Le modèle quadratique en situation

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשאלות של הבגרות הפרבולה מתארת מצב מהחיים: גובה של כדור, רווח של חנות, צורה של גשר. החשבון זהה. מה שמשתנה: צריך לתרגם כל תשובה בחזרה לסיפור.

הכדור של מזל

מזל זורקת כדור כלפי מעלה. הגובה שלו (במטרים) אחרי xx שניות הוא y=−5x2+10x+1.5y = -5x^2 + 10x + 1.5.

גובה הכדור של מזל
00.511.522.501234567שניותמטרים

ארבע שאלות על אותו כדור

א. מאיזה גובה נזרק הכדור? ב. מתי הוא בשיא, ובאיזה גובה? ג. מתי הוא נוחת? ד. האם יש משמעות ל-x=3x = 3?

x=0⇒y=1.5\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 1.5\end{aligned}

א. מגובה 1.51.5 מטרים

x=−10−10=1  y=−5+10+1.5=6.5\begin{aligned}x &= \frac{-10}{-10} \\ &= 1 \\ \ \ y &= -5 + 10 + 1.5 \\ &= 6.5\end{aligned}

ב. אחרי שנייה, בגובה 6.56.5 מטרים

x=−10±100+30−10⇒x≈2.14x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 30}}{-10} \Rightarrow x \approx 2.14

ג. הפתרון השני, −0.14-0.14, נפסל: זמן שלילי

x=3>2.14x = 3 > 2.14

ד. אין משמעות: הכדור כבר על הקרקע

למה פוסלים את x≈−0.14x \approx -0.14?

Voir la réponse et le corrigé

כי הזמן מתחיל ב-00, ברגע הזריקה. פתרון שלילי הוא פתרון של המשוואה, אבל לא של הסיפור.

רווח של חנות

חנות מוכרת כובעים. אם המחיר הוא xx ש״ח, הרווח היומי הוא y=−x2+40x−300y = -x^2 + 40x - 300 ש״ח.

מחיר, רווח, הפסד

א. באיזה מחיר הרווח מקסימלי, ומהו? ב. באילו מחירים החנות מרוויחה?

x=−40−2=20  y=−400+800−300=100\begin{aligned}x &= \frac{-40}{-2} \\ &= 20 \\ \ \ y &= -400 + 800 - 300 \\ &= 100\end{aligned}

א. מחיר 2020 ש״ח, רווח 100100 ש״ח

−x2+40x−300=0⇒x=10 x=30\begin{aligned}-x^2 + 40x - 300 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10 \\ \ x &= 30\end{aligned}

נקודות האפס

10<x<3010 < x < 30

ב. תחום החיוביות: שם יש רווח

«מתי מרוויחים» = תחום חיוביות. «מתי הרווח גדל» = תחום עלייה. שתי שאלות שונות, ושני תחומים שונים.

מקדם לא ידוע

לפעמים חסר מקדם, ונותנים נקודה על הגרף. מציבים את הנקודה, ומקבלים משוואה ל-aa.

ההון של מפעל

ההון של מפעל (במיליוני ש״ח) אחרי xx שנים הוא y=ax2−3x+6.5y = ax^2 - 3x + 6.5. אחרי שנה ההון היה 44 מיליון. מצאו את aa.

4=a⋅1−3+6.54 = a \cdot 1 - 3 + 6.5

מציבים (1, 4)(1,\ 4)

a=0.5a = 0.5
a>0a > 0

יש להון מינימום: הוא יורד ואחר כך עולה

שתי טעויות בשאלות מהחיים.

x1=−0.14 x2=2.14\begin{aligned}x_1 &= -0.14 \\ \ x_2 &= 2.14\end{aligned}
x=2.14x = 2.14

פתרון שלילי של זמן נפסל. כותבים במפורש למה.

מרוויחים: x<20\text{מרוויחים}:\ x < 20
מרוויחים: 10<x<30\text{מרוויחים}:\ 10 < x < 30

x<20x < 20 הוא תחום העלייה של הרווח. הרווח חיובי בין נקודות האפס.

Exercices

Exercice 1

הגובה של כדור (במטרים) הוא y=−5x2+10x+1.5y = -5x^2 + 10x + 1.5, כאשר xx בשניות. באיזה גובה היה הכדור אחרי חצי שנייה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.25

Corrigé :

y=−5⋅0.25+5+1.5=5.25\begin{aligned}y &= -5 \cdot 0.25 + 5 + 1.5 \\ &= 5.25\end{aligned}

5.255.25 מטרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

דני זורק אבן. הגובה שלה (במטרים) הוא y=−5x2+25x+30y = -5x^2 + 25x + 30. השלימו.

גובה הזריקה: ____ ; הזמן שבו האבן בשיא: ____ שניות ; הגובה בשיא: ____ מטרים

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : גובה הזריקה: 30 ; הזמן שבו האבן בשיא: 2.5 שניות ; הגובה בשיא: 61.25 מטרים

Corrigé :

x=0⇒y=30\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 30\end{aligned}
x=−25−10=2.5\begin{aligned}x &= \frac{-25}{-10} \\ &= 2.5\end{aligned}
y=−31.25+62.5+30=61.25\begin{aligned}y &= -31.25 + 62.5 + 30 \\ &= 61.25\end{aligned}

הקודקוד (2.5, 61.25)(2.5,\ 61.25).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

באותה זריקה של דני (y=−5x2+25x+30y = -5x^2 + 25x + 30): אחרי כמה שניות האבן נופלת לקרקע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

−5x2+25x+30=0-5x^2 + 25x + 30 = 0
x2−5x−6=0x^2 - 5x - 6 = 0

מחלקים ב-−5-5

x=6 x=−1\begin{aligned}x &= 6 \\ \ x &= -1\end{aligned}
x=6x = 6

−1-1 נפסל

אחרי 66 שניות. הפתרון x=−1x = -1 נפסל, כי זמן שלילי אין לו משמעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

באותה זריקה: כמה זמן האבן הייתה מעל גובה 5050 מטרים? השלימו.

האבן בגובה 5050 ב-x=x = ____ וב-x=x = ____ ; משך הזמן: ____ שניות

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : האבן בגובה 5050 ב-x=x = 1 וב-x=x = 4 ; משך הזמן: 3 שניות

Corrigé :

−5x2+25x+30=50-5x^2 + 25x + 30 = 50
x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0
x=1 x=4\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}
4−1=34 - 1 = 3

33 שניות: מהשנייה הראשונה עד השנייה הרביעית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

רווח יומי של מאפייה (בש״ח) הוא y=−2x2+80x−600y = -2x^2 + 80x - 600, כאשר xx הוא מספר העובדים. כמה עובדים נותנים רווח מקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

x=−80−4=20\begin{aligned}x &= \frac{-80}{-4} \\ &= 20\end{aligned}

2020 עובדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

באותה מאפייה: באיזה תחום של מספר עובדים יש רווח (רווח חיובי)?

____ <x<< x < ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10 <x<< x < 30

Corrigé :

−2x2+80x−600=0-2x^2 + 80x - 600 = 0
x2−40x+300=0x^2 - 40x + 300 = 0
x=10 x=30\begin{aligned}x &= 10 \\ \ x &= 30\end{aligned}

בין 1010 ל-3030 עובדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הפרבולה y=ax2+6xy = ax^2 + 6x מתארת את גובה הקשת של שער (במטרים), כאשר הקשת פוגשת שוב את הקרקע ב-x=6x = 6. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

0=36a+360 = 36a + 36

מציבים (6, 0)(6,\ 0)

a=−1a = -1

a=−1a = -1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

באותו שער (y=−x2+6xy = -x^2 + 6x): מה הגובה המקסימלי של הקשת, במטרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

x=3 y=−9+18=9\begin{aligned}x &= 3 \\ \ y &= -9 + 18 \\ &= 9\end{aligned}

99 מטרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגובה של רקטת צעצוע הוא y=−5x2+40xy = -5x^2 + 40x. מה התחום שיש לו משמעות בבעיה?

  1. 0≤x≤40 \le x \le 4
  2. 0≤x≤80 \le x \le 8
  3. כל ערך של xx
  4. x≥0x \ge 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 0≤x≤80 \le x \le 8

Corrigé :

−5x2+40x=0⇒x=0 x=8\begin{aligned}-5x^2 + 40x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 8\end{aligned}

מרגע השיגור (x=0x = 0) עד הנחיתה (x=8x = 8). אחרי 88 הנוסחה נותנת גובה שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נכון או לא נכון: בבעיה של זריקת כדור, תחום העלייה של הגובה מתחיל ברגע הזריקה ומסתיים בקודקוד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

0<x<xקודקוד0 < x < x_{\text{קודקוד}}

נכון, כשהכדור נזרק כלפי מעלה: הוא עולה עד השיא, ואז יורד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ההון של חברה (במיליוני ש״ח) הוא y=ax2−4x+10y = ax^2 - 4x + 10, אחרי xx שנים. אחרי שנתיים ההון היה 66 מיליון. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

6=4a−8+106 = 4a - 8 + 10
4a=4⇒a=1\begin{aligned}4a &= 4 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

a=1a = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

באותה חברה (y=x2−4x+10y = x^2 - 4x + 10): מהו ההון הקטן ביותר, במיליוני ש״ח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

x=2 y=4−8+10=6\begin{aligned}x &= 2 \\ \ y &= 4 - 8 + 10 \\ &= 6\end{aligned}

66 מיליון, אחרי שנתיים. זו בדיוק הנקודה שנתנו בשאלה הקודמת: היא הייתה הקודקוד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe