Propriétés du produit scalaire

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

המכפלה הסקלרית מתנהגת כמעט כמו כפל של מספרים: אפשר להחליף סדר ולפתוח סוגריים.

u‾⋅v‾=v‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{v}=\underline{v}\cdot\underline{u}

חילוף

u‾⋅(v‾+w‾)=u‾⋅v‾+u‾⋅w‾\underline{u}\cdot(\underline{v}+\underline{w})=\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}

פילוג

(ku‾)⋅v‾=k(u‾⋅v‾)(k\underline{u})\cdot\underline{v}=k(\underline{u}\cdot\underline{v})

מספר יוצא החוצה

u‾⋅v‾=3\underline{u}\cdot\underline{v}=3. כמה זה (2u‾)⋅(5v‾)(2\underline{u})\cdot(5\underline{v})?

Voir la réponse et le corrigé

2⋅5⋅3=302\cdot 5\cdot 3=30. שני המספרים יוצאים החוצה.

פתיחת סוגריים

פותחים סוגריים כמו באלגברה: כל וקטור בסוגריים הראשונים כפול כל וקטור בסוגריים השניים.

(a‾+b‾)2=∣a‾∣2+2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2

(a‾+b‾)2(\underline{a}+\underline{b})^2 פירושו (a‾+b‾)⋅(a‾+b‾)(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}+\underline{b})

(a‾+b‾)⋅(a‾−b‾)=∣a‾∣2−∣b‾∣2(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b})=|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2

שתי המכפלות האמצעיות מבטלות זו את זו

פותחים, מכנסים, מציבים

∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=2|\underline{v}|=2, u‾⋅v‾=4\underline{u}\cdot\underline{v}=4. חשבו את (u‾+2v‾)⋅(u‾−v‾)(\underline{u}+2\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v}).

=u‾⋅u‾−u‾⋅v‾+2v‾⋅u‾−2v‾⋅v‾=\underline{u}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{v}+2\underline{v}\cdot\underline{u}-2\underline{v}\cdot\underline{v}

פותחים: ארבע מכפלות

=∣u‾∣2+u‾⋅v‾−2∣v‾∣2=|\underline{u}|^2+\underline{u}\cdot\underline{v}-2|\underline{v}|^2

מכנסים: −u‾⋅v‾+2u‾⋅v‾=u‾⋅v‾-\underline{u}\cdot\underline{v}+2\underline{u}\cdot\underline{v}=\underline{u}\cdot\underline{v}

=9+4−8=5=9+4-8=5

מציבים את הנתונים

באותם נתונים: כמה זה (u‾−v‾)2(\underline{u}-\underline{v})^2?

Voir la réponse et le corrigé

∣u‾∣2−2u‾⋅v‾+∣v‾∣2=9−8+4=5|\underline{u}|^2-2\underline{u}\cdot\underline{v}+|\underline{v}|^2=9-8+4=5.

טבלת מכפלות של שלושה וקטורים

בשאלת הבגרות נותנים שלושה וקטורים u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} שיוצאים מאותו קודקוד: האורכים שלהם והזוויות ביניהם.

הצעד הראשון תמיד: לחשב את כל המכפלות ביניהם, ולרשום אותן בטבלה.

ABCS
פירמידה ABCSABCS. ASAS מאונך למישור הבסיס. AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}.

טבלת המכפלות של הפירמידה

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=6|\underline{v}|=6, ∣w‾∣=5|\underline{w}|=5, ∢BAC=60∘\sphericalangle BAC=60^\circ.

u‾⋅u‾=16v‾⋅v‾=36w‾⋅w‾=25\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{u} &= 16 \\ \quad \underline{v}\cdot\underline{v} &= 36 \\ \quad \underline{w}\cdot\underline{w} &= 25\end{aligned}

ריבועי האורכים

u‾⋅v‾=4⋅6⋅cos⁡60∘=12\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 4\cdot 6\cdot\cos 60^\circ \\ &= 12\end{aligned}

הזווית ביניהם נתונה

u‾⋅w‾=0v‾⋅w‾=0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{w} &= 0 \\ \quad \underline{v}\cdot\underline{w} &= 0\end{aligned}

ASAS מאונך לבסיס, ולכן לכל ישר בבסיס

למה u‾⋅w‾=0\underline{u}\cdot\underline{w}=0, אף שלא נתון ש-∢BAS=90∘\sphericalangle BAS=90^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

כי ASAS מאונך למישור הבסיס, ולכן מאונך לכל ישר במישור — גם ל-ABAB.

מכפלה של שני וקטורים אחרים

חשבו את BC→⋅BS→\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BS} בפירמידה.

BC→=v‾−u‾BS→=w‾−u‾\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \underline{v}-\underline{u} \\ \quad \overrightarrow{BS} &= \underline{w}-\underline{u}\end{aligned}

מביעים באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}

(v‾−u‾)⋅(w‾−u‾)=v‾⋅w‾−v‾⋅u‾−u‾⋅w‾+u‾⋅u‾(\underline{v}-\underline{u})\cdot(\underline{w}-\underline{u})=\underline{v}\cdot\underline{w}-\underline{v}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{w}+\underline{u}\cdot\underline{u}

פותחים סוגריים

=0−12−0+16=4=0-12-0+16=4

מציבים מהטבלה

קודם מביעים כל וקטור באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}. רק אחר כך כופלים.

שתי טעויות בפתיחת סוגריים.

(a‾+b‾)2=∣a‾∣2+∣b‾∣2(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+|\underline{b}|^2
(a‾+b‾)2=∣a‾∣2+2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2

שכחו את האיבר האמצעי. הוא נעלם רק כשהווקטורים מאונכים.

(v‾−u‾)⋅(w‾−u‾)=v‾⋅w‾−∣u‾∣2(\underline{v}-\underline{u})\cdot(\underline{w}-\underline{u})=\underline{v}\cdot\underline{w}-|\underline{u}|^2
(v‾−u‾)⋅(w‾−u‾)=v‾⋅w‾−v‾⋅u‾−u‾⋅w‾+∣u‾∣2(\underline{v}-\underline{u})\cdot(\underline{w}-\underline{u})=\underline{v}\cdot\underline{w}-\underline{v}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{w}+|\underline{u}|^2

ארבע מכפלות, לא שתיים. ו-(−u‾)⋅(−u‾)(-\underline{u})\cdot(-\underline{u}) הוא פלוס.

Exercices

Exercice 1

u‾⋅v‾=3\underline{u}\cdot\underline{v}=3. חשבו את (2u‾)⋅(−4v‾)(2\underline{u})\cdot(-4\underline{v}).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -24

Corrigé :

(2u‾)⋅(−4v‾)=2⋅(−4)⋅(u‾⋅v‾)(2\underline{u})\cdot(-4\underline{v})=2\cdot(-4)\cdot(\underline{u}\cdot\underline{v})

המספרים יוצאים החוצה

=−8⋅3=−24=-8\cdot 3=-24

שני המספרים יוצאים החוצה ונכפלים. מי שחיבר אותם (−2-2) קיבל −6-6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

∣a‾∣=5|\underline{a}|=5, ∣b‾∣=3|\underline{b}|=3 ו-a‾⋅b‾=6\underline{a}\cdot\underline{b}=6. חשבו את (a‾+b‾)2(\underline{a}+\underline{b})^2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 46

Corrigé :

(a‾+b‾)2=∣a‾∣2+2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2
=25+12+9=46=25+12+9=46

אל תשכחו את האיבר האמצעי 2 a‾⋅b‾2\,\underline{a}\cdot\underline{b}. בלעדיו יוצא 3434.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

באותם נתונים (∣a‾∣=5|\underline{a}|=5, ∣b‾∣=3|\underline{b}|=3, a‾⋅b‾=6\underline{a}\cdot\underline{b}=6), חשבו את (a‾−b‾)2(\underline{a}-\underline{b})^2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22

Corrigé :

(a‾−b‾)2=∣a‾∣2−2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2(\underline{a}-\underline{b})^2=|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2
=25−12+9=22=25-12+9=22

רק האיבר האמצעי מחליף סימן. ∣b‾∣2|\underline{b}|^2 נשאר חיובי: מי שכתב 25−12−925-12-9 טעה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

∣a‾∣=7|\underline{a}|=7 ו-∣b‾∣=4|\underline{b}|=4. חשבו את (a‾+b‾)⋅(a‾−b‾)(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b}).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 33

Corrigé :

=∣a‾∣2−a‾⋅b‾+b‾⋅a‾−∣b‾∣2=|\underline{a}|^2-\underline{a}\cdot\underline{b}+\underline{b}\cdot\underline{a}-|\underline{b}|^2

חילוף: a‾⋅b‾=b‾⋅a‾\underline{a}\cdot\underline{b}=\underline{b}\cdot\underline{a}

=49−16=33=49-16=33

לא צריך את הזווית: המכפלות האמצעיות מבטלות זו את זו. בגלל זה הנתונים מספיקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

∣u‾∣=2|\underline{u}|=2, ∣v‾∣=3|\underline{v}|=3 ו-u‾⋅v‾=−1\underline{u}\cdot\underline{v}=-1. חשבו את (3u‾+v‾)⋅(u‾−2v‾)(3\underline{u}+\underline{v})\cdot(\underline{u}-2\underline{v}).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

=3∣u‾∣2−6 u‾⋅v‾+v‾⋅u‾−2∣v‾∣2=3|\underline{u}|^2-6\,\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}\cdot\underline{u}-2|\underline{v}|^2

פותחים: ארבע מכפלות

=3∣u‾∣2−5 u‾⋅v‾−2∣v‾∣2=3|\underline{u}|^2-5\,\underline{u}\cdot\underline{v}-2|\underline{v}|^2

מכנסים

=12+5−18=−1=12+5-18=-1

−5⋅(−1)=+5-5\cdot(-1)=+5

שימו לב לסימן: −5u‾⋅v‾-5\underline{u}\cdot\underline{v} כש-u‾⋅v‾=−1\underline{u}\cdot\underline{v}=-1 הוא פלוס 55.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לכל שלושה וקטורים: u‾⋅(v‾+w‾)=u‾⋅v‾+u‾⋅w‾\underline{u}\cdot(\underline{v}+\underline{w})=\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

u‾⋅(v‾+w‾)=u‾⋅v‾+u‾⋅w‾\underline{u}\cdot(\underline{v}+\underline{w})=\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}

חוק הפילוג

זה חוק הפילוג, והוא נכון תמיד. בזכותו פותחים סוגריים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

u‾≠0‾\underline{u}\neq\underline{0} ו-u‾⋅v‾=u‾⋅w‾\underline{u}\cdot\underline{v}=\underline{u}\cdot\underline{w}. לכן v‾=w‾\underline{v}=\underline{w}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

u‾⋅v‾−u‾⋅w‾=0 ⇒ u‾⋅(v‾−w‾)=0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v}-\underline{u}\cdot\underline{w} &= 0\ \Rightarrow\ \underline{u}\cdot(\underline{v}-\underline{w}) \\ &= 0\end{aligned}
u‾⊥(v‾−w‾)\underline{u}\perp(\underline{v}-\underline{w})

זה כל מה שיודעים

אי אפשר לחלק ב-u‾\underline{u}. המכפלה אפס אומרת רק ש-v‾−w‾\underline{v}-\underline{w} מאונך ל-u‾\underline{u}, לא שהוא אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

∣u‾∣=∣v‾∣=3|\underline{u}|=|\underline{v}|=3, ∣w‾∣=4|\underline{w}|=4. הזווית בין u‾\underline{u} ל-v‾\underline{v} היא 120∘120^\circ, ו-w‾\underline{w} מאונך לשניהם. השלימו את טבלת המכפלות.

u‾⋅u‾=\underline{u}\cdot\underline{u}= ____ ; u‾⋅v‾=\underline{u}\cdot\underline{v}= ____ ; u‾⋅w‾=\underline{u}\cdot\underline{w}= ____ ; w‾⋅w‾=\underline{w}\cdot\underline{w}= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : u‾⋅u‾=\underline{u}\cdot\underline{u}= 9 ; u‾⋅v‾=\underline{u}\cdot\underline{v}= -4.5 ; u‾⋅w‾=\underline{u}\cdot\underline{w}= 0 ; w‾⋅w‾=\underline{w}\cdot\underline{w}= 16

Corrigé :

u‾⋅u‾=32=9\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{u} &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}
u‾⋅v‾=3⋅3⋅cos⁡120∘=−4.5\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 3\cdot 3\cdot\cos 120^\circ \\ &= -4.5\end{aligned}
u‾⋅w‾=0\underline{u}\cdot\underline{w}=0

מאונכים

w‾⋅w‾=42=16\begin{aligned}\underline{w}\cdot\underline{w} &= 4^2 \\ &= 16\end{aligned}

u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v} שלילי, כי הזווית קהה. מי שכתב 4.54.5 השתמש ב-cos⁡60∘\cos 60^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

באותם נתונים (∣u‾∣=∣v‾∣=3|\underline{u}|=|\underline{v}|=3, הזווית ביניהם 120∘120^\circ), חשבו את (u‾+v‾)2(\underline{u}+\underline{v})^2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

(u‾+v‾)2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2(\underline{u}+\underline{v})^2=|\underline{u}|^2+2\,\underline{u}\cdot\underline{v}+|\underline{v}|^2
=9−9+9=9=9-9+9=9

האיבר האמצעי 2⋅(−4.5)=−92\cdot(-4.5)=-9 מקטין את התוצאה. בלעדיו יוצא 1818.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

איזה ביטוי שווה ל-∣a‾−b‾∣2|\underline{a}-\underline{b}|^2?

  1. ∣a‾∣2+∣b‾∣2|\underline{a}|^2+|\underline{b}|^2
  2. ∣a‾∣2−∣b‾∣2|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2
  3. ∣a‾∣2−2 a‾⋅b‾−∣b‾∣2|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}-|\underline{b}|^2
  4. ∣a‾∣2−2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ∣a‾∣2−2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2

Corrigé :

∣a‾−b‾∣2=(a‾−b‾)⋅(a‾−b‾)|\underline{a}-\underline{b}|^2=(\underline{a}-\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b})
=a‾⋅a‾−a‾⋅b‾−b‾⋅a‾+b‾⋅b‾=\underline{a}\cdot\underline{a}-\underline{a}\cdot\underline{b}-\underline{b}\cdot\underline{a}+\underline{b}\cdot\underline{b}

(−b‾)⋅(−b‾)=+∣b‾∣2(-\underline{b})\cdot(-\underline{b})=+|\underline{b}|^2. התשובה ∣a‾∣2−∣b‾∣2|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2 היא של (a‾+b‾)⋅(a‾−b‾)(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b}).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

פתחו את (u‾+v‾)⋅(u‾−v‾)(\underline{u}+\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v}). שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

=u‾⋅u‾−u‾⋅v‾+v‾⋅u‾−v‾⋅v‾=\underline{u}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}\cdot\underline{u}-\underline{v}\cdot\underline{v}
=∣u‾∣2−2 u‾⋅v‾−∣v‾∣2=|\underline{u}|^2-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}-|\underline{v}|^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =∣u‾∣2−2 u‾⋅v‾−∣v‾∣2=|\underline{u}|^2-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}-|\underline{v}|^2 → =∣u‾∣2−∣v‾∣2=|\underline{u}|^2-|\underline{v}|^2

Corrigé :

−u‾⋅v‾+v‾⋅u‾=0-\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}\cdot\underline{u}=0

חילוף: שני האיברים מבטלים זה את זה

−u‾⋅v‾-\underline{u}\cdot\underline{v} ו-+v‾⋅u‾+\underline{v}\cdot\underline{u} הם מספרים נגדיים. הם לא מתחברים ל-−2 u‾⋅v‾-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ABCS

בפירמידה ABCSABCS של השיעור: ∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=6|\underline{v}|=6, ∣w‾∣=5|\underline{w}|=5, ∢BAC=60∘\sphericalangle BAC=60^\circ, ו-ASAS מאונך לבסיס. חשבו את CS→⋅CB→\overrightarrow{CS}\cdot\overrightarrow{CB}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

CS→=w‾−v‾CB→=u‾−v‾\begin{aligned}\overrightarrow{CS} &= \underline{w}-\underline{v} \\ \quad \overrightarrow{CB} &= \underline{u}-\underline{v}\end{aligned}

מביעים

(w‾−v‾)⋅(u‾−v‾)=w‾⋅u‾−w‾⋅v‾−v‾⋅u‾+v‾⋅v‾(\underline{w}-\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v})=\underline{w}\cdot\underline{u}-\underline{w}\cdot\underline{v}-\underline{v}\cdot\underline{u}+\underline{v}\cdot\underline{v}
=0−0−12+36=24=0-0-12+36=24

מהטבלה

CS→\overrightarrow{CS} יוצא מ-CC: הוא w‾−v‾\underline{w}-\underline{v}, לא w‾+v‾\underline{w}+\underline{v}. ובסוף, (−v‾)⋅(−v‾)=+36(-\underline{v})\cdot(-\underline{v})=+36.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe