin⁡2α−12\sin^2\alpha-1. זו −cos⁡2α-\cos 2\alpha. שלוש האחרות הן שלוש הצורות של cos⁡2α\cos 2\alpha מדף הנוסחאות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו בלי מחשבון: sin⁡15∘cos⁡15∘\sin 15^\circ\cos 15^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{1}{2}\sin 2\alpha

הזווית הכפולה, הפוך

12sin⁡30∘=12⋅12=14\begin{aligned}\tfrac{1}{2}\sin 30^\circ &= \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

זווית מיוחדת

אפשר גם לכפול 6−24⋅6+24=416\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{4}{16} — אותה תוצאה, יותר עבודה. מי שענה 12\frac{1}{2} שכח את החצי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו הערך המדויק של cos⁡222.5∘−sin⁡222.5∘\cos^2 22.5^\circ-\sin^2 22.5^\circ?

  1. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. 11
  3. 2\sqrt{2}
  4. 12\frac{1}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 22\frac{\sqrt{2}}{2}

Corrigé :

cos⁡2α−sin⁡2α=cos⁡2α\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha

הצורה הראשונה של הזווית הכפולה

cos⁡45∘=22\cos 45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2}

זווית מיוחדת

הנכונה: 22\frac{\sqrt{2}}{2}. מי שענה 11 קרא cos⁡2+sin⁡2\cos^2+\sin^2 במקום cos⁡2−sin⁡2\cos^2-\sin^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: לכל α\alpha מתקיים (sin⁡α+cos⁡α)2=1+sin⁡2α(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin 2\alpha.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(sin⁡α+cos⁡α)2=sin⁡2α+cos⁡2α+2sin⁡αcos⁡α(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha

נוסחת הכפל המקוצר

=1+sin⁡2α=1+\sin 2\alpha

הזהות היסודית והזווית הכפולה

הטענה נכונה. המסקנה שימושית: (sin⁡α+cos⁡α)2≤2(\sin\alpha+\cos\alpha)^2\le 2, ולכן sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha+\cos\alpha אינו גדול מ-2\sqrt{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5} ו-90∘<α<180∘90^\circ<\alpha<180^\circ. מהו tan⁡2α\tan 2\alpha?

  1. −724-\frac{7}{24}
  2. −32-\frac{3}{2}
  3. −247-\frac{24}{7}
  4. 247\frac{24}{7}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −247-\frac{24}{7}

Corrigé :

cos⁡α=−45tan⁡α=−34\begin{aligned}\cos\alpha &= -\tfrac{4}{5} \\ \quad \tan\alpha &= -\tfrac{3}{4}\end{aligned}

הרביע השני

tan⁡2α=2⋅(−34)1−916=−32716=−247\begin{aligned}\tan 2\alpha &= \frac{2\cdot(-\frac{3}{4})}{1-\frac{9}{16}} \\ &= \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} \\ &= -\frac{24}{7}\end{aligned}

זווית כפולה לטנגנס

sin⁡2αcos⁡2α=−24/257/25=−247\begin{aligned}\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} &= \frac{-24/25}{7/25} \\ &= -\frac{24}{7}\end{aligned}

בדיקה בדרך שנייה

הנכונה: −247-\frac{24}{7}. 247\frac{24}{7} מתקבל עם cos⁡α=45\cos\alpha=\frac{4}{5} — הרביע נשכח. −32-\frac{3}{2} הוא 2tan⁡α2\tan\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הביעו את cos⁡4x\cos 4x באמצעות cos⁡2x\cos 2x: cos⁡4x=acos⁡22x+b\cos 4x=a\cos^2 2x+b. השלימו.

a=a= ____ , b=b= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= 2 , b=b= -1

Corrigé :

cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1θ=2x\begin{aligned}\cos 2\theta &= 2\cos^2\theta-1 \\ \quad \theta &= 2x\end{aligned}

הזווית הכפולה של 2x2x היא 4x4x

cos⁡4x=2cos⁡22x−1\cos 4x=2\cos^2 2x-1

On remplace (מציבים)

הנוסחה עובדת לכל זווית: אם θ=2x\theta=2x אז 2θ=4x2\theta=4x. מי שכתב cos⁡4x=2cos⁡2x\cos 4x=2\cos 2x הכפיל את הקוסינוס במקום את הזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון cos⁡α=−0.8\cos\alpha=-0.8 ו-180∘<α<270∘180^\circ<\alpha<270^\circ. בחישוב של sin⁡2α\sin 2\alpha שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

sin⁡α=−0.6\sin\alpha=-0.6
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
=2⋅(−0.6)⋅(−0.8)=−0.96=2\cdot(-0.6)\cdot(-0.8)=-0.96
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =2⋅(−0.6)⋅(−0.8)=−0.96=2\cdot(-0.6)\cdot(-0.8)=-0.96 → =2⋅(−0.6)⋅(−0.8)=0.96=2\cdot(-0.6)\cdot(-0.8)=0.96

Corrigé :

sin⁡α=−0.6\sin\alpha=-0.6

ברביע השלישי הסינוס שלילי: נכון

(−0.6)⋅(−0.8)=+0.48(-0.6)\cdot(-0.8)=+0.48

מינוס כפול מינוס

360∘<2α<540∘360^\circ<2\alpha<540^\circ

בדיקה: 2α2\alpha ברביע הראשון או השני, וסינוס חיובי מתאים

שני גורמים שליליים נותנים מכפלה חיובית. בדיקת הרביע של 2α2\alpha מאשרת את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הוכיחו כי 1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x לכל xx שבו sin⁡2x≠0\sin 2x\neq 0.

  • sin⁡2x≠0\sin 2x\neq 0
  • cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x
  • sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x

1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x

Voir la réponse et le corrigé
  1. 1−cos⁡2x=2sin⁡2x1-\cos 2x=2\sin^2 x — הצורה 1−2sin⁡2x1-2\sin^2 x של cos⁡2x\cos 2x
  2. 1−cos⁡2xsin⁡2x=2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x} — מציבים במונה ובמכנה
  3. 2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x=sin⁡xcos⁡x\frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x} — מצמצמים ב-2sin⁡x≠02\sin x\neq 0
  4. 1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x — הגדרת הטנגנס

Corrigé :

2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x=sin⁡xcos⁡x\frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}

מבטלים את ה-11 ומצמצמים

הצמצום ב-sin⁡x\sin x מותר כי sin⁡2x≠0\sin 2x\neq 0, ולכן sin⁡x≠0\sin x\neq 0. בוחרים את הצורה 1−2sin⁡2x1-2\sin^2 x כי היא מבטלת את ה-11.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe