Sinus et cosinus d'une somme et d'une différence

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כמה זה sin⁡75∘\sin 75^\circ? מפרקים 75∘=30∘+45∘75^\circ=30^\circ+45^\circ ומחברים את הסינוסים: 12+22≈1.21\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1.21. זה יותר מ-11, ואין סינוס כזה. הסתכלו בציור לפני כל נוסחה.

הגובה של הנקודות ב-30°, ב-45° וב-75° על מעגל היחידה
30°45°75°0.50.710.97-1-0.500.51-1-0.50.51xy
הגובה של הנקודה ב-75∘75^\circ הוא בערך 0.970.97, ולא 0.5+0.71=1.210.5+0.71=1.21. סיבוב נוסף של 45∘45^\circ אינו מוסיף 0.710.71 לגובה: כמה הוא מוסיף תלוי במקום שממנו מתחילים.

לפי הציור: האם sin⁡(30∘+45∘)=sin⁡30∘+sin⁡45∘\sin(30^\circ+45^\circ)=\sin 30^\circ+\sin 45^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. אגף ימין הוא בערך 1.211.21, ושום סינוס אינו גדול מ-11. בציור הגובה של 75∘75^\circ הוא בערך 0.970.97. הסינוס של סכום אינו סכום הסינוסים.

ארבע נוסחאות הסכום וההפרש

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

שימו לב לסימן. בסינוס הסימן נשמר: בסכום ++ ובהפרש −-. בקוסינוס הסימן מתהפך: בקוסינוס של סכום יש מינוס. הנוסחאות נמצאות בדף הנוסחאות; מה שצריך ללמוד הוא לזהות מתי הן עוזרות.

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

ערכים מדויקים: 15∘15^\circ, 75∘75^\circ, 105∘105^\circ

בלי חישוב נוסף: מהו הערך המדויק של cos⁡75∘\cos 75^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

cos⁡75∘=sin⁡15∘=6−24\cos 75^\circ=\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, כי 75∘+15∘=90∘75^\circ+15^\circ=90^\circ ו-cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha.

קוסינוס של סכום, כשהזוויות לא מיוחדות

נתון sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5} ו-α\alpha זווית חדה. נתון cos⁡β=−513\cos\beta=-\frac{5}{13} ו-90∘<β<180∘90^\circ<\beta<180^\circ. חשבו את cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta).

cos⁡α=1−925=45\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{1-\tfrac{9}{25}} \\ &= \tfrac{4}{5}\end{aligned}

α\alpha חדה, ולכן הקוסינוס חיובי

sin⁡β=1−25169=1213\begin{aligned}\sin\beta &= \sqrt{1-\tfrac{25}{169}} \\ &= \tfrac{12}{13}\end{aligned}

ברביע השני הסינוס חיובי

cos⁡(α+β)=45⋅(−513)−35⋅1213\cos(\alpha+\beta)=\tfrac{4}{5}\cdot\left(-\tfrac{5}{13}\right)-\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{12}{13}

קוסינוס של סכום: מינוס באמצע

=−2065−3665=−5665=-\tfrac{20}{65}-\tfrac{36}{65}=-\tfrac{56}{65}

התוצאה

חשבו את tan⁡75∘\tan 75^\circ בעזרת tan⁡(45∘+30∘)\tan(45^\circ+30^\circ).

Voir la réponse et le corrigé

1+131−13=3+13−1=(3+1)22=2+3≈3.73\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}=2+\sqrt{3}\approx 3.73.

שלוש הטעויות של נוסחאות הסכום.

sin⁡(α+β)=sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta
sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

בדיקה: α=β=90∘\alpha=\beta=90^\circ. משמאל sin⁡180∘=0\sin 180^\circ=0, מימין 22.

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

בקוסינוס הסימן מתהפך: בסכום יש מינוס.

sin⁡(α−β)=cos⁡αsin⁡β−sin⁡αcos⁡β\sin(\alpha-\beta)=\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta
sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

בהפרש הסדר חשוב. ההחלפה הופכת את הסימן של כל התוצאה.

«ערך מדויק» פירושו שורשים ושברים, לא 0.2590.259. את המחשבון משאירים לבדיקה: אם 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} ו-sin⁡15∘\sin 15^\circ נותנים אותו מספר, החישוב נכון.

Exercices

Exercice 1

מהו הערך המדויק של cos⁡15∘\cos 15^\circ?

  1. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
  2. 3+12\frac{\sqrt{3}+1}{2}
  3. 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
  4. 64\frac{\sqrt{6}}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Corrigé :

cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 45^\circ\sin 30^\circ

קוסינוס של הפרש: פלוס באמצע

=64+24=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}

On remplace (מציבים)

הנכונה: 6+24≈0.966\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0.966. 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} מתקבל כשכותבים מינוס בקוסינוס של הפרש. 3+12≈1.37\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx 1.37 גדול מ-11, ולכן אינו יכול להיות קוסינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו הערך המדויק של sin⁡105∘\sin 105^\circ?

  1. 2−64\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}
  2. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
  3. 3+22\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}
  4. 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Corrigé :

sin⁡(60∘+45∘)=sin⁡60∘cos⁡45∘+cos⁡60∘sin⁡45∘\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin 60^\circ\cos 45^\circ+\cos 60^\circ\sin 45^\circ

סינוס של סכום

=64+24=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}

On remplace (מציבים)

הנכונה: 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}. 105∘105^\circ ברביע השני, ושם הסינוס חיובי, ולכן 2−64<0\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}<0 נפסל מיד. 3+22\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2} חיבר סינוסים וגדול מ-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5} ו-sin⁡β=513\sin\beta=\frac{5}{13}, ושתי הזוויות חדות. חשבו את sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.86

Corrigé :

cos⁡α=45cos⁡β=1213\begin{aligned}\cos\alpha &= \tfrac{4}{5} \\ \quad \cos\beta &= \tfrac{12}{13}\end{aligned}

זוויות חדות: קוסינוס חיובי

sin⁡(α+β)=35⋅1213+45⋅513=5665\begin{aligned}\sin(\alpha+\beta) &= \tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{12}{13}+\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{5}{13} \\ &= \tfrac{56}{65}\end{aligned}

סינוס של סכום

5665≈0.86\tfrac{56}{65}\approx 0.86

עיגול

הנוסחה צריכה ארבעה ערכים, ונתונים רק שניים. מי שכתב 35+513≈0.98\frac{3}{5}+\frac{5}{13}\approx 0.98 חיבר סינוסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: לכל שתי זוויות α\alpha ו-β\beta מתקיים cos⁡(α−β)=cos⁡α−cos⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha-\cos\beta.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

α=β=60∘\begin{aligned}\alpha &= \beta \\ &= 60^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית

cos⁡0∘=1≠0=cos⁡60∘−cos⁡60∘\begin{aligned}\cos 0^\circ &= 1 \neq 0 \\ &= \cos 60^\circ-\cos 60^\circ\end{aligned}

אגף שמאל אינו שווה לאגף ימין

הטענה אינה נכונה. דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להפריך. הנוסחה הנכונה: cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

התאימו לכל ביטוי את הביטוי השווה לו לכל α\alpha. היעזרו בנוסחאות הסכום וההפרש.

  • sin⁡(90∘+α)\sin(90^\circ+\alpha)
  • cos⁡(90∘+α)\cos(90^\circ+\alpha)
  • cos⁡(180∘+α)\cos(180^\circ+\alpha)
  • cos⁡(α−90∘)\cos(\alpha-90^\circ)
  • −cos⁡α-\cos\alpha
  • −sin⁡α-\sin\alpha
  • cos⁡α\cos\alpha
  • sin⁡α\sin\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡(90∘+α)\sin(90^\circ+\alpha) — cos⁡α\cos\alpha · cos⁡(90∘+α)\cos(90^\circ+\alpha) — −sin⁡α-\sin\alpha · cos⁡(180∘+α)\cos(180^\circ+\alpha) — −cos⁡α-\cos\alpha · cos⁡(α−90∘)\cos(\alpha-90^\circ) — sin⁡α\sin\alpha

Corrigé :

sin⁡(90∘+α)=1⋅cos⁡α+0⋅sin⁡α\sin(90^\circ+\alpha)=1\cdot\cos\alpha+0\cdot\sin\alpha

sin⁡90∘=1\sin 90^\circ=1, cos⁡90∘=0\cos 90^\circ=0

cos⁡(90∘+α)=0⋅cos⁡α−1⋅sin⁡α\cos(90^\circ+\alpha)=0\cdot\cos\alpha-1\cdot\sin\alpha

מינוס בקוסינוס של סכום

cos⁡(180∘+α)=−cos⁡α−0\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha-0

cos⁡180∘=−1\cos 180^\circ=-1

cos⁡(α−90∘)=cos⁡α⋅0+sin⁡α⋅1\cos(\alpha-90^\circ)=\cos\alpha\cdot 0+\sin\alpha\cdot 1

פלוס בקוסינוס של הפרש

כשאחת הזוויות היא 90∘90^\circ או 180∘180^\circ, אחד משני המחוברים מתאפס. המלכודת היא הסימן של cos⁡(90∘+α)\cos(90^\circ+\alpha): הוא −sin⁡α-\sin\alpha ולא sin⁡α\sin\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון cos⁡α=0.6\cos\alpha=0.6 ו-270∘<α<360∘270^\circ<\alpha<360^\circ. נתון sin⁡β=0.8\sin\beta=0.8 ו-β\beta זווית חדה. חשבו את sin⁡(α−β)\sin(\alpha-\beta).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.96

Corrigé :

sin⁡α=−0.8\sin\alpha=-0.8

ברביע הרביעי הסינוס שלילי

cos⁡β=0.6\cos\beta=0.6

זווית חדה

sin⁡(α−β)=(−0.8)(0.6)−(0.6)(0.8)=−0.96\begin{aligned}\sin(\alpha-\beta) &= (-0.8)(0.6)-(0.6)(0.8) \\ &= -0.96\end{aligned}

סינוס של הפרש

שני המקומות שבהם טועים: הסימן של sin⁡α\sin\alpha ברביע הרביעי, והסימן באמצע הנוסחה. מי שקיבל 00 כתב sin⁡α=0.8\sin\alpha=0.8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון tan⁡α=2\tan\alpha=2 ו-tan⁡β=3\tan\beta=3. מהו tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta)?

  1. 55
  2. 11
  3. −1-1
  4. −15-\frac{1}{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −1-1

Corrigé :

tan⁡(α+β)=2+31−2⋅3\tan(\alpha+\beta)=\frac{2+3}{1-2\cdot 3}

נוסחת הטנגנס של סכום

=5−5=−1=\frac{5}{-5}=-1

On calcule

הנכונה: −1-1. 55 הוא רק המונה: טנגנס של סכום אינו סכום הטנגנסים. אם שתי הזוויות חדות, α+β=135∘\alpha+\beta=135^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בחישוב של cos⁡105∘\cos 105^\circ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

cos⁡105∘=cos⁡(60∘+45∘)\cos 105^\circ=\cos(60^\circ+45^\circ)
=cos⁡60∘cos⁡45∘+sin⁡60∘sin⁡45∘=\cos 60^\circ\cos 45^\circ+\sin 60^\circ\sin 45^\circ
=24+64=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =cos⁡60∘cos⁡45∘+sin⁡60∘sin⁡45∘=\cos 60^\circ\cos 45^\circ+\sin 60^\circ\sin 45^\circ → =cos⁡60∘cos⁡45∘−sin⁡60∘sin⁡45∘=\cos 60^\circ\cos 45^\circ-\sin 60^\circ\sin 45^\circ

Corrigé :

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

בקוסינוס של סכום יש מינוס

cos⁡105∘=2−64≈−0.26\cos 105^\circ=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\approx -0.26

התוצאה הנכונה

בדיקת סימן תופסת את הטעות: 105∘105^\circ ברביע השני, ושם הקוסינוס שלילי. התוצאה בשורה האחרונה חיובית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו בלי מחשבון: sin⁡70∘cos⁡40∘−cos⁡70∘sin⁡40∘\sin 70^\circ\cos 40^\circ-\cos 70^\circ\sin 40^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α−β)\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)

מזהים את הנוסחה מימין לשמאל

sin⁡(70∘−40∘)=sin⁡30∘=12\begin{aligned}\sin(70^\circ-40^\circ) &= \sin 30^\circ \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

זווית מיוחדת

כאן הנוסחה עובדת הפוך: מביטוי ארוך לסינוס אחד. אין צורך לדעת כמה זה sin⁡70∘\sin 70^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הוכיחו כי לכל α\alpha ו-β\beta מתקיים cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta.

  • α\alpha, β\beta זוויות כלשהן
  • sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1

cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta

Voir la réponse et le corrigé
  1. cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha\cos^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\beta — נוסחאות הסכום וההפרש, ואז הפרש ריבועים
  2. cos⁡2β=1−sin⁡2β\cos^2\beta=1-\sin^2\beta — הזהות היסודית
  3. sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha — הזהות היסודית
  4. cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β=cos⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β−sin⁡2β+cos⁡2αsin⁡2β\cos^2\alpha\cos^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\beta=\cos^2\alpha-\cos^2\alpha\sin^2\beta-\sin^2\beta+\cos^2\alpha\sin^2\beta — מציבים ופותחים סוגריים
  5. cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta — האיברים ±cos⁡2αsin⁡2β\pm\cos^2\alpha\sin^2\beta מתבטלים

Corrigé :

(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)

שני הגורמים: (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2

המטרה מכילה cos⁡2α\cos^2\alpha ו-sin⁡2β\sin^2\beta בלבד. לכן מחליפים את cos⁡2β\cos^2\beta ואת sin⁡2α\sin^2\alpha. המלכודת: להציב α=β=0\alpha=\beta=0 ולהכריז שהוכח.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe