La courbe normale

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבסיס צבאי מדדו את הגובה של אלפי חיילים. כשמציירים היסטוגרמה של הגבהים, העמודות יוצרות צורה של פעמון.

איפה נמצאים רוב החיילים: קרוב לגובה 172172 ס״מ או רחוק ממנו?

Voir la réponse et le corrigé

רוב החיילים קרובים ל-172172. ככל שמתרחקים מהאמצע, יש פחות ופחות חיילים. חיילים בגובה 150150 או 195195 ס״מ נדירים מאוד.

העקומה הנורמלית

נתונים שהגרף שלהם נראה כמו פעמון מתפלגים נורמלית. העקומה נקראת העקומה הנורמלית.

דוגמאות: גובה ומשקל של אנשים, ציונים במבחן גדול, משקל של חבילות במפעל, זמן תגובה.

סימטריה\text{סימטריה}

העקומה סימטרית סביב הממוצע: חצי מהנתונים מתחתיו וחצי מעליו.

מרכז\text{מרכז}

רוב הנתונים מרוכזים קרוב לממוצע, והשיא של העקומה נמצא בממוצע.

קצוות\text{קצוות}

העקומה יורדת מהר בשני הצדדים: ערכים רחוקים מהממוצע נדירים.

בעקומה נורמלית של גבהים עם ממוצע 172172 ס״מ, כמה אחוזים מהחיילים גבוהים מ-172172 ס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

50%50\%. העקומה סימטרית סביב הממוצע: חצי מהשטח משמאלו וחצי מימינו.

הממוצע וסטיית התקן קובעים את הצורה

הממוצע קובע איפה נמצא השיא של הפעמון. סטיית התקן קובעת כמה הפעמון רחב.

אותו ממוצע, פיזור שונה
3642485460660x
  • עקומה א
  • עקומה ב

לשתי העקומות אותו ממוצע, 5050. לעקומה ב יש סטיית תקן גדולה יותר, ולכן היא רחבה ונמוכה. השטח מתחת לכל עקומה הוא 100%100\%, ולכן עקומה רחבה חייבת להיות נמוכה.

לאיזו עקומה בגרף יש סטיית תקן קטנה יותר? מה זה אומר על הנתונים?

Voir la réponse et le corrigé

לעקומה א: היא צרה וגבוהה. הנתונים שלה הומוגניים יותר, כלומר קרובים יותר לממוצע.

לא כל התפלגות היא נורמלית

התפלגות של הכנסות במשפחות אינה סימטרית: לרוב המשפחות הכנסה בינונית, ולמעט משפחות הכנסה גבוהה מאוד. לגרף יש זנב ארוך בצד ימין.

התפלגות לא סימטרית: זנב ימני
0246810120x

גם תוצאות של הטלת קובייה אינן נורמליות: לכל תוצאה אותו סיכוי, והגרף שטוח. זו התפלגות אחידה.

שתי טעויות נפוצות.

צר⇒ממוצע קטן\text{צר} \Rightarrow \text{ממוצע קטן}
צר⇒S קטנה\text{צר} \Rightarrow S\ \text{קטנה}

רוחב הפעמון נקבע על ידי סטיית התקן, לא על ידי הממוצע. הממוצע רק מזיז את הפעמון ימינה או שמאלה.

גבוה⇒יותר נתונים\text{גבוה} \Rightarrow \text{יותר נתונים}
השטח=100%\text{השטח} = 100\%

לכל עקומה נורמלית אותו שטח, 100%100\%. עקומה גבוהה היא פשוט צרה יותר.

Exercices

Exercice 1

איזו מהתכונות הבאות אינה תכונה של העקומה הנורמלית?

  1. העקומה סימטרית סביב הממוצע
  2. לכל הערכים יש אותה שכיחות
  3. העקומה יורדת מהר בקצוות
  4. רוב הנתונים קרובים לממוצע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לכל הערכים יש אותה שכיחות

Corrigé :

סימטריה, מרכז, קצוות\text{סימטריה},\ \text{מרכז},\ \text{קצוות}

שלוש התכונות של העקומה הנורמלית

«לכל הערכים אותה שכיחות» מתאר התפלגות אחידה, כמו בהטלת קובייה. בעקומה נורמלית ערכים קרובים לממוצע שכיחים הרבה יותר מערכים רחוקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המשקל של שקיות קמח במפעל מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם. כמה אחוזים מהשקיות שוקלות פחות מ-10001000 גרם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

P(x<xˉ)=50%P(x < \bar{x}) = 50\%

העקומה סימטרית סביב הממוצע

חצי מהשטח נמצא משמאל לממוצע: 50%50\%. לא צריך את סטיית התקן כדי לענות על השאלה הזאת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

שתי עקומות
3642485460660x
  • עקומה א
  • עקומה ב

בגרף שתי עקומות נורמליות. לאיזו עקומה סטיית תקן גדולה יותר?

  1. אי אפשר לדעת בלי מספרים
  2. לשתיהן אותה סטיית תקן
  3. לעקומה ב
  4. לעקומה א
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לעקומה ב

Corrigé :

ב רחבה ונמוכה\text{ב רחבה ונמוכה}

עקומה רחבה: הנתונים מפוזרים יותר

לעקומה ב סטיית תקן גדולה יותר: היא רחבה ונמוכה. מי שבחר «אותה סטיית תקן» הסתכל על המרכז, שבאמת משותף לשתיהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נכון או לא נכון: השטח מתחת לעקומה נורמלית צרה קטן מהשטח מתחת לעקומה נורמלית רחבה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

השטח=100%\text{השטח} = 100\%

בכל עקומה נורמלית

לא נכון. השטח מתחת לכל עקומה נורמלית הוא 100%100\%, כל הנתונים. עקומה צרה פשוט גבוהה יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מיינו: אילו נתונים מתפלגים בערך נורמלית, ואילו לא?

  • בערך נורמלית
  • לא נורמלית
  • הגובה של בנות 1717 בישראל
  • ההכנסה החודשית של משפחות
  • המשקל של תפוחים בארגז גדול
  • הציונים בבחינה ארצית גדולה
  • התוצאה בהטלת קובייה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הגובה של בנות 1717 בישראל — בערך נורמלית · הציונים בבחינה ארצית גדולה — בערך נורמלית · המשקל של תפוחים בארגז גדול — בערך נורמלית · התוצאה בהטלת קובייה — לא נורמלית · ההכנסה החודשית של משפחות — לא נורמלית

Corrigé :

קובייה: אחידה\text{קובייה: אחידה}

לכל תוצאה אותו סיכוי

הכנסות: זנב ימני\text{הכנסות: זנב ימני}

מעט משפחות עם הכנסה גבוהה מאוד

גובה, משקל וציונים בקבוצה גדולה מתפלגים בערך נורמלית. הטלת קובייה היא התפלגות אחידה, והכנסות הן התפלגות לא סימטרית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

זמני ריצה ב-100100 מטר
10.51213.51516.51819.50שניות

הגרף מתאר את זמני הריצה (בשניות) של תלמידים במרוץ 100100 מטר. הזמנים מתפלגים נורמלית. מהו הממוצע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

השיא⇒xˉ\text{השיא} \Rightarrow \bar{x}

השיא של עקומה נורמלית נמצא בממוצע

xˉ=15\bar{x} = 15

קוראים מהגרף

הממוצע הוא 1515 שניות: שם נמצא השיא, וסביבו העקומה סימטרית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

התאימו כל מושג למה שהוא קובע בעקומה הנורמלית.

  • הממוצע
  • סטיית התקן
  • השטח מתחת לעקומה
  • 100%100\% מהנתונים
  • המקום של השיא על הציר
  • כמה הפעמון רחב
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הממוצע — המקום של השיא על הציר · סטיית התקן — כמה הפעמון רחב · השטח מתחת לעקומה — 100%100\% מהנתונים

Corrigé :

xˉ→מקום, S→רוחב\bar{x} \to \text{מקום},\ S \to \text{רוחב}

שני מספרים קובעים את כל העקומה

הממוצע מזיז את הפעמון, סטיית התקן מרחיבה אותו, והשטח תמיד 100%100\%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הציונים בשתי כיתות מתפלגים נורמלית עם אותו ממוצע, 7575. בכיתה א סטיית התקן היא 55, ובכיתה ב היא 1212. מה נכון?

  1. העקומה של כיתה ב גבוהה יותר
  2. בכיתה ב יש יותר תלמידים עם ציון 7575
  3. בכיתה ב הציונים הומוגניים יותר
  4. בכיתה א הציונים הומוגניים יותר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D בכיתה א הציונים הומוגניים יותר

Corrigé :

5<125 < 12

סטיית תקן קטנה: הציונים קרובים לממוצע

בכיתה א הציונים הומוגניים יותר. העקומה שלה צרה וגבוהה. מי שבחר «העקומה של ב גבוהה יותר» התבלבל: עקומה רחבה היא נמוכה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגובה של עצי אורן ביער מתפלג נורמלית עם ממוצע 1212 מטר. השלימו את האחוזים.

אחוז העצים הגבוהים מ-1212 מטר: ____% ; אחוז העצים הנמוכים מ-1212 מטר: ____%

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אחוז העצים הגבוהים מ-1212 מטר: 50% ; אחוז העצים הנמוכים מ-1212 מטר: 50%

Corrigé :

50%+50%=100%50\% + 50\% = 100\%

הממוצע מחלק את העקומה לשני חצאים שווים

בכל התפלגות נורמלית, 50%50\% מעל הממוצע ו-50%50\% מתחתיו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נכון או לא נכון: אם מגדילים את כל הנתונים ב-1010, העקומה הנורמלית זזה ימינה, והרוחב שלה לא משתנה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

xˉ→xˉ+10\bar{x} \to \bar{x} + 10

הממוצע גדל ב-1010

S→SS \to S

המרחקים בין הנתונים לא השתנו

נכון. הוספה של מספר קבוע מזיזה את כל הנתונים יחד: הממוצע זז, סטיית התקן נשארת.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe