Le produit scalaire

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בפרק הקודם חיברנו וקטורים, וכפלנו וקטור במספר. עכשיו נכפול וקטור בווקטור.

התוצאה של הכפל הזה היא מספר, לא וקטור. לכן קוראים לה מכפלה סקלרית: סקלר הוא מספר.

u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α\underline{u}\cdot\underline{v}=|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha

α\alpha היא הזווית בין הווקטורים

את הזווית בין שני וקטורים מודדים כששניהם יוצאים מאותה נקודה. היא תמיד בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ.

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=3|\underline{v}|=3, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. כמה זה u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}?

Voir la réponse et le corrigé

4⋅3⋅cos⁡60∘=4⋅3⋅12=64\cdot 3\cdot\cos 60^\circ=4\cdot 3\cdot\frac{1}{2}=6.

הסימן של המכפלה

0∘≤α<90∘0^\circ\le\alpha<90^\circ

זווית חדה: המכפלה חיובית

α=90∘\alpha=90^\circ

זווית ישרה: המכפלה אפס

90∘<α≤180∘90^\circ<\alpha\le 180^\circ

זווית קהה: המכפלה שלילית

u‾⊥v‾  ⟺  u‾⋅v‾=0\underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0

לשני וקטורים שאינם וקטור האפס

זה הכלי החשוב ביותר בפרק. כדי להוכיח ששני ישרים מאונכים, מראים שהמכפלה של הווקטורים שלהם היא 00.

u‾⋅v‾=−5\underline{u}\cdot\underline{v}=-5. הזווית בין הווקטורים חדה, ישרה או קהה?

Voir la réponse et le corrigé

קהה. המכפלה שלילית, ולכן cos⁡α<0\cos\alpha<0.

וקטור כפול עצמו

u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline{u}\cdot\underline{u}=|\underline{u}|^2

הזווית בין וקטור לעצמו היא 0∘0^\circ, ו-cos⁡0∘=1\cos 0^\circ=1. הכלל הזה הופך מכפלה לאורך — בעזרתו נחשב אורכים.

מכפלה סקלרית בתוך גוף

ABCDEFGH
קובייה ABCDEFGHABCDEFGH שאורך המקצוע שלה 22. ACAC הוא אלכסון של הבסיס.

ארבע מכפלות בקובייה

אורך המקצוע 22. כל הווקטורים יוצאים מ-AA, חוץ מהאחרון.

AB→⋅AD→=2⋅2⋅cos⁡90∘=0\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} &= 2\cdot 2\cdot\cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

שני מקצועות של אותה פאה: מאונכים

∣AC→∣=22+22=22\begin{aligned}|\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{2^2+2^2} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

אלכסון הבסיס, לפי פיתגורס

AB→⋅AC→=2⋅22⋅cos⁡45∘=4\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2\cdot 2\sqrt{2}\cdot\cos 45^\circ \\ &= 4\end{aligned}

האלכסון יוצר זווית 45∘45^\circ עם המקצוע

AB→⋅BA→=2⋅2⋅cos⁡180∘=−4\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BA} &= 2\cdot 2\cdot\cos 180^\circ \\ &= -4\end{aligned}

וקטורים נגדיים: הזווית 180∘180^\circ

מהו AB→⋅AE→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE} בקובייה?

Voir la réponse et le corrigé

00. המקצוע AEAE מאונך לבסיס, ולכן גם ל-ABAB.

הזווית בין וקטורים — רק כששניהם יוצאים מאותה נקודה.

AB→⋅BC→=∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡∢B\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=|AB|\cdot|BC|\cdot\cos\sphericalangle B
AB→⋅BC→=−BA→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}

AB→\overrightarrow{AB} נכנס ל-BB, ו-BC→\overrightarrow{BC} יוצא ממנו. הזווית ביניהם היא 180∘−∢B180^\circ-\sphericalangle B.

במשולש שווה צלעות שאורך הצלע שלו aa: AB→⋅AC→=a22\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}, אבל AB→⋅BC→=−a22\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac{a^2}{2}.

Exercices

Exercice 1

∣u‾∣=5|\underline{u}|=5, ∣v‾∣=2|\underline{v}|=2, והזווית בין הווקטורים 60∘60^\circ. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

u‾⋅v‾=5⋅2⋅cos⁡60∘\underline{u}\cdot\underline{v}=5\cdot 2\cdot\cos 60^\circ

לפי ההגדרה

=10⋅12=5=10\cdot\frac{1}{2}=5

כופלים את שני האורכים ואת הקוסינוס של הזווית. מי שכתב 1010 שכח את cos⁡60∘\cos 60^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

∣u‾∣=6|\underline{u}|=6, ∣v‾∣=4|\underline{v}|=4, והזווית בין הווקטורים 120∘120^\circ. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -12

Corrigé :

u‾⋅v‾=6⋅4⋅cos⁡120∘\underline{u}\cdot\underline{v}=6\cdot 4\cdot\cos 120^\circ
=24⋅(−12)=−12=24\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-12

זווית קהה: המכפלה שלילית

cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}. מי שקיבל 1212 איבד את הסימן — זווית קהה נותנת מכפלה שלילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=7|\underline{v}|=7, והווקטורים מאונכים זה לזה. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

u‾⋅v‾=3⋅7⋅cos⁡90∘=0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 3\cdot 7\cdot\cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

וקטורים מאונכים: המכפלה אפס, בלי קשר לאורכים. 2121 הוא מכפלת האורכים בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון: u‾⋅v‾=−8\underline{u}\cdot\underline{v}=-8. מה אפשר לומר על הזווית α\alpha בין הווקטורים?

  1. אי אפשר לדעת בלי האורכים
  2. α=90∘\alpha=90^\circ
  3. α\alpha קהה
  4. α\alpha חדה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C α\alpha קהה

Corrigé :

∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α=−8|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha=-8

האורכים חיוביים

cos⁡α<0 ⇒ 90∘<α≤180∘\cos\alpha<0\ \Rightarrow\ 90^\circ<\alpha\le 180^\circ

את הסימן של המכפלה קובע רק cos⁡α\cos\alpha, כי האורכים תמיד חיוביים. לכן לא צריך את האורכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5 ו-u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0. לכן u‾⊥v‾\underline{u}\perp\underline{v}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

3⋅5⋅cos⁡α=0 ⇒ cos⁡α=0 ⇒ α=90∘\begin{aligned}3\cdot 5\cdot\cos\alpha &= 0\ \Rightarrow\ \cos\alpha \\ &= 0\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 90^\circ\end{aligned}

המכפלה אפס והאורכים אינם אפס, ולכן cos⁡α=0\cos\alpha=0. זה בדיוק התנאי למאונכות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4. חשבו את u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

u‾⋅u‾=∣u‾∣2=42=16\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 4^2 \\ &= 16\end{aligned}

הזווית בין וקטור לעצמו היא 0∘0^\circ

cos⁡0∘=1\cos 0^\circ=1, ולכן u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u} הוא ריבוע האורך. התשובה 44 שוכחת לכפול באורך פעם שנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

u‾⋅u‾=49\underline{u}\cdot\underline{u}=49. מהו האורך ∣u‾∣|\underline{u}|?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

∣u‾∣2=49|\underline{u}|^2=49
∣u‾∣=49=7\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

אורך הוא חיובי

u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u} הוא ריבוע האורך. מוציאים שורש; 4949 הוא לא האורך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5 ו-u‾⋅v‾=10\underline{u}\cdot\underline{v}=10. מהי הזווית בין הווקטורים (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

4⋅5⋅cos⁡α=104\cdot 5\cdot\cos\alpha=10
cos⁡α=1020=12 ⇒ α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{10}{20} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

מחלקים את המכפלה במכפלת האורכים, לא בסכום שלהם: 104+5\frac{10}{4+5} היא טעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH אורך המקצוע 33. השלימו.

AB→⋅AD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}= ____ ; AB→⋅AB→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}= ____ ; AB→⋅DC→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}= ____ ; AB→⋅CD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB→⋅AD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}= 0 ; AB→⋅AB→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}= 9 ; AB→⋅DC→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}= 9 ; AB→⋅CD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}= -9

Corrigé :

AB→⊥AD→ ⇒ 0\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}\ \Rightarrow\ 0

מקצועות של אותה פאה

AB→⋅AB→=32=9\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}
DC→=AB→ ⇒ 9\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\ \Rightarrow\ 9

וקטורים שווים: זווית 0∘0^\circ

CD→=−AB→ ⇒ −9\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\ \Rightarrow\ -9

וקטורים נגדיים: זווית 180∘180^\circ

DC→\overrightarrow{DC} ו-CD→\overrightarrow{CD} הם אותו קטע, אבל בכיוונים מנוגדים. הכיוון משנה את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABC

משולש ABCABC שווה צלעות, ואורך הצלע 44. חשבו את AB→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -8

Corrigé :

AB→⋅BC→=−BA→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}

מזיזים את הווקטורים כך שיצאו מ-BB

=−4⋅4⋅cos⁡60∘=−8=-4\cdot 4\cdot\cos 60^\circ=-8

או: הזווית ביניהם 120∘120^\circ

הזווית בין AB→\overrightarrow{AB} ל-BC→\overrightarrow{BC} היא 120∘120^\circ, לא 60∘60^\circ: הווקטורים לא יוצאים מאותה נקודה. התשובה 88 היא הטעות הזו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

משולש ABCABC שווה צלעות, ואורך הצלע 66. חישבו את AB→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

∣AB→∣=∣BC→∣=6\begin{aligned}|\overrightarrow{AB}| &= |\overrightarrow{BC}| \\ &= 6\end{aligned}
∢(AB→,BC→)=60∘\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=60^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∢(AB→,BC→)=60∘\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=60^\circ → ∢(AB→,BC→)=120∘\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=120^\circ

Corrigé :

∢(BA→,BC→)=60∘\sphericalangle(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=60^\circ

זו הזווית של המשולש

AB→⋅BC→=6⋅6⋅cos⁡120∘=−18\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} &= 6\cdot 6\cdot\cos 120^\circ \\ &= -18\end{aligned}

זווית המשולש היא בין BA→\overrightarrow{BA} ל-BC→\overrightarrow{BC}. ל-AB→\overrightarrow{AB} יש כיוון הפוך, ולכן הזווית 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe